RailsのDBをMySQL2にする方法を記載します。
まずはdatabase.ymlを記載していきます。
#database.yml編集

database.yml

development:
  adapter: mysql2
  encoding: utf8
  database: [アプリケーション名]_development
  pool: 5
  username: [任意のユーザ名]
  password: [任意のパスワード]
  host: localhost

test:
  adapter: mysql2
  encoding: utf8
  database: [アプリケーション名]_test
  pool: 5
  username: [任意のユーザ名]
  password: [任意のパスワード]
  host: localhost

production:
  adapter: mysql2
  encoding: utf8
  database: [アプリケーション名]_production
  pool: 5
  username: [任意のユーザ名]
  password: [任意のパスワード]
  host: localhost

上記のように記載していきます。
[アプリケーション名]、[任意のユーザ名]、[任意のパスワード]はご自身のものを記載お願いします。
database.ymlについてはこちらをご参考ください。
続いてMySQL2をインストールしていきます。

#MySQL2インストール

Gemfile

gem 'mysql2'
:
:

これでbundle installします。
MySQLではホスト名、ユーザー名、パスワードの指定が必要になるので、設定をしてきます。

#ホスト名、ユーザー名、パスワード設定
MySQLにログインします。

$ mysql -u root
:
:
mysql> create user 'ユーザー名'@'localhost' identified by 'パスワード';
mysql> select User,Host from mysql.user;

mysql> create user 'ユーザー名'@'localhost' identified by 'パスワード';ではホスト名、ユーザー名、パスワードを設定しています。
select User,Host from mysql.user;ではユーザーの登録が成功しているか確認を行っています。

続いてユーザーにアカウント権限をつけます。

mysql> grant all on *.* to '[ユーザー名]'@'localhost';

これでMySQL2での設定は完了しました。
先ほどのdatabase.ymlに登録したユーザーとホスト名、パスワードを記載しましょう。
#データベース作成
続いてデータベースを作成して、マイグレーションしていきます。

$ rails db:create
$ rails db:migrate

productionの場合は下記のようにデータベースを作成します。

rails db:create RAILS_ENV=production

これでRailsのDBをMySQL2に変更することができました。