Goでサーバを立ち上げる

のは簡単です。
ルートに、URIと関数をセットで登録し、起動すればOKです。
パッケージは、gorilla/muxを使っています。
URIをいじった際のメソッド（GET、POST）を追いたいので、標準エラー出力とレスポンスにメソッドの中身を出力しています。
なぜ標準エラー出力かのツッコミは、一旦置いといてください。

import (
	"net/http"
	"github.com/gorilla/mux"
)

func main() {
	r := mux.NewRouter()
	r.HandleFunc("/api/out", out)
	http.ListenAndServe(":8080", r)
}

func out(w http.ResponseWriter, r *http.Request) {
	method := r.Method
	println(method)
	w.Write([]byte(method))
}

正しいURIでアクセス

してみます。上記ソースを起動し、API Clientからアクセスしてみましょう。
アクセス
http://localhost:8080/api/out
出力
POST
意図したとおりに動作しています。

それでは次は

「/」=>「//」にしてアクセス

してみます。「/api/out」=>「/api//out」になっていることにご留意ください。同じく
アクセス
http://localhost:8080/api//out
出力
GET
勝手にGETに変わっていることが分かります。

そもそも

違うURIでアクセスできてしまうのが問題

なのではないでしょうか。

実は、muxのRouterは、「/」が複数続いた際にそのまま使うか、Cleanしてから使うかを決めるフィールドskipCleanを持っています。
デフォルト値はfalseで、きれいにCleanしてから使っているので、「//」でもリクエストが通ってしまいます。
まあ、メソッドがPOST=>GETに変わってしまうので、リクエストボディが受け取れず正しい処理はできないでしょう。

	// If true, when the path pattern is "/path//to", accessing "/path//to"
	// will not redirect
	skipClean bool

URIを厳密にチェックするには

上記skipCleanをtrueにすれば良いでしょう。
muxからRouterを生成する際に、このフィールドにtrueをセットします。

r := mux.NewRouter().SkipClean(true)

このようにすることで、「/」=>「//」でアクセスできなくなります。
アクセス
http://localhost:8080/api//out
出力
404 page not found

ソースの完成形はこちら

import (
	"net/http"
	"github.com/gorilla/mux"
)

func main() {
	r := mux.NewRouter().SkipClean(true)
	r.HandleFunc("/api/out", out)
	http.ListenAndServe(":8080", r)
}

func out(w http.ResponseWriter, r *http.Request) {
	method := r.Method
	println(method)
	w.Write([]byte(method))
}