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@qwer123123

MDAC: Multiplying DACの解説

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image.png

これは典型的な パイプラインADCの1段目（MDAC: Multiplying DAC） や SAR ADCのキャパシタアレイ残差生成部 に相当する回路トポロジーです。
「ビットから生まれた Vdac」「スイッチ」「キャパシタ」「増幅器」を組み合わせ、サンプリングと増幅を交互に切り替えて残差を出力します。

1. 回路構成

  • Vdac

    • ビット判定から生成された基準電圧。
    • 典型的には $0, V_{DD}/2, V_{DD}$ のような値をとる。
    • 「入力との差」を表現するために使う。

  • スイッチ (SW: samp / amp)

    • 2つの位相で交互に動作。
    • samp位相: キャパシタに入力電圧 $V_{in}$ をサンプル。
    • amp位相: キャパシタを再接続し、Vdacを差し引いた電圧を増幅器に渡す。

  • キャパシタ

    • サンプリング用 $C_S$ とフィードバック用 $C_F$。
    • 電荷保存の原理で残差が生成される。

  • 増幅器 (Op-Amp)

    • 理想では無限利得 → 完全な「仮想接地」が成り立つ。
    • 現実では有限利得 ($A_{ol} \approx 10^4$)。
    • フィードバック制御により 理想ゲイン 2倍 → 実効ゲイン ≈ 1.9998 程度。

2. 動作原理（2フェーズ）

(1) samp フェーズ（サンプリング）

  • 入力電圧 $V_{in}$ をキャパシタ $C_S$ にサンプル。
  • 下側は共通モードまたは基準点に接続される。

(2) amp フェーズ（増幅）

  • $C_S$ の上端を Vdac に切り替える。

  • オペアンプ＋フィードバック容量 $C_F$ が動作し、電荷保存から残差電圧が出力される。

  • 理想式:

    $$
    V_{res} = \left(1+\frac{C_S}{C_F}\right) V_{in} - \frac{C_S}{C_F} V_{DAC}
    $$

    $C_S = C_F$ なら

    $$
    V_{res} = 2(V_{in} - V_{DAC})
    $$

3. 有限利得アンプの効果

  • アンプ利得 $A_{ol}=10000$

  • フィードバック係数 $\beta = 1/2$（ゲイン=2構成）

  • 実効クローズドループゲイン:

    $$
    G_{eff} = \frac{A_{ol}}{1+A_{ol}\beta} \cdot \frac{1}{\beta}
    \approx 2 \cdot \frac{10000}{10001} \approx 1.9998
    $$

  • 誤差は約 0.01% 程度。

4. ADC動作への意味

  • 各ステージで「入力－Vdac」を 2倍して次段へ残差として渡す。
  • これにより 逐次的に量子化誤差を削り、全体で高ビット精度を達成。
  • 有限利得やセットリング不足により誤差（DNL, INL）が発生。

✅ まとめ

このトポロジーは スイッチトキャパシタMDAC回路。

  • Vdac: ビット判定からの基準電圧
  • SW: サンプリングと増幅を切替
  • C: 電荷保存で残差生成
  • OpAmp: フィードバックで約2倍のゲイン

理想残差式:

$$
V_{res} = 2(V_{in} - V_{DAC})
$$

現実残差式:

$$
V_{res} \approx G_{eff}(V_{in} - V_{DAC}), \quad G_{eff} \approx 1.9998
$$

  1. 記号
    $V_{in}$：入力，$V_{DAC}$：ビットDAC，$V_{cm}=V_{DD}/2$（基準），$V_x$：比較節点，$V_{res}$：残差出力，容量は等容量 $C_S=C_F=C$，アンプ開ループ利得 $A_{ol}\approx10^4$，フィードバック係数 $\beta=1/2$（ゲイン2構成）。

  2. サンプル→増幅（電荷保存）
    サンプル位相で上板に $V_{in}$ を蓄え，増幅位相で上板を $V_{DAC}$ に切替：

$$
2C,(V_{in}-V_{cm})=2C,(V_{DAC}-V_x)
\quad\Rightarrow\quad
V_x-V_{cm}=(V_{DAC}-V_{cm})-(V_{in}-V_{cm}) \tag{1}
$$

  1. 比較器入力（基準との差）

$$
\Delta_x \equiv V_x-V_{cm}=(V_{DAC}-V_{cm})-(V_{in}-V_{cm}) \tag{2}
$$

  1. アンプ出力（残差）：開ループ近似

$$
V_{res}^{(\mathrm{ol})}\approx A_{ol},\Delta_x \tag{3}
$$

  1. アンプ出力（残差）：閉ループ（等容量・理想は係数2と1）
    有限利得で理想係数にスケール $k$ が掛かる近似：

$$
k ;\equiv; \frac{A_{ol}}{1+A_{ol}\beta}
;;\xrightarrow{;A_{ol}=10^4,;\beta=\tfrac12;};;
k\approx \frac{10000}{1+5000}\approx 1.9996
$$

$$
V_{res};\approx; k\Big[,2,(V_{in}-V_{cm})-(V_{DAC}-V_{cm}),\Big] \tag{4}
$$

  1. 理想（参考）

$$
V_{res}^{(\mathrm{ideal})}=2,(V_{in}-V_{cm})-(V_{DAC}-V_{cm})
= 2(V_{in}-V_{DAC}) \tag{5}
$$

  1. フィードバック動作（増幅位相）
    増幅位相では $C_F$ が出力 $V_{res}$ と節点 $V_x$ を結び，(4) で得た残差が $C_F$ 経由で $V_x$ に帰還（$\beta=1/2$）して仮想接地点を形成。次段へは $V_{res}$ が「差分を2倍（≒$k$)」した残差として渡る。
# Program Name: mdac_residue_demo.py
# Creation Date: 20250821
# Overview: Simulate an MDAC (Multiplying DAC) residue generator for a switched-capacitor ADC stage. Plots ideal vs finite-gain residue curves and time-domain settling.
# Usage: Run as-is. Adjust parameters in the block below (VDD, A_ol, GBW_Hz, Cs, Cf, Vin range, Vdac set). Requires numpy and matplotlib.

!pip install numpy matplotlib -q

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# =========================
# Parameters / パラメータ一元管理
# =========================
VDD        = 1.2                  # Supply voltage [V] / 電源電圧
Vcm        = VDD/2                # Common-mode [V] / 共通モード
Cs         = 1e-12                # Sampling cap [F] / サンプリング容量
Cf         = 1e-12                # Feedback cap [F] / フィードバック容量
A_ol       = 1.0e4                # Op-amp open-loop gain / オペアンプ開ループ利得
GBW_Hz     = 50e6                 # Op-amp gain-bandwidth [Hz] / GBW（1極モデル）
Vin_min    = 0.0                  # Vin sweep min [V] / 入力掃引最小
Vin_max    = VDD                  # Vin sweep max [V] / 入力掃引最大
N_pts      = 401                  # Sweep points / 掃引点数
Vdac_set   = [0.0, VDD/2, VDD]    # DAC candidate levels / DAC電圧の候補
Vin_demo   = 0.73                 # Time demo Vin [V] / 時間応答デモ用Vin
Vdac_demo  = VDD/2                # Time demo Vdac [V] / 時間応答デモ用Vdac
T_set      = 200e-9               # Plot horizon [s] / 表示する時間の長さ
Nt         = 1000                 # Time samples / 時間サンプル数

# =========================
# Helpers / ヘルパー関数
# =========================
def beta_feedback(Cs: float, Cf: float) -> float:
    # Feedback factor for equal-cap SC MDAC (approx) / 等容量SC-MDACの近似β
    # 直感的には「出力のどれだけが負入力へ戻るか」→ Cf/(Cs+Cf)
    return Cf / (Cs + Cf)

def k_scale(A_ol: float, beta: float) -> float:
    # Finite-gain scaling factor / 有限利得によるスケーリング係数
    # 一様に係数が縮む近似：k = A_ol / (1 + A_ol * beta)
    return A_ol / (1.0 + A_ol * beta)

def residue_ideal(Vin: np.ndarray, Vdac: float, Cs: float, Cf: float, Vcm: float) -> np.ndarray:
    # Ideal residue around Vcm (single-ended, Vcm-subtracted) / 理想残差（Vcm基準で単端・Vcm差し引き）
    # Ṽ_res = (1 + Cs/Cf)*(Ṽ_in) - (Cs/Cf)*(Ṽ_DAC)
    Vin_t  = Vin - Vcm
    Vdac_t = Vdac - Vcm
    return (1.0 + Cs/Cf)*Vin_t - (Cs/Cf)*Vdac_t

def residue_finite(Vin: np.ndarray, Vdac: float, Cs: float, Cf: float, Vcm: float, A_ol: float) -> np.ndarray:
    # Finite-gain residue (uniform shrink by k) / 有限利得残差（kで一様に縮小）
    b  = beta_feedback(Cs, Cf)
    k  = k_scale(A_ol, b)
    return k * residue_ideal(Vin, Vdac, Cs, Cf, Vcm)

def tau_closed_loop(GBW_Hz: float, Cs: float, Cf: float) -> float:
    # First-order closed-loop time constant / 1次近似の閉ループ時定数
    # 1極OPAMP: ω_p = 2π*GBW/A_ol, 閉ループ極: ω_cl ≈ 2π*GBW*β → τ = 1/ω_cl
    b = beta_feedback(Cs, Cf)
    w_cl = 2.0*np.pi*GBW_Hz*b
    return 1.0 / w_cl

# =========================
# Static transfer: sweep Vin / 静特性：Vin掃引
# =========================
Vin = np.linspace(Vin_min, Vin_max, N_pts)

plt.figure(figsize=(8,4))
for Vdac in Vdac_set:
    v_id  = residue_ideal(Vin, Vdac, Cs, Cf, Vcm)
    v_fin = residue_finite(Vin, Vdac, Cs, Cf, Vcm, A_ol)
    # Plot ideal / 理想
    plt.plot(Vin, v_id, linestyle='--', label=f"Ideal, Vdac={Vdac:.3f} V")
    # Plot finite-gain / 有限利得
    plt.plot(Vin, v_fin, label=f"Finite gain, Vdac={Vdac:.3f} V")
plt.title("MDAC Residue vs Vin (about Vcm)")
plt.xlabel("Vin [V]")
plt.ylabel("Residue (single-ended, about Vcm) [V]")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

# =========================
# Time-domain settling / 時間応答（セットリング）
# =========================
t   = np.linspace(0.0, T_set, Nt)
v_inf = residue_finite(np.array([Vin_demo]), Vdac_demo, Cs, Cf, Vcm, A_ol)[0]  # Final residue / 最終残差
tau = tau_closed_loop(GBW_Hz, Cs, Cf)
v_t = v_inf * (1.0 - np.exp(-t / tau))  # 1st-order settling / 1次の指数応答

plt.figure(figsize=(8,4))
plt.plot(t, v_t, label="Residue(t)")
plt.plot(t, np.full_like(t, v_inf), linestyle='--', label="Final residue")
plt.title("MDAC Residue Settling (first-order)")
plt.xlabel("Time [s]")
plt.ylabel("Residue (about Vcm) [V]")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

# =========================
# Print key numbers / 主要数値の表示
# =========================
b   = beta_feedback(Cs, Cf)                 # β
k   = k_scale(A_ol, b)                      # k縮小係数
Gid = 1.0 + Cs/Cf                           # 理想ゲイン（Ṽ_in係数）
Geff = k * Gid                              # 実効ゲイン（Ṽ_in係数）
print("# MDAC key numbers / 主要数値")
print(f"beta = {b:.6f}")
print(f"k (finite-gain shrink) = {k:.6f}")
print(f"G_ideal (coeff of Ṽ_in) = {Gid:.6f}")
print(f"G_effective (coeff of Ṽ_in) = {Geff:.6f}")
print(f"tau (s) = {tau:.3e}")
print(f"Residue_final (Vin={Vin_demo:.3f} V, Vdac={Vdac_demo:.3f} V) = {v_inf:.6f} V  (about Vcm)")
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