微分積分学を理解するために重要な要素3つ
- 微分と積分の種類
- 微分積分学の基本定理
- 位置⇄速度⇄加速度
微分と積分の種類
-
微分の種類
- 導関数
- 微分係数
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積分の種類
- 不定積分
- 定積分
他にもたくさんあるが、今回はこの4つについて説明する。知りたければ、Wikipediaでも見てほしい。
イメージとしては、微分係数⇔定積分。ただし、微分係数は平均変化率(傾き)を求めるのに対して、定積分は面積を求める。傾きと面積の関係についての動画
微分積分学の基本定理
$$\frac{d}{dx}\int f(x)dx = f(x)$$
おおよそこのような式である。この式が言いたいことは、関数f(x)を不定積分して、その導関数を求めたら元の関数に戻るよってこと。つまり、導関数⇔不定積分。他にも、「微分積分学の基本定理」には、定積分を定義するための式
$$\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b)-F(a)$$
などもある。
位置と速度と加速度の関係
位置⇄速度⇄加速度
「→」が微分、「←」が積分を表す。
この関係は、工学及び、物理学において重要だ。力学では、rを位置、tを時間として、ニュートンの運動方程式
$$m\frac{d^2r}{dt^2}=F$$
が定義されている。これは、「位置を時間で2回微分すると、加速度になる」ということを表していて、高校物理で習った
$$F=ma$$
のことだ。(参照)
微分積分の発見
高校数学では、不定積分から定義し、その後に定積分を定義しがちだが、歴史的には、定積分が先であることは、
この動画で説明している。
探究シネマ — 微分
探究シネマ — 積分
説明がとてもわかりやすいので、この2つの再生リストは、ぜひ一度見てほしい。
ε-δ理論
微分積分学は、これで終わりでない。ここでは、微分積分をより詳しく定義するための「ε-δ理論」を紹介する。
ε-δ理論 極限をより詳しく定義して、微分積分という概念をより明確にする
高校で習う「限りなく」小さい変化値、
$$\lim_{x\to a}f(x)=A$$
におけるこの「a」だ。この定義は、このままだと、非常に曖昧である。だから、極限とは何かを解説した動画も観てほしい。
ε-δ理論 微分可能とは
微分可能についても、ε-δ理論を用いて表すことができる。これは、天下のヨビノリたくみさんの動画がわかりやすいだろう。
まとめ
「説明する」と言っておいて、説明というほどの説明をしていない。むしろ全くしていない。