微分積分学を理解するために重要な要素3つ

微分と積分の種類
微分積分学の基本定理
位置⇄速度⇄加速度

#微分と積分の種類

微分の種類
- 導関数
- 微分係数
積分の種類
- 不定積分
- 定積分

他にもたくさんあるが、今回はこの4つについて説明する。知りたければ、Wikipediaでも見てほしい。

イメージとしては、微分係数⇔定積分。ただし、微分係数は平均変化率(傾き)を求めるのに対して、定積分は面積を求める。傾きと面積の関係についての動画

#微分積分学の基本定理
$$\frac{d}{dx}\int f(x)dx = f(x)$$
おおよそこのような式である。この式が言いたいことは、関数f(x)を不定積分して、その導関数を求めたら元の関数に戻るよってこと。つまり、導関数⇔不定積分。他にも、「微分積分学の基本定理」には、定積分を定義するための式
$$\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b)-F(a)$$
などもある。

#位置と速度と加速度の関係
位置⇄速度⇄加速度
「→」が微分、「←」が積分を表す。
この関係は、工学及び、物理学において重要だ。力学では、rを位置、tを時間として、ニュートンの運動方程式
$$m\frac{d^2r}{dt^2}=F$$
が定義されている。これは、「位置を時間で2回微分すると、加速度になる」ということを表していて、高校物理で習った
$$F=ma$$
のことだ。(参照)

#微分積分の発見
高校数学では、不定積分から定義し、その後に定積分を定義しがちだが、歴史的には、定積分が先であることは、
この動画で説明している。

探究シネマ — 微分
 探究シネマ — 積分
説明がとてもわかりやすいので、この2つの再生リストは、ぜひ一度見てほしい。

#ε-δ理論
微分積分学は、これで終わりでない。ここでは、微分積分をより詳しく定義するための「ε-δ理論」を紹介する。

##ε-δ理論極限をより詳しく定義して、微分積分という概念をより明確にする

高校で習う「限りなく」小さい変化値、
$$\lim_{x\to a}f(x)=A$$
におけるこの「a」だ。この定義は、このままだと、非常に曖昧である。だから、極限とは何かを解説した動画も観てほしい。

##ε-δ理論微分可能とは

微分可能についても、ε-δ理論を用いて表すことができる。これは、天下のヨビノリたくみさんの動画がわかりやすいだろう。

#まとめ
「説明する」と言っておいて、説明というほどの説明をしていない。むしろ全くしていない。