プロジェクトのビルドターゲットを「AnyCPU」から「x64」にしてもODP.NETの参照をやり直したり特定バージョン外したり、、、
いろいろやってみてもビルドログにずっと

warning MSB3270: 構築されているプロジェクトのプロセッサアーキテクチャ "MSIL" と、参照 "Oracle.DataAccess" のプロセッサアーキテクチャ "AMD64" の間には不一致がありました。この不一致は、ランタイムエラーを発生させる可能性があります。プロジェクトと参照の間でプロセッサアーキテクチャが一致するように、構成マネージャーを使用してターゲットとするプロジェクトのプロセッサアーキテクチャを変更するか、ターゲットとするプロジェクトのプロセッサアーキテクチャに一致するプロジェクトアーキテクチャとの依存関係を参照で設定することを検討してください。

こんなの出っ放しで、無理やり実行すると案の定参照エラーで落ちます。

わけわからん。。。

ちなみに、実行環境はVisual Studio内蔵の「IIS Express」。
これもダメっちゃダメだった理由なんですがね(;´Д｀)

どうもこいつが既定値ではx86でしか動かないみたい。

x64で動くように設定変更してあげたら無事動くようになりました。
ではどこで設定するか。
ある意味すごくわかりやすいところにいました。

メニューから行きます。
「ツール」＞「オプション」
でダイアログ開いて
「プロジェクトおよびソリューション」＞「Webプロジェクト」
をたどります。
「Webサイトおよびプロジェクト用IIS Expressの64ビットバージョンを使用する」
これにチェックを入れます。

簡単なことだったけども、なかなかこの答えにたどり着かずに半日無駄にした。。。。。