経緯・目的

numpy.exp()の計算速度が気になって少し調べているときに，np.exp much slower than np.e? という記事を見つけた．
質問と回答を読んでざっくり理解したことはこんな感じ：

np.exp(100)よりも'np.e**100'の方が10倍くらい速い．
これはnp.exp()が array に対応しているので，型の判定をする分のoverheadで遅くなっている可能性がある（ただしこれだけで速度差のすべてを説明できるわけではなさそう）．

これは2015年の記事なので，そのあと変化があったのか気になり，同じような簡単な計測をしてみた（Python 3.11.5, numpy 1.26.1を使用）．

結論

上に引用した記事と同様の結果だった：

引数がスカラー値（arrayではないという意味）の場合にはnp.e**(x)の方が速い．
引数がarrayの場合にはそこまで差がないか，要素数が多ければnp.exp(x)の方がかなり速い．

＊網羅的に調べたわけではないので，環境や引数の具体的な値によって結果が変わり得ると思う．

具体的なコードと結果

簡単な計測なのでターミナルで実行していく．
バージョンはPython 3.11.5，numpy 1.26.1．

はじめにtimeitをimportしておく．

>>> from timeit import timeit

引数の要素数が1の場合

引数の要素数が1である場合，intやfloatの変数をそのまま渡すとnp.e**xの方がだいぶ速いが，要素数1のndarrayを渡すと速度の差が小さくなった．

int型をそのまま渡すとnp.e**(x)の方が数倍速い．

>>> timeit("np.exp(x)", setup="import numpy as np; x = 10")
0.48411501699956716
>>> timeit("np.e**(x)", setup="import numpy as np; x = 10")
0.07219130100020266

1要素からなる1次元のndarrayを渡すと，np.exp(x)は速くなって，np.e**(x)はかなり遅くなる．

>>> timeit("np.exp(x)", setup="import numpy as np; x = np.array([10], dtype='f8')")
0.2373395429995071
>>> timeit("np.e**(x)", setup="import numpy as np; x = np.array([10], dtype='f8')")
1.2322995980002815

ちなみにx = np.array([10])とすると（dtypeの指定をやめると）多少速くなった．
しかしそれでもnp.exp(x)の方が速かったし，バグのもとだと思うので個人的にはdtypeは明示しておきたい．

引数の値を変えても傾向は変わらない．引数がarrayではない場合，むしろ差が開く．

>>> timeit("np.exp(x)", setup="import numpy as np; x = 100")
0.5663321909996739
>>> timeit("np.e**(x)", setup="import numpy as np; x = 100")
0.06345759199939494

>>> timeit("np.exp(x)", setup="import numpy as np; x = np.array([100], dtype='f8')")
0.24133333999998285
>>> timeit("np.e**(x)", setup="import numpy as np; x = np.array([100], dtype='f8')")
1.221896048000417

引数の要素数が2以上の場合

2以上といいながらnp.arange(95, 105, dtype="f8")で試した結果だけを載せる．

>>> timeit("np.exp(x)", setup="import numpy as np; x = np.arange(95, 105, dtype='f8')")
0.2651955380006257
>>> timeit("[np.e**(n) for n in x]", setup="import numpy as np; x = np.arange(95, 105, dtype='f8')")
1.3422866170003545

ちなみにこのケースではdtypeを指定した方が速かった（指定しないと2 - 5倍程度時間がかかった）．

教訓

要素数1の変数しか扱わないことが確実な場面ではfloat型の変数を使ってnp.e**xとすると速い．
- ndarrayから取り出したスカラー値はnp.float64などになっていて，これだとnp.e**xはそこまで速くない．トリッキー．
要素数1でもndarrayを渡すならnp.exp(x)とした方がよい．またnp.exp(x)を使うなら引数はndarrayにしておいた方が速い．
- コードの他の部分の都合で1要素から成るndarrayを扱うことがあるので，この点は（自分にとっては）意外と大事．
- 例えばx = np.arange(5, dtype="f8")[2:3]のようにして要素数1のndarrayを扱うときがある．size属性とか使いたい場合．
複数の値に対する結果がほしい場合はndarrayのxを引数としてnp.exp(x)とするのがよい．
- xを生成するときはdtypeも指定しておくとより速そう．