第3回：シリアルFRAを持つTiborカーブの構築

Last updated at 2025-12-30Posted at 2025-12-22

テキスト「Pythonで学ぶ債券·金利デリバティブ」第2章で説明したTiborカーブでは意図的にシリアルFRA(Forward Rate Agreement)を取り除いた。その理由はシリアルFRAという用語が一般的ではないため。

シリアルFRAとはFRAの中で最も基本的な商品
広い意味のシリアルFRAはテナーがTiborと同一(例えば3ヶ月)で、開始月が連続のFRA
- FRAは「開始月 x 終了月」で表され、1x4, 2x5, 3x6等がシリアルFRA
狭義のシリアルFRAは開始月と終了月がテナー刻みで連続なFRA 例：3x6, 6x9, 9x12

ただテキスト第3章のTONAカーブ構築で説明したフォワードレートによるディスカウントファクター算出の次式(テキスト78ページ式3.1)はFRAの計算法そのもの。
$$
\begin{split}
D_E
&=
D_S \times \left(
\frac{1}{1+ f_{S \times E}\times \tau}\right)\ , \quad \tau : E-S
\end{split}
\tag{3.1}
$$

そこで、今回は以下の各項目を説明する

日本証券クリアリング機構 (以下 JSCC) はTONAカーブとのベーシススプレッドとしてTiborカーブを公表しているが、その算出法
シリアルFRAをいれたTiborカーブ構築のコード例と手計算による確認
テキスト 78ページや101ページで説明を避けた「ブートストラップ時の連立方程式の解法」部分の実務で用いられている計算法 (Hagan-West法)

1. JSCCのFixingレート

下図はJSCCが発表した2025年12月19日引けのFixingデータ
- 複数のイールドカーブの関係はテキスト3.4.2節マルチカーブ入門を参照
各種レートの意味とTiborスワップレートの計算
- OISは%単位のレート (ディスカウントカーブの役割)
- DTIBORのDはdomesticの略で、今は無いユーロ円Tiborと区別する記号。この記事ではDは省略
- 3ヶ月Tiborカーブ(以下 3mTiborカーブ)は8 x 11までは3ヶ月テナーのシリアルFRAのレート、1年以上はOISとのベーシススプレッド (フォワードカーブの役割)
  - 2年スワップレート：1.09125%+36.0bp = 1.45125%
- 6ヶ月Tiborカーブは5 x 11までは6ヶ月テナーのシリアルFRAのレート、1年以上は3mDTiborカーブとのテナーベーシススプレッド (フォワードカーブの役割)
  - 2年スワップレート：1.09125%+36.0bp-2.125bp = 1.4300%

2. FRAのヘルパーと実行例

上図はテキスト2.2.4節で説明したmyUtil.pyモジュールのTIBORカーブ作成関数 makeTiborCurveにFRA用のヘルパーを追加したコード
- 修正点は矢印の行のみで FraRateHelperコンストラクタを追加
- すぐ上の行のDepositRateHelperと比べて、FRAの開始月を表す引数pD(tnr)が1つ増えただけ
- シリアルFRAの知識があれば、簡単なコンストラクタである
下図はJSCCのデータをこのmu.makeTiborCurveに与えて、ディスカウントファクターDFを算出した例 (テキスト図2.3とほぼ同じコード)
- 3行目でJSCCデータの6mTibor, 1x7FRAと2年スワップをtbCrvDATAに設定
  - (この3つのノードとした理由は数値例を単純にするためで、他意はない)
- 4行目右辺でmu.makeTiborCurveを呼び出し、tbCrvOBJオブジェクトを作成
- 8行目でnodesメソッドより、各ノードのDFを表示
次の下2つのセルは6mTiborと1x7 FRAのディスカウントファクターを手計算した例
- 上のnodeメソッドの四角で囲ったDFと同じ値を算出
- 上側セル5行目のTibor計算式はテキスト15ページ式1.5
- 下側セル6行目のFRAの式はこの記事の最初に記した式3.1
ただし、FRAの計算はテキスト78ページの説明と同様、1ヶ月先のDFを5行目tbCrvOBJ.discount(DT1m)で取得する”手抜き”の計算
- テキストと異なり、この例では連立方程式を解く必要は無く、FRAの開始日のDF(26年1月23日)は次の補間式で算出可能
  $$
  \frac{\ln(D_{26/1/23})}{\ln(D_{6m})}
  =\frac{31}{182}
  = \frac{\text{25/12/23 ～ 26/1/23 の日数}}{\text{6mTiborテナー日数}}
  $$
- この式を手計算し、上セルのDF1mと同じ値を得る
確認すべきは、FRAから計算されるDFはFRAの満期日のDFである点
- (筆者は10数年前に初めてシリアルFRAを見た。当時 FRAのDFをフォワードのディスカウントファクターと誤解した経験があり、まだ苦手意識が残っている)

3. 2年ディスカウントファクターの連立方程式

2年ディスカウントファクターはブートストラップ(定義はテキスト97ページ)で算出
2年スワップの満期日(2027年12月23日)のディスカウントファクターはテキスト 101ページ (Semiannualのケース)とほぼ同じ
3つの未知数$(D_{1.0}\ D_{1.5}\ D_{2.0}\ )$を計算するための3本の連立方程式は以下となる
- テキストとの相違は7カ月のノードにFRAを入れたため、補間式では0.5年を7mに修正
  $$
  \begin{split}
  D_{2.0} \times (1 + \tau_{2.0} S)
  &= 1 - S \times \bigl( \tau_{0.5} D_{0.5} + \tau_{1.0} D_{1.0} + \tau_{1.5} D_{1.5} \bigr)
  \\
  \ln(D_{1.0}) &= \bigl[ \ln(D_{2.0}) - \ln(D_{7m}) \bigr] \times \frac{\text{7m〜1yの日数}} {\text{7m〜2yの日数}} + \ln(D_{7m})
  \\
  \ln(D_{1.5}) &= \bigl[ \ln(D_{2.0}) - \ln(D_{7m}) \bigr] \times \frac{\text{7m〜1.5yの日数}} {\text{7m〜2yの日数}} + \ln(D_{7m})
  \end{split}
  $$
- たった2年のディスカウントファクターを求めるのに、3本の連立方程式を解くことは苦痛
- 例えば、JSCCの発表する6ヶ月Tiborスワップでは15年の次のノードは20年
  - つまり、20年のディスカウントファクターの計算の場合、未知数は10個 $(D_{15.5}$ ～ $D_{20})$となり、10本の連立方程式は見たくない
(補足) 次の4節で紹介するHagan West(2006)の論文では、上で行ったディスカウントファクターの対数線形補間をRaw Interpolationと参照 (テキスト 23ページ 1.3.7節参照)

4. Hagan-West流の計算法

この苦痛を伴うブートストラップに対し、多変数のニュートン法を用い、非線形連立方程式を解くことで、カーブ構築を行うことが現在の標準的な計算法
この背景には次の論文で紹介されたHagan-West法が起因する
- (2006) Interpolation Methods for Curve Construction, Applied Mathematical Finance
- (2008) Methods for Constructing a Yield Curve, WILMOTT magazine
QuantLib C++では各種補間ルールをクラス別に実装し、上記論文で紹介されたMonotone Convex補間クラスもInterpolatedDiscountCurveクラスから利用可能
- よく利用されるpiecewise cubic補間 通常の三次スプラインは"滑らかさ"を最優先した数学的補間法
- monotone convex補間は"無裁定・単調性・凸性を壊さない"ことを目的した金融専用の補間法
  - Hagan–West (2006) が補間したいのは "割引関数 $P(0,T)$" または "瞬間的フォーワードレート $f(0,T) = -\frac{d}{dT}\log P(0,T)$"
  - この補間の際、維持すべき性質：
    1. 単調性： $P(0,T) \text{ は } T \text{ に対して単調減少}$
    2. 正のフォワードレート： $f(0,T) \ge 0$
    3. 無裁定性：forwardレートが局所的に暴れない
- monotone convex補間とは、「フォワードレートを区間ごとに二次関数で表し、その積分としてディスカウントファクターを作る。その際 単調性(monotone)と凸性(convex)を強制的に守る」補間法
PythonからInterpolatedDiscountCurveクラスへのアクセスは限定的ながら DiscountCurveクラスから可能で、第4回記事の主役となる

ディスカウントファクターの計算は地味で、出来れば、避けて通りたいのが本音。しかし、Hagan-West流の多変数ニュートン法によるブートストラップを判りやすく記述した教科書(日本語、英語を問わず)が無い。
次回は上記 2年のディスカウントファクター算出を数値例とするHagan-West流の計算法を説明する。(訂正：Hagan-West法と呼ぶ場合、Monotone Convex補間を指すが、次回投稿ではこの補間法に触れないため、「Hagan-West流の計算法」に修正)

まとめ

JSCCのベーシススプレッドを用いたTiborスワップレートの算出法
FRAヘルパーをmu.makeTiborCurveへ追加し、シリアルFRAのDFを算出
FRAから計算されるディスカウントファクターはFRAの満期日のDFである
ブートストラップ時の連立方程式の数
Hagan-West流の計算法(QuantLibのDiscountCurveクラス)の予告
上記コードはテキストのサポートページより、取得可能 (ファイル名：FRAcalc.ipynb, myUtil.py)

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