関数プログラミングを学ぼうと思って数週間。関数合成の考え方、捉え方でいつもハマる。もっと周辺知識を蓄えるまで後回しにしようとも思ったが、現時点の自分の理解として整理することにした。

とにかくややこしい

まず、おさらいとして、これは、わかる。

f :: b -> c
g :: a -> b
f . g :: a -> c

なぜなら、このように

(.) :: (b -> c) -> (a -> b) -> a -> c

(.) 演算子が「 1引数渡すと、g の値を経由してf の値を返す関数」を返すことが単純にわかるから。

では、この場合は？

f :: a -> b
g :: c -> d -> f
f . g ::　???

うーん。やはり整理すらできない。幾つかのサイト・書籍を参考にさせていただき、考察する。

ヒントはカリー化による部分適用にあるようだ。g は、部分適用により 1引数渡すと、1引数関数を返す関数 であるとも言える。そのため、f.g といった合成をした場合、 1引数渡すと、g の返り値（1引数関数)を経由して、f の値を返す関数となる。つまり、f の1引数が関数になる事を強制していて、これを満たさない場合にはコンパイルできない。
よって、このような実装は実現しない。

let f = \x -> x + 2
let g = \x y -> x * y -- \x -> (\y -> x * y) カリー化されてこのように扱われる
(f . g) 3 4 -- 本当は14になってほしいが...

<interactive>:283:1:
    No instance for (Num (a0 -> a0)) arising from a use of ‘it’
    In a stmt of an interactive GHCi command: print it

思った通りに合成したいなら g の返り値が値となるような工夫が必要となる。
例えば、

g 3 :: Num a => a -> a
(f . (g 3)) 4

このようにすれば、14 が求まる。ただし、この式はf.g や g が1引数関数であることを強調しすぎていて、本質的な意味では分かりにくい。

一方、次のようにすることで、引数（値) を渡すと、gの値（1引数関数)を経由して、1引数関数を返す関数を合成する こともできる。

((f.) . g) 3 4 -- 14が求まる

これは、(.)演算子にf を部分適用すると、(f.) :: Num c => (a -> c) -> a -> c となる性質を利用したものである。これを踏まえて上の例をもう一度見てみると、カリー化により((f.) . g) 3 が1引数関数を返すので、その関数に4 を渡すことでようやく値としての14 が求まる。

参考サイト・書籍

###サイト
Haskell の関数合成でひっかかってたこと
 Haskellの関数合成

書籍

関数プログラミング実践入門