概要

各データベースやテーブルがそれぞれどれくらいのデータを利用しているか調べるには、
関連するメタデータを保持している information_schema.tables テーブルを使用します。

MySQL :: MySQL 5.6 リファレンスマニュアル :: 21.22 INFORMATION_SCHEMA TABLES テーブル

各データベースごとの使用量

以下の例は、接続しているユーザが参照権限を持つ全てのデータベースのサイズ（データ＋インデックス）を表示します。
単位はMB（メガバイト）で小数点第3位を四捨五入しています。

SELECT 
  table_schema as 'database name' 
  ,round(SUM(data_length+index_length)/1024 /1024,2) as 'size(MB)' 
FROM 
  information_schema.tables  
GROUP BY 
  table_schema 
ORDER by 
  SUM(data_length+index_length) DESC;

実行例

特定のデータベースのテーブルごとの使用量

WHERE句のtable_schemaに調査したいデータベース名を指定します。
table_typeは通常テーブル(BASE_TABLE)、ビュー（VIEW）のいずれかを取ります。
下の例では通常テーブルのみ表示しています。
なおTEMPORARY テーブルは対象外です。（information_schema.tablesには含まれない）

avg_row_lengthは1レコードの平均サイズです。

table_rowsはレコード数を意味します。MyISAMの場合は正確ですが、InnoDBの場合は概算です。
（InnoDBで正確に把握したい場合はselect count(*) from tablename;)

公式マニュアルより抜粋
InnoDB テーブルの場合、行カウントは SQL 最適化で使用される単なる概算です。

engineカラムにはInnoDBやMyISAMなどが表示されます。

SELECT
    table_name
    ,round((data_length + index_length) / 1024 / 1024,2) as 'total size(MB)'
    ,round((data_length) / 1024 / 1024,2) as 'data size(MB)'
    ,round((index_length) / 1024 / 1024,2) as 'index size(MB)'
    ,avg_row_length 
    ,table_rows
    ,engine
FROM
    information_schema.tables
WHERE
    table_schema = '<DATABASE NAME>'
    AND table_type = 'BASE TABLE'
ORDER BY
    (data_length + index_length) DESC
;

実行結果例