(訂正 2026/5/10: 著者の理解が誤っており、次を訂正)
$\qquad$ (旧)ドル担保にすることは ~~SOFR~~が「割る資産」
$\qquad$ (新)ドル担保にすることはTONA$\times$為替が「割る資産」

今回は通貨スワップの準備として、ドル担保(USD collateral)のTONAカーブを作成するコードを紹介する。

「Pythonで学ぶ債券·金利デリバティブ」(以下テキスト) 第3章で説明したTONAカーブは円担保(JPY collateral)が暗黙裡に仮定されたCSAベースの割引カーブでもある (テキスト p102) 。以下はこの円担保をドル担保にした場合の、TONA割引カーブ構築法の説明となる。

テキスト p102では「マルチカーブ」という名称のみ紹介し、実装用コードを示していない。グローバルなファイナンスではUSDが標準担保通貨であり、ここで紹介するコードは実務上必須であろう。

10-1. カバード金利平価

担保通貨が変わるだけで、カーブ構築法は格段に難しくなる。理論的には、担保通貨を変えることはニューメレールを変えることに等しい。ニューメレールとはテキスト p.189に記したように、マルチンゲールにするための「割る資産」であるが、ドル担保にすることは TONA$\times$為替が「割る資産」になることを意味している。

つまり TONA(円担保)のニューメレールから、TONA$\times$為替(ドル担保)のニューメレールへの測度変換によって、カーブ構築の数式が説明される。ただ、その導出は長くなるので、回を改め、第11回で説明する。ここでは、難しい理論を無視し、算出する数値例を確認するための計算式のみを示しておく。

ドル担保を前提にすると、国内通貨: $D$ (domestic)はドルであり、外国通貨: $F$ (foreign)は円となる。それぞれのディスカウントファクターを $df^D$ , $df^F$ とする。

FXスポット: $X$ から FXフォワード: $F$ を計算する場合、カバード金利平価 (Covered Interest Rate Parity, CIRP)より、次式が成立する。(この導出は次回を予定)

$$
F = X \cdot \frac{df^F}{df^D} \tag{10-1}
$$

この式は4つの変数で構成され、3つの変数 $X$ , $F$ , $df^D$ は市場で観測可能であり、ドル担保の円ディスカウントファクター $df^F$ は式の変形で簡単に求めることが出来る。

$$
df^F = \frac{F}{X}\cdot df^D \tag{10-2}
$$

つまり、ドル担保 JPYカーブ $df^F$ はドル円の為替フォワードとスポットの比にSOFRのディスカウントファクターを掛けて算出できる。(注：為替 X, F は逆数の為替。例えば 1円=0.0064ドル)

ではコードと数値例を見て行く。

10-2. カーブ構築に必要なデータ

$\qquad\qquad\quad$図10-1：SOFR, TONA, クロスカレンシーデータ (2026-01-20 )

式(10-2)にしたがい、割引カーブとなるSOFRデータがまず必要である。フォワードFXを計算させるため、TONAカーブのデータと通貨スワップ市場で建値されているクロスカレンシーのベーシスも必要になる。つまり、図10-1 のように 3種類のカーブデータを用意する。

2行：sfSwRTリストはSOFRカーブ用のレート (テキスト p91 の図 3.9と比較)
- sfSwRTは sofr swap rate の略 (同様にtnSwRTはtona swap rate)
- テキストと比べ、市場で標準的に建値されている 2w, 3w 等のノードを入れた
- このSOFRカーブデータは BGN を使用 (BGNはBloomberg Generic価格の略) 。ただしソース元は何でもよく、例えば、 BlueGamma 等でSOFRカーブは参照可能
11行：tnSwRT リストは第9回：Tonar vs 3mTibor テナースワップの tnDATAリストと同じ
20行：xcyBSS リストも市場の標準にしたがい、次の2種類のデータで構成 (xcyBSSは cross currency basisの略で、データは BGN を使用)
- 'fxsw'タイプ：FXスワップのデータ
  - タプルの中の数字はスポット為替に対して、フォワード為替がどれだけズレるかを表す
    - 例えば、ドル円のスポットが158.00円の場合、1週間先のドル円は -9.43銭なので157.9057円 ( =158.00-0.0943 )
- 'bss'タイプ：ドル円通貨スワップのベーシス
  - タプルの中の数字は TONA側に加算される数字
    - 例えば、5年のTONAスワップレートは 1.6275% なので、ベーシス (-36.5bp) 加算後は、1.2625% ( =1.6275% - 36.5bp )
    - TONA側への加算なので、このベーシスの日数計算は Act/365 であり、SOFRのAct/360 ではない点に注意 (日数計算の異なる金利の足し算は厳禁)
    - この計算ルールは「第9回：Tonar vs 3mTibor テナースワップ」のベーシスと同じ

満期1年までをFXスワップのデータとしている理由は流動性が高いため。一般のWebにも、FXスワップのデータは開示されている ( Investing.com )。しかし、通貨スワップのベーシスは見つけることが出来なかったため、BGNを使った。

10-3. ドル担保 JPYカーブ構築のコード

では、ドル担保のJPY(TONA)カーブを構築するが、まず準備として、SOFRとTONAカーブをシングルカーブとして作成しておく。

$\qquad\qquad\qquad\qquad$図10-2：シングルカーブ作成 ( SOFR / TONA )

図10-2 で新しく登場したコードは次の2点のみ。

(注：この記事のデータフレーム画像は不要な行を削除している)

10-3-1. クロスカレンシーベーシスカーブ

下図10-3 で出力されたデータフレームのzeroRT列 と DF列が目標のUSD担保JPYカーブである。まず出力結果の数値を確認する。

図10-3 index14 5年ノード のzeroRT列 1.257487%
- 図10-2 出力の最後の行 index22 zeroRT列 1.622316% との差は 0.36483%
- この差は図10-1の25行目 5年ベーシス -36.5bp にほぼ等しい
有料情報端末が算出したディスカウントファクター(以下 DF)との比較では以下を確認した
- FXスワップ(fxsw)のノードのDFは完全に一致
- ベーシス(xcyBSS)で満期が短いノードのDFはほぼ一致
  - 満期が長くなると 1e-5桁の値が5前後のズレを示した ('1e-5'という表現はテキスト p230 参照)

かつて筆者はドル担保のカーブをエクセルで手計算したが、これほどの精度での再現は出来なかった。このカーブ算出は難解で、いまもトラウマになっている。

このトラウマが理由で第4回：Hagan-West流の Tiborカーブ構築を記した。ただドル担保カーブのようなマルチカーブの場合、第4回記事はシングルカーブのため役不足である

$\qquad\qquad\qquad\qquad$図10-3：USD担保 JPYカーブ

では図10-3 のコードを概説する。使用したヘルパーは異なるが、テキスト p.77 図3.1の2番セルで説明したQuantLibの基本的なカーブ構築法の以下の2つのステップは同じである。

ステップ1：各ノード情報をヘルパーオブジェクトに変える
- 5行： forループにより、図10-1 で設定した xcyBSS リストからノード情報を取り出す
- ただし、図10-3では新しい 2つのヘルパーを使用。これらの詳細は次の10-3-2節で説明する
  - 7行： FXスワップ用のFxSwapRateHelper
  - 11行：通貨ベーシス用のMtMCrossCurrencyBasisSwapRateHelper
ステップ2： PiecewiseLogLinearDiscountでカーブオブジェクトを作成
- 15行： forループで作成したcHelperを使い、カーブオブジェクトjBsCvOBJを作成
  - この行はテキスト図3.1の15行目とほぼ同じ

以上の概説から、2つのヘルパー部分を除き、コード構成は理解できるだろう。

10-3-2. クロスカレンシーカーブ用の2つのヘルパー

図10-3 2,3行目 で設定した変数の説明から始める。これらはヘルパーの引数として与えられるので、当初は意味不明でも読み流してよく、ヘルパーの説明と共に参照しよう。

jpySP：2026年1月20日のドル円スポット為替(T+2) が 158.1528 円/ドル

base...：base から始まる変数を4つ設定したが、base には担保通貨USDの意味を持たせた。反対のワードが othr (othr は other の略)

baseIX: USDカーブのインデックスsfIXの別名 (sfIXは図10-2の6行目で作成)
othrIX：JPYカーブのインデックスtnIXの別名 (tnIXは図10-2の7行目で作成)
- ヘルパーの引数にsfIXやtnIXを直接指定してもよいが、これら別名を与えて、引数の役割を明確にさせた
baseCLLT = True: baseであるドルが担保 (CLLTはcollateralの略)
baseBSS = False: baseのドル側にベーシスを乗せない
- 図10-1のxcyBSSは円側に加算するレート
baseRST = True: baseのドル側をリセットさせる (RSTはrestの略)
- 標準的な通貨スワップは利払い毎にドル元本をリセット ( MtM / resettable notional、 MtM は mark to market の略 )
- リセットに関しては、通貨スワップを説明する記事(第12回を予定)で数値例を紹介する

ではヘルパーの説明に移る。

下のヘルパーのスクショはリファレンスマニュアル (テキスト 1.6節) のものであり、テキスト p.32 下から2行目に記したように、& や const は無視しよう

( FxSwapRateHelper )

( 図10-3の 7, 8行目の引数との対応関係 )

fwdPoint	spotFx	tenor	fixingDays	calendar	convention
sQH(bb/100)	sQH(jpySP)	pD(tt)	Tp2	calUJ	mFLLW

endOfMonth	isFxBaseCurrencyCollateralCurrency	collateralCurve
EoMf	baseCLLT = True	sfCvHDL

この対応表から、各引数の役割は理解しよう
sQH関数 : myABBRで新たに定義した短縮形で、テキストのmu.sqHDL関数と同じ
- mu.sqHDL(...) が長いので、myABBRに移し、より短い関数名とした
- (補足 1) C++を知っていれば、スクショの第1引数のHandle < Quote > fwdPointから、第1引数はQuote型のハンドルが要求されていることが判るだろう。そのためにsQH関数を使用
- (補足 2) テキスト p.30 に、著者のブログ "QuantLibソースを読むためのC++基礎" を記したが、現在 Claude Code等が発達し、このブログは見直し中

( MtMCrossCurrencyBasisSwapRateHelper )

( 図10-3 12, 13行目の引数との対応関係 )

basis	tenor	fixingDays	calendar	convention	endOfMonth
sQH(bb*bps)	pD(tt)	Tp2	calUJ	mFLLW	EoMf

baseCurrencyIndex	quoteCurrencyIndex	collateralCurve
baseIX = sfIX	othrIX = tnIX	clltCv = sfCvHDL

isFxBaseCurrencyCollateralCurrency	isBasisOnFxBaseCurrencyLeg
baseCLLT = True	baseBSS = False

isFxBaseCurrencyLegResettable	paymentFrequency
baseRST = True	frqQ

同様にこの対応表から、各引数の役割を推測しよう
bb*bps は bb÷10000と同じ。(myABBRで bpsを定義)

10-3-3. 式(10-2)の手計算と精度

このセルは最初に示した式(10-2)を使い、ドル担保JPYカーブの1年DFを手計算した。各変数は次の通り。

fwd1y：1年FXフォワード = 153.8158
sf1yDF：図10-2のSOFR 1年DF = 0.96535756
3行目のjpySP/fwd1y: 式(10-2)と分子分母が逆転している理由は、式(10-2)の為替が逆数為替のため

図10-3 の1年DF=0.99274434 に対し、手計算の0.992577 は 1e-4で2程度ズレているが、悪くはない。

式(10-2)は近似式としては使えるだろう
(ウォールストリートでは最低 1e-6 の一致で正しい計算と見做される)

原稿執筆時点で、ズレの原因は不明。QuantLibのコードを読めば、原因を究明できるだろうが、このテーマは計算が複雑過ぎてトラウマである。

まとめ

USD担保 JPYカーブの計算式(10-2)はカバード金利平価から算出 (理論的な導出は第11回を参照)
USD担保 JPYカーブを構築する場合の必要なデータを図10-1 に例示
2つの新しいヘルパーによる USD担保 JPYカーブ構築のコード例 (図10-3)
記事中のコードはテキストのサポートページより、取得可能。(今回のコードはq10-xcyCRVjpy.ipynb)