English
This part explains the foundation of electric circuits.
A circuit has signal sources such as voltage sources and current sources, and it has three basic elements: resistor R, capacitor C, and inductor L.
The key point is that each element has a different relationship between voltage V and current I.
Because of that, the circuit shows different behavior in time response and frequency response.
日本語
この部分は、電気回路の基本を説明しています。
回路には、電圧源や電流源のような信号源があり、基本素子として抵抗 R、コンデンサ C、インダクタ L があります。
大事なのは、それぞれの素子で電圧 V と電流 I の関係が違うことです。
その違いが、時間応答や周波数応答の違いにつながります。
1. Resistor R / 抵抗 R
English
The resistor equation is:
V = R I
I = V / R
This means that when a voltage is applied, a proportional current flows.
A resistor directly connects the present voltage and the present current.
It does not depend on how the signal changed in the past.
So R is the simplest circuit element.
日本語
抵抗の式は次です。
V = R I
I = V / R
これは、電圧をかけると、それに比例した電流が流れるという意味です。
抵抗は、今この瞬間の電圧と電流がそのまま結びつく素子です。
過去にどう変わったかは関係しません。
そのため、R はもっとも分かりやすい素子です。
2. Capacitor C / コンデンサ C
English
The capacitor equation is:
I = C dV/dt
V = (1/C) ∫ I dt
The important part is:
I = C dV/dt
This means that current is related to how fast the voltage changes.
If the voltage changes quickly, a large current flows.
If the voltage is constant, then dV/dt = 0, so the current becomes zero.
So a capacitor is an element that resists sudden change in voltage.
日本語
コンデンサの式は次です。
I = C dV/dt
V = (1/C) ∫ I dt
特に大事なのは次です。
I = C dV/dt
これは、電流が電圧の変化の速さで決まるという意味です。
電圧が急に変わるほど、大きな電流が流れます。
逆に、電圧が一定なら dV/dt = 0 なので、電流は流れません。
つまりコンデンサは、電圧を急に変えにくい素子です。
3. Inductor L / インダクタ L
English
The inductor equation is:
V = L dI/dt
I = (1/L) ∫ V dt
The important part is:
V = L dI/dt
This means that voltage is related to how fast the current changes.
If the current changes quickly, a large voltage is needed.
If the current is constant, then dI/dt = 0, so the voltage becomes zero.
So an inductor is an element that resists sudden change in current.
日本語
インダクタの式は次です。
V = L dI/dt
I = (1/L) ∫ V dt
特に大事なのは次です。
V = L dI/dt
これは、電圧が電流の変化の速さで決まるという意味です。
電流を急に変えようとすると、大きな電圧が必要になります。
逆に、電流が一定なら dI/dt = 0 なので、電圧は生じません。
つまりインダクタは、電流を急に変えにくい素子です。
4. Difference among R, C, and L / R, C, L の違い
English
The difference can be summarized like this:
R: voltage and current are directly proportional
C: current is determined by change in voltage
L: voltage is determined by change in current
This difference decides how the circuit behaves.
日本語
違いを短くまとめると次の通りです。
R: 電圧と電流がその場で比例する
C: 電流は電圧の変化で決まる
L: 電圧は電流の変化で決まる
この違いが、回路の動き方を決めます。
5. Energy / エネルギー
English
The energy expressions are:
Capacitor: Wc = (1/2) C V^2
Resistor : WR = G ∫ V^2 dt = R ∫ I^2 dt
Inductor : WL = (1/2) L I^2
Their meanings are:
- A capacitor stores energy in an electric field.
- An inductor stores energy in a magnetic field.
- A resistor loses energy as heat.
So C and L store energy, while R dissipates energy.
日本語
エネルギーの式は次です。
コンデンサ: Wc = (1/2) C V^2
抵抗 : WR = G ∫ V^2 dt = R ∫ I^2 dt
インダクタ: WL = (1/2) L I^2
意味は次の通りです。
- コンデンサは電界としてエネルギーをためます。
- インダクタは磁界としてエネルギーをためます。
- 抵抗はエネルギーを熱として失います。
つまり、C と L はためる素子、R は消費する素子です。
6. Time Response / 時間応答
English
Time response means how the output changes with time when the input changes with time.
The figure shows a rectangular input Vs and an output VL.
The output does not change instantly into the same shape as the input.
It changes more gradually, and sometimes it shows delay or a small overshoot.
This happens because C and L do not allow sudden change easily.
日本語
時間応答とは、入力が時間とともに変わったとき、出力が時間に対してどう変わるかを見るものです。
図では、矩形波入力 Vs に対して、出力 VL がすぐ同じ形にはなっていません。
出力は少しなめらかに変わり、遅れや小さな行き過ぎが見えることがあります。
これは、C や L が急な変化をすぐには通しにくいからです。
7. Why Differential Equations Appear / なぜ微分方程式になるか
English
With only a resistor, the equation is simple:
V = R I
But with a capacitor or an inductor, derivatives appear:
I = C dV/dt
V = L dI/dt
So the circuit equations become differential equations.
That means the circuit depends not only on the present value, but also on how the value is changing.
日本語
抵抗だけなら式は単純です。
V = R I
しかし、コンデンサやインダクタが入ると、次のように微分が入ります。
I = C dV/dt
V = L dI/dt
そのため、回路全体の式は微分方程式になります。
つまり、回路は今の値だけでなく、その値がどう変化しているかにも左右されます。
8. Laplace Transform / ラプラス変換
English
To find time response directly, you need to solve differential equations.
Laplace transform makes this easier.
In circuit analysis, we often write:
Zc = 1 / (sC)
Zl = sL
Then circuits with C and L can be handled in a form similar to ordinary algebra.
日本語
時間応答をそのまま求めるには、微分方程式を解く必要があります。
そこで使うのがラプラス変換です。
回路ではよく次のように書きます。
Zc = 1 / (sC)
Zl = sL
こうすると、C や L を含む回路も、普通の代数のような形で整理しやすくなります。
9. Frequency Response / 周波数応答
English
Frequency response means how the output amplitude and phase change when the input frequency changes.
The figure shows that at low frequency, the output is relatively large and the delay is small.
At high frequency, the output becomes much smaller and the phase lag becomes larger.
The graph also shows gain in dB and phase in degrees.
日本語
周波数応答とは、入力の周波数を変えたときに、出力の大きさと位相がどう変わるかを見るものです。
図では、低い周波数では出力が比較的大きく、遅れも小さいです。
高い周波数になると、出力はかなり小さくなり、位相の遅れも大きくなります。
また、グラフでは利得を dB、位相を度で表しています。
10. MOS Amplifier Circuit / MOS増幅回路
English
This example shows a MOS transistor used as an amplifier.
The given values are:
Input amplitude = 100 mV
Output amplitude = 630 mV
Voltage gain = 6.3
Power supply = 2 V
Load resistance = 1 kΩ
Bias voltage = 0.7 V
Input frequency = 1 kHz
The main idea is simple.
A small input signal is applied to the gate, and a larger voltage variation appears at the output.
The input is not only an AC signal.
A bias voltage is also applied.
This bias is necessary because a MOS transistor cannot be used as a linear amplifier if it is just left at zero input.
First, the transistor must be placed at a suitable operating point.
Then a small AC signal is added around that point.
This is why the circuit can amplify small variations.
The operation can be understood in the following flow:
small gate-voltage change
→ drain current changes
→ voltage drop across load resistor changes
→ output voltage changes
So the transistor itself changes current, and the load resistor converts that current change into an output voltage change.
The example also shows a small-signal equivalent circuit.
This is one of the most important ideas in electronic circuit analysis.
A real transistor is nonlinear, but if the signal is small enough, the transistor can be replaced by a simpler linear model around the operating point.
In that model, the drain current is written as
i_d = g_m v_1
Here, g_m is transconductance.
It tells us how much the drain current changes when the input voltage changes a little.
A larger g_m means that the transistor reacts more strongly to the same small input signal.
The load resistor is R_L = 1 kΩ, so the current variation produced by the MOS transistor becomes a voltage variation across that resistor.
For a simple model, the voltage gain is approximately written as
A_v ≈ - g_m R_L
The minus sign means inversion.
When the input goes up, the drain current increases, the voltage drop across the resistor becomes larger, and the drain-side output voltage goes down.
So this kind of amplifier increases signal size but flips the phase.
The given numerical result is
A_v = 630 mV / 100 mV = 6.3
So the output amplitude is 6.3 times the input amplitude.
This is exactly what voltage gain means in this example.
The most important point is not only the number 6.3.
The deeper point is the method:
real transistor circuit
→ choose bias point
→ replace with small-signal model
→ calculate gain using circuit theory
This is the standard bridge between device physics and amplifier design.
A simple way to understand this circuit is:
The MOS transistor controls current.
The resistor converts current into voltage.
That combination creates amplification.
That is the core idea of a MOS amplifier.
日本語
この例は、MOSトランジスタを増幅器として使う回路を示しています。
与えられている値は次の通りです。
入力振幅 = 100 mV
出力振幅 = 630 mV
電圧利得 = 6.3倍
電源電圧 = 2 V
負荷抵抗 = 1 kΩ
バイアス電圧 = 0.7 V
入力周波数 = 1 kHz
いちばん大事な意味は単純です。
ゲートに小さな入力信号を加えると、出力側ではそれより大きな電圧変化が現れます。
入力は交流信号だけではありません。
バイアス電圧も加えられています。
このバイアスが必要なのは、MOSトランジスタは入力を 0 のままにしても、そのまま線形な増幅器としては使えないからです。
まず適切な動作点に置き、そのまわりで小さく信号を揺らして使います。
だから小さな変化を増幅できるわけです。
動作の流れは、次のように考えると分かりやすいです。
ゲート電圧が少し変わる
→ ドレイン電流が変わる
→ 負荷抵抗にかかる電圧降下が変わる
→ 出力電圧が変わる
つまり、トランジスタそのものは電流を変える素子で、負荷抵抗がその電流変化を電圧変化に変換しています。
この例には、小信号等価回路も示されています。
これは電子回路解析で非常に重要な考え方です。
実際のトランジスタは非線形素子ですが、信号が十分小さいなら、動作点の近くではもっと簡単な線形モデルに置き換えられます。
そのモデルでは、ドレイン電流は
i_d = g_m v_1
と書かれています。
ここで g_m は相互コンダクタンスです。
これは、入力電圧が少し変わったときに、ドレイン電流がどれだけ変わるかを表す量です。
g_m が大きいほど、同じ小さな入力変化に対して、より大きく電流が変わります。
負荷抵抗は R_L = 1 kΩ なので、MOS が作った電流変化は、その抵抗で電圧変化に変わります。
単純なモデルでは、電圧利得はだいたい
A_v ≈ - g_m R_L
と書けます。
マイナス符号は反転を表します。
入力が上がるとドレイン電流が増え、抵抗の電圧降下が大きくなり、出力電圧は下がります。
つまりこの増幅回路は、信号を大きくしつつ位相を反転させる形です。
与えられた数値結果は
A_v = 630 mV / 100 mV = 6.3
です。
したがって、出力振幅は入力振幅の 6.3 倍です。
これが、この例でいう電圧利得の意味です。
本当に大事なのは、6.3 という数字だけではありません。
もっと大事なのは、考え方の流れです。
実際のトランジスタ回路
→ バイアスで動作点を決める
→ 小信号等価回路に置き換える
→ 電気回路の式で利得を求める
この流れが、素子の物理と増幅回路設計をつなぐ基本です。
かなり直感的に言うと、この回路は次の一文でまとまります。
MOSトランジスタが電流を変え、
抵抗がその電流を電圧に変える。
その組み合わせで増幅が起きる。
11. Electrical Circuit vs Electronic Circuit / 電気回路と電子回路
English
An electrical circuit and an electronic circuit are related, but they are not exactly the same.
The basic idea is:
Electrical circuit:
mainly uses linear elements such as R, L, and C
Electronic circuit:
uses not only R, L, and C
but also active and nonlinear devices such as amplifiers and transistors
So an electronic circuit can be seen as an extended form of an electrical circuit.
An electrical circuit is usually explained first with simple linear elements.
For example, a resistor, a capacitor, and an inductor have equations that are relatively easy to handle.
Because of that, voltage, current, impedance, time response, and frequency response can be studied in a clean mathematical form.
A typical example is an RC circuit.
It uses only passive elements, and its behavior is determined by the relation between resistance and capacitance.
This kind of circuit is important because it teaches the foundation of circuit analysis.
An electronic circuit goes one step further.
It includes elements such as amplifiers or transistors, which can control one signal by another signal.
That is why an electronic circuit can do useful functions such as:
amplification
switching
signal processing
oscillation
filtering with active devices
In other words, an electrical circuit mainly describes how voltage and current behave in a network, while an electronic circuit is often designed to realize a specific function.
Another important difference is linearity.
A simple electrical circuit course often starts from linear elements:
R, L, C
These are easier to analyze because superposition, impedance methods, and frequency-domain methods work well.
But electronic circuits often contain nonlinear behavior.
For example, a transistor does not always respond in a perfectly proportional way over a wide range.
That is why biasing and small-signal analysis become important.
A nonlinear device is first placed at a proper operating point, and then a small change around that point is analyzed by a linear approximation.
This is the bridge between basic circuit theory and real amplifier design.
So the relation can be summarized like this:
Electrical circuit:
foundation
focus on voltage, current, impedance, and network analysis
Electronic circuit:
application of circuit theory using active devices
focus on realizing useful functions
A short intuitive summary is:
Electrical circuit studies how electricity flows.
Electronic circuit uses that flow to make something useful.
That is the main difference.
日本語
電気回路と電子回路は関係していますが、まったく同じものではありません。
基本の整理は次の通りです。
電気回路:
主に R, L, C のような線形素子を使う
電子回路:
R, L, C だけでなく
増幅器やトランジスタのような能動素子・非線形素子も使う
つまり、電子回路は電気回路を土台にして、さらに機能を持たせたものと考えると分かりやすいです。
電気回路では、まず単純な線形素子から学びます。
たとえば抵抗、コンデンサ、インダクタは、式の形が比較的きれいで扱いやすいです。
そのため、電圧、電流、インピーダンス、時間応答、周波数応答を数理的に整理しやすいです。
代表例は RC 回路です。
これは受動素子だけでできていて、抵抗と容量の関係で動作が決まります。
このような回路は、回路解析の土台を学ぶために重要です。
一方で、電子回路はその先へ進みます。
電子回路には、増幅器やトランジスタのように、ある信号で別の信号を制御する素子が入ります。
そのため、電子回路では次のような機能が実現できます。
増幅
スイッチ動作
信号処理
発振
能動素子を使ったフィルタ動作
言い換えると、電気回路は「回路網の中で電圧と電流がどう振る舞うか」を主に扱い、電子回路は「その振る舞いを使って目的の機能を作る」ことを強く意識します。
もう一つ大事な違いは、線形か非線形かです。
電気回路では、最初は
R, L, C
のような線形素子から入ることが多いです。
線形素子は、重ね合わせ、インピーダンス法、周波数領域での解析が使いやすいので、理論を整理しやすいです。
しかし電子回路では、非線形な振る舞いがよく出てきます。
たとえばトランジスタは、広い範囲でいつでも完全比例するわけではありません。
そのため、バイアスを決めたり、小信号解析を使ったりすることが重要になります。
つまり、非線形素子をまず適切な動作点に置き、その近くの小さな変化だけを線形近似して調べるわけです。
ここが、基礎の電気回路と実際の増幅回路設計をつなぐ部分です。
整理すると、関係は次のようになります。
電気回路:
基礎
電圧・電流・インピーダンス・回路網解析が中心
電子回路:
回路理論を土台に能動素子を使う応用
目的の機能を実現することが中心
かなり直感的にまとめると、
電気回路は、電気がどう流れるかを学ぶ。
電子回路は、その流れを使って役に立つ機能を作る。
12. Circuit Elements and Terminals / 回路素子と端子
English
A circuit is made of parts called circuit elements.
Typical examples are:
voltage source
resistor R
inductor L
capacitor C
These parts are the building blocks of a circuit.
A place where current enters or leaves an element is called a terminal. In the material, this is also labeled as a node.
A two-terminal element is usually drawn like this:
terminal o ---- element ---- o terminal
When we analyze a circuit, we often assign:
V = voltage across the element
I = current through the element
This is important because circuit analysis starts by deciding:
where the voltage is measured
which direction the current is defined
So the first step in circuit theory is not calculation.
It is to identify the element, the terminals, the voltage polarity, and the current direction.
A simple image is this:
element:
the part that does something
terminal:
the connection point where electricity enters or leaves
日本語
回路は、回路素子 と呼ばれる部品でできています。
代表例は次の通りです。
電源
抵抗 R
インダクタ L
コンデンサ C
これらが回路の基本部品です。
そして、電流が流入したり流出したりする接続点を 端子 と呼びます。資料では node という語も添えられています。
2端子素子は、イメージとしては次のように見ます。
端子 o ---- 素子 ---- o 端子
回路解析では、この素子に対して
V = 素子の両端の電圧
I = 素子を流れる電流
を定めます。
ここで大事なのは、計算の前に
どこからどこまでを電圧とするか
電流の向きをどちら向きに決めるか
をはっきりさせることです。
つまり、回路理論の出発点は
素子を見分ける
端子を見分ける
電圧の向きを決める
電流の向きを決める
ことです。
直感的には、
回路素子 = はたらきを持つ部品
端子 = 電気が出入りする入口と出口
と考えると分かりやすいです。
13. Current / 電流
English
Current means the flow of electric charge.
Its size is defined as:
I = ΔQ / Δt
where
I = current
ΔQ = amount of charge that passes
Δt = time interval
The unit of charge is:
C = coulomb
The unit of current is:
A = ampere
So,
1 A = 1 C/s
This means:
if 1 coulomb of charge passes a cross section in 1 second,
the current is 1 ampere
The important point is that current is not “electricity stored somewhere.”
Current describes how fast charge is moving through a cross section.
So current is a rate.
A useful way to read the formula is:
current = charge flow speed
If more charge passes in the same time, current becomes larger.
If the same charge takes a longer time, current becomes smaller.
日本語
電流とは、電荷の流れ のことです。
大きさは次の式で定義されます。
I = ΔQ / Δt
ここで
I = 電流
ΔQ = 通過した電荷量
Δt = 時間
です。
電荷の単位は
C = クーロン
電流の単位は
A = アンペア
です。
したがって、
1 A = 1 C/s
となります。
これは、
1秒間に1クーロンの電荷がある断面を通過したら
その電流は1アンペア
という意味です。
ここで大事なのは、電流は「電気そのものの量」ではなく、
どれだけの電荷が、どれだけの速さで流れているか を表す量だということです。
つまり電流は、速度に近い見方で理解できます。
電流 = 電荷の流れる速さ
同じ時間でたくさんの電荷が通れば電流は大きくなり、
同じ電荷でも通るのに時間がかかれば電流は小さくなります。
14. Voltage / 電圧
English
Voltage is the difference in electric potential between two terminals.
The material explains it as the energy needed to move charge, divided by the amount of charge.
The formula is:
V = ΔW / ΔQ
where
V = voltage
ΔW = energy needed
ΔQ = moved charge
The unit of energy is:
J = joule
The unit of voltage is:
V = volt
So,
1 V = 1 J/C
This means:
if 1 joule of energy is needed to move 1 coulomb of charge,
the voltage is 1 volt
A good intuitive image is this:
current:
how much charge flows per second
voltage:
how strongly charge is pushed
Current tells us about the amount of flow.
Voltage tells us about the driving force per unit charge.
That is why voltage and current are different.
They are related, but they are not the same thing.
日本語
電圧とは、2端子間の電位差 です。
資料では、電荷を動かすのに必要なエネルギーを、その電荷量で割った量として説明されています。
式で書くと、
V = ΔW / ΔQ
です。
ここで
V = 電圧
ΔW = 必要なエネルギー
ΔQ = 動かす電荷量
です。
エネルギーの単位は
J = ジュール
電圧の単位は
V = ボルト
です。
したがって、
1 V = 1 J/C
となります。
これは、
1クーロンの電荷を動かすのに1ジュールのエネルギーが必要なら
その電圧は1ボルト
という意味です。
直感的には、電圧は
電荷を押す強さ
のように見ると分かりやすいです。
一方、電流は
どれだけ流れているか
を表します。
つまり、
電流 = 流れる量の速さ
電圧 = 1単位電荷あたりの押す力の大きさ
です。
この2つはいつも一緒に出てきますが、意味は別です。
電圧は「押す側」、電流は「流れる側」と整理すると理解しやすいです。
15. Short intuitive summary / 直感的まとめ
English
Circuit element:
a part such as R, L, C, or a source
Terminal:
a point where current enters or leaves
Current:
flow rate of charge
I = ΔQ / Δt
Voltage:
energy per charge
V = ΔW / ΔQ
日本語
回路素子:
R, L, C や電源などの部品
端子:
電流が出入りする接続点
電流:
電荷の流れる速さ
I = ΔQ / Δt
電圧:
電荷1個あたりを押すエネルギー
V = ΔW / ΔQ
15. Voltage / 電圧
English
Voltage is the quantity that makes electric charge move.
It can be understood as electrical pressure, and in electromagnetics it is defined as the difference in electric potential between two points. The symbol is V, and the unit is also V for volt.
A simple way to think about it is:
Current:
how much charge flows
Voltage:
how strongly the charge is pushed
So voltage does not mean flow itself.
It means the cause that drives the flow.
You can summarize it like this:
Voltage:
electrical pressure
Voltage:
potential difference between two points
The unit name volt comes from Alessandro Volta, who is known for the early battery that could produce continuous current.
日本語
電圧とは、電荷を動かすもとになる量 です。
直感的には 電気的な圧力 と考えることができ、電磁気学では 2点間の電位差 と定義されます。量記号は V、単位も V で、読みはボルトです。
分かりやすく言うと、
電流:
どれだけ流れるか
電圧:
どれだけ強く押すか
です。
つまり、電圧そのものが流れているのではなく、
流れを生じさせる側の量 です。
まとめると、
電圧:
電気的な圧力
電圧:
2点間の電位差
です。
なお、ボルトという単位名は、電池で有名なボルタに由来します。
16. Electric Power / 電力
English
Electric power is the rate of energy transfer or energy consumption.
Its basic definition is:
P = ΔW / Δt
where
P = power
ΔW = energy
Δt = time
The unit of power is:
W = watt
In circuits, the most important relation is:
P = IV
This means:
power = voltage × current
So when a circuit element has voltage across it and current through it, energy is being transferred every second.
That speed of energy transfer is power.
For example,
V = 100 V
I = 5 A
then
P = IV = 100 × 5 = 500 W
This means the element uses or receives 500 J of energy every second.
日本語
電力とは、エネルギーのやりとりの速さ、または 単位時間あたりのエネルギー です。
基本の定義は
P = ΔW / Δt
です。
ここで
P = 電力
ΔW = エネルギー
Δt = 時間
です。
電力の単位は
W = ワット
です。
回路で特に重要なのは、
P = IV
という式です。
これは
電力 = 電圧 × 電流
という意味です。
つまり、ある素子の両端に電圧がかかり、その素子に電流が流れているなら、
その素子では毎秒エネルギーの受け渡しが起きています。
その速さが電力です。
たとえば、
V = 100 V
I = 5 A
なら、
P = IV = 100 × 5 = 500 W
です。
これは、1秒ごとに 500 J のエネルギーを使う、または受け取るという意味です。
17. Electrical Energy / 電力量
English
Electrical energy means the total amount of energy used over time.
If power is constant, the formula is:
W = Pt
where
W = energy
P = power
t = time
So:
energy = power × time
The unit can be written as:
J
Ws
Wh
and
1 Wh = 3600 Ws
because one hour is 3600 seconds.
If power changes with time, then we cannot just multiply by time.
We must integrate:
W = ∫ p dt
So the basic idea is:
constant power -> W = Pt
changing power -> W = ∫ p dt
日本語
電力量とは、ある時間のあいだに使ったエネルギーの合計 です。
電力が一定なら、式は
W = Pt
です。
ここで
W = 電力量
P = 電力
t = 時間
です。
つまり、
電力量 = 電力 × 時間
です。
単位は
J
Ws
Wh
などで表せます。
また、
1 Wh = 3600 Ws
です。
これは 1 時間 = 3600 秒だからです。
一方、電力が時間によって変わるなら、単純な掛け算ではなく時間積分を使います。
W = ∫ p dt
つまり、考え方は
電力が一定 -> W = Pt
電力が変化 -> W = ∫ p dt
です。
18. Exercise / 演習問題
English
Suppose there is a light bulb with:
V = 100 V
P = 500 W
Find the current.
We use:
P = IV
So,
I = P / V
= 500 / 100
= 5 A
Next, suppose two such bulbs are used for 5 hours per day for 20 days.
First, total power:
2 × 500 = 1000 W
Total time:
5 h × 20 = 100 h
So total energy is:
W = Pt
= 1000 × 100
= 100000 Wh
= 100 kWh
日本語
次の電球があるとします。
V = 100 V
P = 500 W
まず、流れる電流を求めます。
使う式は
P = IV
なので、
I = P / V
= 500 / 100
= 5 A
です。
次に、この電球を 2 個、毎日 5 時間ずつ 20 日間使うとします。
まず全電力は
2 × 500 = 1000 W
です。
合計時間は
5 h × 20 = 100 h
です。
したがって使用電力量は
W = Pt
= 1000 × 100
= 100000 Wh
= 100 kWh
19. Resistance / 抵抗
English
Resistance is the quantity that represents how strongly a circuit element opposes current flow.
For a resistor, the basic relation is:
R = V / I
If conductance G is used, the relation is:
R = 1 / G
The unit of resistance is:
ohm = Ω
So the basic meaning is simple:
large R -> current flows less easily
small R -> current flows more easily
These are the fundamental definitions used for a resistor.
日本語
抵抗とは、電流の流れにくさ を表す量です。
抵抗素子では、基本式は次の通りです。
R = V / I
また、コンダクタンス G を使うと、
R = 1 / G
です。
単位は
オーム = Ω
です。
意味はとても単純で、
R が大きい -> 電流が流れにくい
R が小さい -> 電流が流れやすい
となります。
20. Short Circuit and Open Circuit / 短絡と開放
English
A short circuit means the resistance is zero.
In that case, the voltage across the two points is zero, while current may still flow.
short circuit:
R = 0
V = RI = 0
I ≠ 0
An open circuit means the resistance is infinitely large.
In that case, no current flows, although a voltage may exist across the two points.
open circuit:
R = ∞
I = V / R = 0
V ≠ 0
A good intuitive summary is:
short circuit:
connected too directly
open circuit:
path is broken
日本語
短絡とは、抵抗が 0 の状態 です。
このとき、両端の電圧は 0 ですが、電流は流れうる状態です。
短絡:
R = 0
V = RI = 0
I ≠ 0
開放とは、抵抗が無限大の状態 です。
このとき、電流は流れませんが、両端に電圧があることはあります。
開放:
R = ∞
I = V / R = 0
V ≠ 0
直感的に言うと、
短絡:
つながりすぎている状態
開放:
途中で切れている状態
です。
21. Electric Resistance and Resistivity / 電気抵抗と抵抗率
English
The material also explains how the resistance of a conductor depends on its shape and material.
The formula is:
R = ρ l / S
where
R = resistance
ρ = resistivity
l = length
S = cross-sectional area
This means:
longer wire -> larger resistance
larger area -> smaller resistance
larger ρ -> larger resistance
So resistance is determined not only by voltage and current, but also by material property and geometry.
日本語
資料では、抵抗は導体の 形 と 材料 によっても決まると説明されています。
式は次の通りです。
R = ρ l / S
ここで
R = 抵抗
ρ = 抵抗率
l = 長さ
S = 断面積
です。
この式から、
長いほど -> 抵抗は大きい
太いほど -> 抵抗は小さい
抵抗率が大きい -> 抵抗は大きい
と分かります。
つまり抵抗は、電圧と電流だけでなく、材質 と 寸法 によって決まります。
22. Inductance / インダクタンス
English
An inductor is a coil.
When the current through the coil changes, the magnetic flux changes, and a voltage is produced. The material gives the following relation:
v(t) = L di(t)/dt
and equivalently,
i(t) = (1/L) ∫ v(t) dt
The unit of inductance is:
H = henry
A very important point is this:
the voltage of an inductor depends on how fast the current changes
For direct current in steady state, the material explains that a coil behaves like an ordinary wire, so it is treated as a short circuit.
日本語
インダクタは コイル です。
コイルに流れる電流が変化すると、磁束が変化し、その結果として電圧が生じます。基本式は次の通りです。
v(t) = L di(t)/dt
同じ内容を積分の形で書くと、
i(t) = (1/L) ∫ v(t) dt
です。
単位は
H = ヘンリー
です。
ここで大事なのは、
インダクタの電圧は
電流そのものではなく
電流の変化の速さで決まる
ということです。
また、直流の定常状態ではコイルは単なる導線のようにふるまい、短絡状態 とみなされます。
23. Capacitance / キャパシタンス
English
A capacitor is an element that stores charge.
The basic proportional relation between charge and voltage is:
Q = CV
V = Q / C
C = Q / V
The unit of capacitance is:
F = farad
If voltage changes with time, the stored charge also changes with time.
The material gives these relations:
q(t) = C v(t)
q(t) = ∫ i(t) dt
v(t) = (1/C) ∫ i(t) dt
i(t) = C dv(t)/dt
The most important idea is:
the current of a capacitor depends on how fast the voltage changes
For direct current in steady state, a capacitor behaves like an insulator, so it is treated as an open circuit.
日本語
コンデンサは、電荷を蓄える素子 です。
電荷と電圧の基本関係は次の通りです。
Q = CV
V = Q / C
C = Q / V
単位は
F = ファラド
です。
電圧が時間とともに変化すると、蓄えられる電荷も変化します。
資料では次の式が示されています。
q(t) = C v(t)
q(t) = ∫ i(t) dt
v(t) = (1/C) ∫ i(t) dt
i(t) = C dv(t)/dt
ここで重要なのは、
コンデンサの電流は
電圧の大きさそのものではなく
電圧変化の速さで決まる
という点です。
また、直流の定常状態ではコンデンサは絶縁体のようにふるまい、開放状態 とみなされます。
24. Exercise / 演習問題
English
From the circuit diagram, the node potentials are shown as:
a = 3.0 V
b = 1.5 V
c = 0 V
d = -1.5 V
Using these values, the voltages asked in the figure are:
Va = 1.5 - (-1.5) = 3.0 V
Vb = 3.0 - (-1.5) = 4.5 V
If point a and point b' are at the same potential, then b' = 3.0 V.
Since the lower connected point is 0 V, the required source is:
E4' = 3.0 V
So the answers are:
Va = 3.0 V
Vb = 4.5 V
E4' = 3.0 V
日本語
図の電位は次のように与えられています。
a = 3.0 V
b = 1.5 V
c = 0 V
d = -1.5 V
これをそのまま使うと、求める電圧は次のようになります。
Va = 1.5 - (-1.5) = 3.0 V
Vb = 3.0 - (-1.5) = 4.5 V
さらに、点 a と点 b' が等電位なら、
b' = 3.0 V
です。
下側の接続点は 0 V なので、必要な起電力は
E4' = 3.0 V
となります。
したがって答えは
Va = 3.0 V
Vb = 4.5 V
E4' = 3.0 V
25. Exercise on Ohm’s Law / オームの法則の演習
English
For a resistor, the basic relation is:
V = IR
I = V / R
R = V / I
Using this, the exercise answers are:
3-1
R = V / I
= 100 / 5
= 20 Ω
3-2
I = V / R
= 100 / 50
= 2 A
3-3
V = IR
= 10 × 20
= 200 V
3-4
First, find the resistance:
R = V / I
= 100 / 10
= 10 Ω
Then,
I = V / R
= 95 / 10
= 9.5 A
So the final answers are:
3-1 20 Ω
3-2 2 A
3-3 200 V
3-4 9.5 A
These are direct applications of Ohm’s law.
日本語
抵抗では、基本式は
V = IR
I = V / R
R = V / I
です。
これを使うと、演習の答えは次の通りです。
3-1
R = V / I
= 100 / 5
= 20 Ω
3-2
I = V / R
= 100 / 50
= 2 A
3-3
V = IR
= 10 × 20
= 200 V
3-4
まず抵抗を求める:
R = V / I
= 100 / 10
= 10 Ω
次に,
I = V / R
= 95 / 10
= 9.5 A
したがって最終答えは
3-1 20 Ω
3-2 2 A
3-3 200 V
3-4 9.5 A
です。これはすべてオームの法則の直接計算です。
26. Common Quantity Symbols and Units / よく使う量記号と単位記号
English
In circuit theory, several symbols appear repeatedly.
Charge Q, q [C]
Current I, i [A]
Voltage V, v [V]
Power P, p [W] = [J/s]
Electrical energy W [Ws] = [J], [Wh]
Time t [s] or [h]
Resistance R [Ω]
Inductance L [H]
Capacitance C [F]
A useful point is that uppercase and lowercase are both used in circuit theory, depending on context. The material lists these standard symbols and units as the basic language of circuit analysis.
日本語
回路理論では、同じ記号が何度も出てきます。
電荷 Q, q [C]
電流 I, i [A]
電圧 V, v [V]
電力 P, p [W] = [J/s]
電力量 W [Ws] = [J], [Wh]
時間・時刻 t [s] or [h]
抵抗 R [Ω]
インダクタンス L [H]
キャパシタンス C [F]
このような量記号と単位記号は、回路を読むための基本の言語です。
また、回路では大文字と小文字の両方が使われます。
27. Prefixes for Unit Size / 単位の大きさを表す接頭語
English
Very large or very small circuit values are often written with prefixes.
p pico 10^-12
n nano 10^-9
μ micro 10^-6
m milli 10^-3
k kilo 10^3
M mega 10^6
G giga 10^9
T tera 10^12
Examples:
1 mA = 10^-3 A
1 μF = 10^-6 F
1 kΩ = 10^3 Ω
1 MHz = 10^6 Hz
These prefixes are essential because real circuit values are rarely written only in base units.
日本語
回路では、値がとても小さい、または大きいことが多いので、接頭語を使います。
p ピコ 10^-12
n ナノ 10^-9
μ マイクロ 10^-6
m ミリ 10^-3
k キロ 10^3
M メガ 10^6
G ギガ 10^9
T テラ 10^12
たとえば、
1 mA = 10^-3 A
1 μF = 10^-6 F
1 kΩ = 10^3 Ω
1 MHz = 10^6 Hz
です。
実際の回路値は基本単位だけで書くと読みにくいので、これらの接頭語はとても重要です。
28. Power Supply and Electromotive Force / 電源と起電力
English
A power supply is a source that provides electrical energy.
It can be understood as a device that produces electrical pressure, that is, voltage. The material also explains that a source may be viewed as something that generates current.
Two important ideal types are:
constant-voltage source
constant-current source
The material defines electromotive force as the ability to create a potential difference. Its symbol is:
E or e
and its unit is:
V
So electromotive force is not a separate unit from voltage.
It is the source’s ability to generate voltage.
Typical examples of sources are:
voltage source:
chemical battery
solar cell
current source:
transistor
diode
日本語
電源とは、電気エネルギーを供給する源 です。
別の言い方をすると、電圧を発生させる装置 と考えられます。資料では、電流を発生させる装置と見ることもできると説明されています。
理想的な分類として重要なのは、
定電圧源
定電流源
です。
また、起電力とは、電位差を生み出す能力 のことです。
量記号は
E または e
で、単位は
V
です。
つまり起電力は、電圧とは別の単位を持つ量ではなく、
電源がどれくらい電圧を生み出せるか を表す値です。
代表例としては、
電圧源:
化学電池
太陽電池
電流源:
トランジスタ
ダイオード
があります。
29. Direct Current and Alternating Current / 直流と交流
English
Direct current, or DC, means that the value and direction of voltage or current stay constant with time.
DC:
value is constant
direction is constant
Alternating current, or AC, means that the value and direction repeat with time.
AC:
value changes with time
direction also changes periodically
The material expresses AC quantities as functions of time, such as:
v = f(t)
i = f(t)
A key practical point is:
DC analysis is simpler
AC analysis is more complex and needs mathematical methods
日本語
直流 DC とは、電圧や電流の 値と向きが時間に関係なく一定 のものです。
DC:
値が一定
向きが一定
交流 AC とは、電圧や電流の 値と向きが時間とともに繰り返し変化する ものです。
AC:
値が時間で変化する
向きも周期的に変わる
交流では、量は時間の関数として
v = f(t)
i = f(t)
のように表されます。
実用上の大事な整理は、
直流解析は比較的簡単
交流解析は複雑で、数学的手法が必要
という点です。
30. Direct Current and Alternating Current / 直流と交流
English
Direct current means that the magnitude and direction of current stay constant with time.
DC:
magnitude is constant
direction is constant
Alternating current means that the magnitude and direction change with time.
AC:
magnitude changes with time
direction changes with time
A simple image is:
DC:
flat and constant
AC:
repeating waveform
In practical use, DC is associated with batteries and many electronic products, while AC is convenient for changing voltage with transformers and for power transmission. In Japan, commercial power uses 50 Hz in eastern Japan and 60 Hz in western Japan.
日本語
直流とは、電流の大きさと向きが時間がたっても変わらないものです。
DC:
大きさが一定
向きが一定
交流とは、電流の大きさと向きが時間とともに変わるものです。
AC:
大きさが変わる
向きも変わる
イメージとしては、
DC:
一定のまま
AC:
波のように繰り返す
です。実用上は、直流は電池や電子機器内部でよく使われ、交流はトランスで電圧を変えやすく、送電に向いています。日本の商用電源は、東日本が 50 Hz、西日本が 60 Hz です。
31. DC Voltage Source / 直流電圧源
English
A DC voltage source is a source that supplies a constant voltage to a load.
DC voltage source:
constant voltage source
A simple example is a battery.
In a basic circuit,
E0 = source voltage
R = load resistance
I = current
The source creates the voltage, and the current flows through the load because of that voltage.
日本語
直流電圧源とは、負荷に一定の電圧を与える電源です。
直流電圧源:
一定の電圧を出す電源
代表例は電池です。
基本回路では、
E0 = 電源電圧
R = 負荷抵抗
I = 電流
と書きます。
電源が電圧を作り、その電圧によって負荷に電流が流れます。
32. Direction of Current / 電流の向き
English
When a DC voltage source drives a load, current flows out of the positive terminal, passes through the load, and returns to the negative terminal.
outside the source:
+ terminal -> load -> - terminal
Inside the source, the current direction is opposite.
inside the source:
- terminal -> + terminal
This is the standard current direction used in circuit diagrams.
日本語
直流電圧源が負荷を動かすとき、電流は電源の + 端子から出て、負荷を通り、- 端子へ戻ります。
電源の外:
+端子 -> 負荷 -> -端子
一方、電源の内部では逆向きです。
電源の中:
-端子 -> +端子
これが回路図で使う標準的な電流の向きです。
33. Ideal and Real Voltage Source / 理想電圧源と実際の電圧源
English
An ideal voltage source keeps its voltage constant no matter how much current the load takes.
ideal voltage source:
output voltage is constant
internal resistance = 0
A real voltage source is modeled as an ideal voltage source plus a small internal resistance in series.
real voltage source:
ideal voltage source + series internal resistance
So real sources are not perfectly constant when current flows.
日本語
理想電圧源は、負荷電流がどうなっても出力電圧が一定です。
理想電圧源:
出力電圧が一定
内部抵抗 = 0
実際の電圧源は、理想電圧源に小さな内部抵抗が直列に入ったものとして表します。
実際の電圧源:
理想電圧源 + 直列の内部抵抗
したがって、実際の電源では電流が流れると出力電圧が少し下がります。
34. Equivalent Circuit of a Voltage Source / 電圧源の等価回路
English
For a real voltage source, the terminal voltage is lower than the open-circuit voltage because of the internal resistance.
The basic equation is:
VL = VO - IL RO
where
VO = open-circuit voltage
RO = internal resistance
IL = load current
VL = load voltage
This means:
more load current -> larger voltage drop inside the source
-> lower output voltage
An ideal voltage source would keep VL constant, but a real one decreases as current increases.
日本語
実際の電圧源では、内部抵抗があるため、端子電圧は開放電圧より小さくなります。
基本式は
VL = VO - IL RO
です。
ここで
VO = 開放電圧
RO = 内部抵抗
IL = 負荷電流
VL = 負荷電圧
です。
意味としては、
負荷電流が大きい
-> 内部抵抗での電圧降下が大きい
-> 出力電圧が下がる
となります。理想電圧源では VL は一定ですが、実際の電圧源では電流が増えるほど下がります。
35. Series and Parallel Connection of Voltage Sources / 電圧源の直列接続と並列接続
English
When ideal voltage sources are connected in series, the voltages add.
VO = V1 + V2
Ideal voltage sources should not be connected directly in parallel.
parallel connection of ideal voltage sources:
not allowed
If internal resistances are included, a parallel connection can be treated as an equivalent source.
VO = (R2 V1 + R1 V2) / (R1 + R2)
RO = (R1 R2) / (R1 + R2)
So the main rule is:
series:
voltages add
parallel:
ideal case is not used directly
practical case needs internal resistances
日本語
理想電圧源を直列につなぐと、電圧は加算されます。
VO = V1 + V2
一方、理想電圧源どうしの並列接続はできません。
理想電圧源の並列接続:
不可
ただし、内部抵抗を含めた実際の電圧源として考えると、並列接続を等価電源にまとめられます。
VO = (R2 V1 + R1 V2) / (R1 + R2)
RO = (R1 R2) / (R1 + R2)
つまり基本ルールは、
直列:
電圧が足される
並列:
理想電圧源どうしはそのままでは扱わない
実際は内部抵抗込みで考える
です。
36. Exercise / 演習問題
English
A battery gives terminal voltage 0.7 V when the load current is 5 A, and terminal voltage 1.0 V when the load current is 2 A.
Use
VL = E - I RO
Then:
0.7 = E - 5RO
1.0 = E - 2RO
Subtract the first equation from the second:
1.0 - 0.7 = (E - 2RO) - (E - 5RO)
0.3 = 3RO
RO = 0.1 Ω
Now substitute into
1.0 = E - 2(0.1)
1.0 = E - 0.2
E = 1.2 V
So the answer is:
E = 1.2 V
RO = 0.1 Ω
日本語
ある電池で、負荷電流が 5 A のとき端子電圧が 0.7 V、負荷電流が 2 A のとき端子電圧が 1.0 V とします。
使う式は
VL = E - I RO
です。
したがって、
0.7 = E - 5RO
1.0 = E - 2RO
となります。
この2式を引くと、
1.0 - 0.7 = (E - 2RO) - (E - 5RO)
0.3 = 3RO
RO = 0.1 Ω
です。
これを代入すると、
1.0 = E - 2(0.1)
1.0 = E - 0.2
E = 1.2 V
です。
よって答えは
E = 1.2 V
RO = 0.1 Ω
となります。
37. DC Current Source / 直流電流源
English
A DC current source is a source that supplies a constant current to a load, regardless of the voltage across the load.
DC current source:
constant current source
For an ideal current source:
short-circuit current = IS
parallel internal resistance = ∞
A real current source is modeled as an ideal current source with an internal resistance connected in parallel.
real current source:
ideal current source + parallel internal resistance
So the contrast is:
voltage source:
tries to keep voltage constant
current source:
tries to keep current constant
日本語
直流電流源とは、負荷に加わる電圧の大きさに関係なく、一定の電流を流そうとする電源です。
直流電流源:
一定の電流を出す電源
理想電流源では、
短絡電流 = IS
並列内部抵抗 = ∞
です。
実際の電流源は、理想電流源に内部抵抗が並列についた形で表します。
実際の電流源:
理想電流源 + 並列の内部抵抗
したがって対比すると、
電圧源:
電圧を一定にしようとする
電流源:
電流を一定にしようとする
となります。
38. Equivalent Circuit of a Current Source / 電流源の等価回路
English
A real current source can be modeled by an ideal current source and an internal resistance connected in parallel.
The basic relation is:
IL = IS - VL / RO
where
IL = load current
IS = short-circuit current
VL = load voltage
RO = internal resistance
Also,
RO = VO / IS
where
VO = open-circuit voltage
IS = short-circuit current
The meaning is simple:
ideal current source:
load current stays constant
real current source:
part of the current is lost through the internal resistance
so the load current decreases as terminal voltage increases
日本語
実際の電流源は、理想電流源 と 並列の内部抵抗 で表せます。
基本式は
IL = IS - VL / RO
です。
ここで
IL = 負荷電流
IS = 短絡電流
VL = 負荷電圧
RO = 内部抵抗
です。
また、
RO = VO / IS
です。
ここで
VO = 開放電圧
IS = 短絡電流
です。
意味としては、
理想電流源:
負荷に流れる電流を一定にしようとする
実際の電流源:
内部抵抗側にも電流が流れるので
端子電圧が上がると負荷電流は減る
となります。
39. Series and Parallel Connection of Current Sources / 電流源の直列接続と並列接続
English
For ideal current sources, parallel connection is possible and the currents add.
IO = I1 + I2
But direct series connection of ideal current sources is not allowed.
parallel:
possible
series:
not allowed
So the main rule is:
current sources combine naturally in parallel
not in series
日本語
理想電流源は、並列接続 なら可能で、電流が足し算されます。
IO = I1 + I2
一方、理想電流源どうしの 直列接続 はできません。
並列:
可能
直列:
不可
したがって基本ルールは、
電流源は並列なら合成しやすい
直列ではそのまま扱えない
です。
40. Current Source with Internal Resistance / 内部抵抗を考えた電流源
English
When internal resistances are included, current sources can be combined and replaced by an equivalent current source.
The equivalent quantities are:
VO = R1 I1 + R2 I2
RO = R1 + R2
IS = (R1 I1 + R2 I2) / (R1 + R2)
So the equivalent source is determined by:
open-circuit voltage
short-circuit current
internal resistance
This is the practical way to reduce a complicated source network into one source.
日本語
内部抵抗まで含めると、電流源は 等価な1つの電流源 にまとめられます。
等価量は
VO = R1 I1 + R2 I2
RO = R1 + R2
IS = (R1 I1 + R2 I2) / (R1 + R2)
です。
つまり、等価電流源は
開放電圧
短絡電流
内部抵抗
で決まります。
これは、複数の電源を1つの扱いやすい形へまとめる実用的な方法です。
41. Equivalence of Voltage Source and Current Source / 電圧源と電流源の等価性
English
A voltage source with a series resistance and a current source with a parallel resistance can represent the same terminal behavior.
The conversion formulas are:
VO = RO IS
IS = VO / RO
So:
voltage source form:
ideal voltage source + series resistance
current source form:
ideal current source + parallel resistance
These two are interchangeable if the terminal voltage-current relation is the same.
日本語
直列抵抗つきの電圧源と、並列抵抗つきの電流源は、端子から見れば同じふるまい をすることがあります。
変換式は
VO = RO IS
IS = VO / RO
です。
つまり、
電圧源の形:
理想電圧源 + 直列抵抗
電流源の形:
理想電流源 + 並列抵抗
は、端子の電圧電流関係が同じなら互いに入れ替えられます。
42. Power Consumption of a Resistor / 抵抗の電力消費
English
For a resistor, power can be written in three equivalent forms:
P = VI
P = I^2 R
P = V^2 / R
These are all the same relation, written using different known quantities.
A useful interpretation is:
if current is known -> use P = I^2 R
if voltage is known -> use P = V^2 / R
if both are known -> use P = VI
日本語
抵抗で消費される電力は、次の3つの形で書けます。
P = VI
P = I^2 R
P = V^2 / R
これは全部同じ内容を、分かっている量に合わせて書き換えたものです。
使い分けとしては、
電流が分かる -> P = I^2 R
電圧が分かる -> P = V^2 / R
両方分かる -> P = VI
と考えると便利です。
43. Maximum Power Transfer / 電力整合
English
Consider a source with internal resistance RO and a load resistance RL.
The load current is:
IL = VO / (RO + RL)
The load power is:
P = IL^2 RL
= (VO / (RO + RL))^2 RL
= RL / (RO + RL)^2 * VO^2
The maximum load power is obtained when:
RL = RO
and then
Pmax = VO^2 / (4RO)
This condition is called power matching or maximum power transfer.
日本語
内部抵抗 RO をもつ電源に、負荷抵抗 RL がつながっているとします。
負荷電流は
IL = VO / (RO + RL)
です。
負荷で消費される電力は
P = IL^2 RL
= (VO / (RO + RL))^2 RL
= RL / (RO + RL)^2 * VO^2
です。
この電力が最大になる条件は
RL = RO
です。
そのとき最大電力は
Pmax = VO^2 / (4RO)
です。
この条件を 電力整合 といいます。
44. Controlled Sources / 被制御電源
English
A controlled source is a source whose output depends on another voltage or current.
There are four basic types:
voltage-controlled voltage source
voltage-controlled current source
current-controlled voltage source
current-controlled current source
Typical expressions are:
output voltage = A v1
output current = gm v1
output voltage = rm i1
output current = β i1
These sources are widely used in transistor amplifier analysis, because transistor behavior is often represented by one quantity controlling another quantity.
日本語
被制御電源とは、別の電圧や電流によって出力が決まる電源 です。
基本形は4種類あります。
電圧制御電圧源
電圧制御電流源
電流制御電圧源
電流制御電流源
代表的な式は
出力電圧 = A v1
出力電流 = gm v1
出力電圧 = rm i1
出力電流 = β i1
です。
これはトランジスタ増幅回路の解析でとてもよく使います。
なぜなら、トランジスタは「ある量が別の量を支配する」形で表すと分かりやすいからです。
45. Ohm’s Law / オームの法則
English
Ohm’s law is the basic relation for a resistor:
I = V / R
R = V / I
V = IR
This means that current is proportional to voltage for a resistor.
Also, the resistor creates a voltage drop across its terminals.
Combining this with power gives:
P = VI = I^2 R = V^2 / R
日本語
オームの法則は、抵抗の基本関係です。
I = V / R
R = V / I
V = IR
これは、抵抗では電流が電圧に比例することを表しています。
また、抵抗の両端には電圧降下が生じます。
さらに電力は
P = VI = I^2 R = V^2 / R
と書けます。
46. Series Connection of Resistors / 抵抗の直列接続
English
In a series connection, the same current flows through every resistor.
same current through all resistors
The total voltage is the sum of each voltage drop:
V = V1 + V2 + ... + Vn
Since each drop is Ri I, we get:
V = (R1 + R2 + ... + Rn) I
So the equivalent resistance is:
R = R1 + R2 + ... + Rn
日本語
直列接続では、すべての抵抗に同じ電流 が流れます。
全部に同じ電流が流れる
全体の電圧は、それぞれの電圧降下の和です。
V = V1 + V2 + ... + Vn
各抵抗で Vi = Ri I なので、
V = (R1 + R2 + ... + Rn) I
となります。
したがって合成抵抗は
R = R1 + R2 + ... + Rn
です。
47. Example of Series Resistance / 直列抵抗の例
English
If
E0 = 120 V
R1 = 10 Ω
R2 = 20 Ω
R3 = 30 Ω
then the equivalent resistance is
R = R1 + R2 + R3
= 10 + 20 + 30
= 60 Ω
and the current is
I = V / R
= 120 / 60
= 2 A
日本語
たとえば
E0 = 120 V
R1 = 10 Ω
R2 = 20 Ω
R3 = 30 Ω
なら、合成抵抗は
R = R1 + R2 + R3
= 10 + 20 + 30
= 60 Ω
です。
したがって電流は
I = V / R
= 120 / 60
= 2 A
です。
48. Voltage Divider / 分圧
English
For two resistors in series, voltage is divided in proportion to resistance.
The formulas are:
V1 = R1 / (R1 + R2) * V
V2 = R2 / (R1 + R2) * V
and therefore
V1 / V = R1 / (R1 + R2)
V2 / V = R2 / (R1 + R2)
So the bigger resistor gets the bigger share of the total voltage.
日本語
2つの抵抗を直列につなぐと、電圧は抵抗値に比例して分かれます。
式は
V1 = R1 / (R1 + R2) * V
V2 = R2 / (R1 + R2) * V
です。
したがって
V1 / V = R1 / (R1 + R2)
V2 / V = R2 / (R1 + R2)
です。
つまり、抵抗が大きいほうに、より大きな電圧がかかります。
49. Example of Voltage Divider / 分圧回路の例
English
If
R1 = 20 kΩ
R2 = 30 kΩ
V = 100 V
then
V1 = R1 / (R1 + R2) * V
= 20 / 50 * 100
= 40 V
and
V2 = R2 / (R1 + R2) * V
= 30 / 50 * 100
= 60 V
Also,
V2 / V = 60 / 100 = 3/5
日本語
たとえば
R1 = 20 kΩ
R2 = 30 kΩ
V = 100 V
なら、
V1 = R1 / (R1 + R2) * V
= 20 / 50 * 100
= 40 V
です。
また、
V2 = R2 / (R1 + R2) * V
= 30 / 50 * 100
= 60 V
です。
したがって
V2 / V = 60 / 100 = 3/5
となります。
50. Voltage Division / 電圧分配
English
For two resistors in series, the same current flows through both resistors, so the total voltage is divided according to the resistor values. The basic relations are:
R = R1 + R2
I = V / R
= V / (R1 + R2)
V1 = R1 I
= R1 / (R1 + R2) * V
V2 = R2 I
= R2 / (R1 + R2) * V
So the voltage ratio is:
V1 / V = R1 / (R1 + R2)
V2 / V = R2 / (R1 + R2)
A larger resistor gets a larger share of the total voltage.
日本語
2つの抵抗を直列につなぐと、両方に同じ電流が流れるので、全体の電圧は抵抗値に応じて分かれます。基本式は次の通りです。
R = R1 + R2
I = V / R
= V / (R1 + R2)
V1 = R1 I
= R1 / (R1 + R2) * V
V2 = R2 I
= R2 / (R1 + R2) * V
したがって電圧の比は
V1 / V = R1 / (R1 + R2)
V2 / V = R2 / (R1 + R2)
です。
つまり、抵抗が大きいほうに、より大きな電圧がかかります。
51. Exercise on Voltage Division / 分圧の演習
English
If
E0 = 120 V
R1 = 10 Ω
R2 = 20 Ω
R3 = 30 Ω
then the total resistance is
R = R1 + R2 + R3
= 10 + 20 + 30
= 60 Ω
So the current is
I = E0 / R
= 120 / 60
= 2 A
Then each voltage is:
V1 = I R1 = 2 * 10 = 20 V
V2 = I R2 = 2 * 20 = 40 V
V3 = I R3 = 2 * 30 = 60 V
So the answers are:
V1 = 20 V
V2 = 40 V
V3 = 60 V
日本語
もし
E0 = 120 V
R1 = 10 Ω
R2 = 20 Ω
R3 = 30 Ω
なら、合成抵抗は
R = R1 + R2 + R3
= 10 + 20 + 30
= 60 Ω
です。
したがって電流は
I = E0 / R
= 120 / 60
= 2 A
です。
各抵抗の電圧は
V1 = I R1 = 2 * 10 = 20 V
V2 = I R2 = 2 * 20 = 40 V
V3 = I R3 = 2 * 30 = 60 V
です。
よって答えは
V1 = 20 V
V2 = 40 V
V3 = 60 V
です。
52. Applications of Voltage Division / 分圧の応用
English
Voltage division is often used to create an intermediate voltage from known voltages. In a simple divider from Vin to ground, the output taken across R2 is:
Vout = R2 / (R1 + R2) * Vin
If the top node is VDD and the bottom node is ground, then the midpoint voltage is:
Vx = R2 / (R1 + R2) * VDD
If a transistor source is grounded, then
VGS = VG - VS
and because VS = 0,
VGS = VG
= R2 / (R1 + R2) * VDD
For a midpoint between two different fixed voltages V1 and V2, the node voltage becomes a weighted average:
Vx = (R2 V1 + R1 V2) / (R1 + R2)
This means the node voltage lies between V1 and V2, with the resistor values deciding where it lands.
日本語
分圧は、既知の電圧から途中の電圧を作るときによく使います。Vin と接地のあいだに R1 と R2 を直列につなぎ、R2 の両端を出力とすると、
Vout = R2 / (R1 + R2) * Vin
です。
上側が VDD、下側が接地なら、中点電圧は
Vx = R2 / (R1 + R2) * VDD
です。
トランジスタでソースが接地されていれば、
VGS = VG - VS
で、VS = 0 なので
VGS = VG
= R2 / (R1 + R2) * VDD
となります。
また、2つの既知電圧 V1 と V2 のあいだに R1 と R2 があり、その中点を Vx とすると、
Vx = (R2 V1 + R1 V2) / (R1 + R2)
です。
つまり中点電圧は V1 と V2 の間の値になり、どこに来るかは抵抗値で決まります。
53. Conductance / コンダクタンス
English
Conductance is the reciprocal of resistance.
G = 1 / R
Its unit is:
S = siemens
If voltage V is applied across a conductance G, the current is
I = G V
So conductance expresses how easily current flows. Large G means current flows easily, and small G means current flows less easily. Also,
G = I / V
日本語
コンダクタンスは、抵抗の逆数です。
G = 1 / R
単位は
S = ジーメンズ
です。
コンダクタンス G の両端に電圧 V を加えると、流れる電流は
I = G V
です。
つまりコンダクタンスは、電流の流れやすさを表します。G が大きいほど流れやすく、G が小さいほど流れにくいです。また、
G = I / V
とも書けます。
54. Parallel Connection of Resistors / 抵抗の並列接続
English
In a parallel connection, the voltage across every resistor is the same. The total current is the sum of the branch currents.
V is the same across all branches
I = I1 + I2 + ... + In
Using conductance,
I = G1 V + G2 V + ... + Gn V
= (G1 + G2 + ... + Gn) V
So the equivalent conductance is
G = G1 + G2 + ... + Gn
and since G = 1 / R,
1 / R = 1 / R1 + 1 / R2 + ... + 1 / Rn
For two resistors, this becomes
R = R1 R2 / (R1 + R2)
日本語
並列接続では、すべての抵抗にかかる電圧が同じ です。そして全電流は各枝の電流の和になります。
全部の枝に同じ電圧がかかる
I = I1 + I2 + ... + In
コンダクタンスを使うと、
I = G1 V + G2 V + ... + Gn V
= (G1 + G2 + ... + Gn) V
です。
したがって合成コンダクタンスは
G = G1 + G2 + ... + Gn
であり、G = 1 / R だから
1 / R = 1 / R1 + 1 / R2 + ... + 1 / Rn
です。
2本だけなら
R = R1 R2 / (R1 + R2)
となります。
55. Branch Currents in Parallel / 並列回路の枝電流
English
If a source voltage E0 is applied across three parallel resistors, each branch current is found directly by Ohm’s law:
I1 = E0 / R1
I2 = E0 / R2
I3 = E0 / R3
The total current is
I = I1 + I2 + I3
= E0 / R1 + E0 / R2 + E0 / R3
So the equivalent resistance is
R = E0 / I
= 1 / (1/R1 + 1/R2 + 1/R3)
This is the usual way to reduce a parallel resistor network to one equivalent resistor.
日本語
電圧 E0 が3本の並列抵抗に加わっているなら、各枝の電流はオームの法則ですぐ求まります。
I1 = E0 / R1
I2 = E0 / R2
I3 = E0 / R3
全電流は
I = I1 + I2 + I3
= E0 / R1 + E0 / R2 + E0 / R3
です。
したがって合成抵抗は
R = E0 / I
= 1 / (1/R1 + 1/R2 + 1/R3)
です。
これが並列抵抗回路を1つの抵抗にまとめる基本形です。
56. Current Division / 分流
English
For two parallel resistors, current divides inversely with resistance. The formulas are:
I1 = R2 / (R1 + R2) * I
I2 = R1 / (R1 + R2) * I
So the ratios are
I1 / I = R2 / (R1 + R2)
I2 / I = R1 / (R1 + R2)
This means:
smaller resistance -> larger branch current
larger resistance -> smaller branch current
日本語
2本の並列抵抗では、電流は抵抗に反比例して分かれます。式は次の通りです。
I1 = R2 / (R1 + R2) * I
I2 = R1 / (R1 + R2) * I
したがって比は
I1 / I = R2 / (R1 + R2)
I2 / I = R1 / (R1 + R2)
です。
つまり、
抵抗が小さい枝 -> 大きな電流が流れる
抵抗が大きい枝 -> 小さな電流しか流れない
となります。
57. Current Division and Equivalent Resistance / 分流と合成抵抗の関係
English
For two parallel resistors, the equivalent resistance and conductance are
R = R1 R2 / (R1 + R2)
G = (R1 + R2) / (R1 R2)
Then the current ratios can also be written as
I1 / I = G1 / G = R / R1
I2 / I = G2 / G = R / R2
So current division can be understood either from resistance or from conductance.
日本語
2本の並列抵抗では、合成抵抗と合成コンダクタンスは
R = R1 R2 / (R1 + R2)
G = (R1 + R2) / (R1 R2)
です。
このとき、電流比は
I1 / I = G1 / G = R / R1
I2 / I = G2 / G = R / R2
とも書けます。
つまり分流は、抵抗から見ても、コンダクタンスから見ても同じ内容です。
58. Report Exercises / レポート課題
English
Consider the circuit with
Va = 120 V
R1 = 0.1 Ω
R3 = 0.1 Ω
I = 50 A
Then the voltage drops across R1 and R3 are
Vab = I R1 = 50 × 0.1 = 5 V
Vcd = I R3 = 50 × 0.1 = 5 V
Since the total drop from a to d is 120 V, the middle resistor drop is
Vbc = 120 - 5 - 5 = 110 V
So
Vbd = Vbc + Vcd = 110 + 5 = 115 V
For the parallel-resistor questions:
20 Ω || 20 Ω
= (20 × 20) / (20 + 20)
= 400 / 40
= 10 Ω
20 Ω || 40 Ω
= (20 × 40) / (20 + 40)
= 800 / 60
= 40 / 3 Ω
≈ 13.3 Ω
So the answers are:
(6a) Vab = 5 V, Vcd = 5 V
(6b) Vbc = 110 V, Vbd = 115 V
(7) 10 Ω
(8) 40/3 Ω ≈ 13.3 Ω
日本語
次の回路を考えます。
Va = 120 V
R1 = 0.1 Ω
R3 = 0.1 Ω
I = 50 A
このとき、R1 と R3 の電圧降下は
Vab = I R1 = 50 × 0.1 = 5 V
Vcd = I R3 = 50 × 0.1 = 5 V
です。
全体の a-d 間電圧が 120 V なので、真ん中の抵抗の電圧降下は
Vbc = 120 - 5 - 5 = 110 V
です。
したがって
Vbd = Vbc + Vcd = 110 + 5 = 115 V
です。
並列抵抗の問題は
20 Ω || 20 Ω
= (20 × 20) / (20 + 20)
= 400 / 40
= 10 Ω
20 Ω || 40 Ω
= (20 × 40) / (20 + 40)
= 800 / 60
= 40 / 3 Ω
≈ 13.3 Ω
となります。
よって答えは
(6a) Vab = 5 V, Vcd = 5 V
(6b) Vbc = 110 V, Vbd = 115 V
(7) 10 Ω
(8) 40/3 Ω ≈ 13.3 Ω
です。
59. Network, Node, Branch, Loop / 回路網・節点・枝路・閉路
English
When a circuit becomes more complicated than simple series and parallel forms, it is treated as a network.
Network:
a circuit made by connecting many elements like a mesh
Node:
a connection point of two or more elements
Branch:
the part between two nodes
Loop:
a closed path that goes around once in the network
These words are the starting vocabulary for Kirchhoff’s laws.
日本語
回路が単純な直列や並列だけでは表しにくくなると、回路網 として考えます。
回路網:
いくつもの素子を網の目のようにつないだ回路
節点:
2つ以上の素子の接続点
枝路:
2つの節点の間の部分
閉路:
回路網を一回りする通路
これらの言葉が、キルヒホッフの法則の出発点です。
60. Kirchhoff’s Current Law / キルヒホッフの第1法則 電流則
English
Kirchhoff’s Current Law says:
At any node,
the algebraic sum of currents is zero.
This is the same as saying
sum of currents entering = sum of currents leaving
A typical form is
I1 + I2 = I3 + I4
or, with sign included,
Σ Ik = 0
The key point is that current direction must be chosen first.
日本語
キルヒホッフの電流則は、次の内容です。
任意の節点で、
電流の代数和は 0
これは言い換えると
流入の和 = 流出の和
です。
代表形は
I1 + I2 = I3 + I4
または符号つきで
Σ Ik = 0
です。
ここで大事なのは、先に電流の向きを決めておくことです。
61. Example of KCL / 電流則の例
English
Suppose
I = 10 A
I1 = 5 A
I5 = 2 A
Using KCL:
At node a,
I - I1 - I2 = 0
I2 = I - I1 = 10 - 5 = 5 A
At node b,
I1 - I3 - I5 = 0
I3 = I1 - I5 = 5 - 2 = 3 A
At node c,
I2 + I5 - I4 = 0
I4 = I2 + I5 = 5 + 2 = 7 A
So the answers are:
I2 = 5 A
I3 = 3 A
I4 = 7 A
日本語
たとえば
I = 10 A
I1 = 5 A
I5 = 2 A
とします。
KCL を使うと、
点 a では
I - I1 - I2 = 0
I2 = I - I1 = 10 - 5 = 5 A
です。
点 b では
I1 - I3 - I5 = 0
I3 = I1 - I5 = 5 - 2 = 3 A
です。
点 c では
I2 + I5 - I4 = 0
I4 = I2 + I5 = 5 + 2 = 7 A
です。
したがって答えは
I2 = 5 A
I3 = 3 A
I4 = 7 A
です。
62. Kirchhoff’s Voltage Law / キルヒホッフの第2法則 電圧則
English
Kirchhoff’s Voltage Law says:
Around any closed loop,
the algebraic sum of voltages is zero.
This is also written as
sum of rises = sum of drops
A typical example is
-V1 + V2 - V3 - V4 + V5 = 0
or in compact form
Σ Vk = 0
Again, voltage direction must be defined before writing the equation.
日本語
キルヒホッフの電圧則は、次の内容です。
任意の閉路で、
電圧の代数和は 0
これは
上昇の和 = 降下の和
と言い換えられます。
代表例は
-V1 + V2 - V3 - V4 + V5 = 0
です。
まとめて書くと
Σ Vk = 0
です。
ここでも、先に電圧の向きを決めることが必要です。
63. Example Using KCL and KVL / 電流則と電圧則を使う例
English
For the two-loop circuit with R1, R2, R3 and sources E1, E2, the equations are:
First, KCL at the center node:
I1 + I2 - I3 = 0
So
I3 = I1 + I2
Then KVL for the left loop:
E1 = R1 I1 + R3 I3
and for the right loop:
E2 = R2 I2 + R3 I3
Substitute I3 = I1 + I2:
E1 = (R1 + R3) I1 + R3 I2
E2 = R3 I1 + (R2 + R3) I2
Solving these gives
I1 = ((R2 + R3) E1 - R3 E2) / (R1 R2 + R2 R3 + R3 R1)
I2 = ((R1 + R3) E2 - R3 E1) / (R1 R2 + R2 R3 + R3 R1)
I3 = (R2 E1 + R1 E2) / (R1 R2 + R2 R3 + R3 R1)
This is a standard example of using KCL and KVL together.
日本語
R1, R2, R3 と電源 E1, E2 をもつ2ループ回路では、まず中央の節点で KCL を使います。
I1 + I2 - I3 = 0
したがって
I3 = I1 + I2
です。
次に左ループで KVL を使うと
E1 = R1 I1 + R3 I3
右ループでは
E2 = R2 I2 + R3 I3
です。
ここに I3 = I1 + I2 を代入すると
E1 = (R1 + R3) I1 + R3 I2
E2 = R3 I1 + (R2 + R3) I2
となります。
これを解くと
I1 = ((R2 + R3) E1 - R3 E2) / (R1 R2 + R2 R3 + R3 R1)
I2 = ((R1 + R3) E2 - R3 E1) / (R1 R2 + R2 R3 + R3 R1)
I3 = (R2 E1 + R1 E2) / (R1 R2 + R2 R3 + R3 R1)
です。
これは、KCL と KVL を組み合わせて未知電流を求める基本例です。
64. Two Major Analysis Methods / 代表的な回路解析法
English
Two major methods are introduced.
Mesh-current method:
unknowns are loop currents
write KVL equations for each loop
Node-voltage method:
unknowns are node voltages
write KCL equations for each node
So the difference is simple:
mesh method:
solve for currents
node method:
solve for voltages
日本語
代表的な解析法は2つあります。
閉路電流法:
未知数を各ループの電流にする
各ループで KVL を立てる
節点電位法:
未知数を各節点の電位にする
各節点で KCL を立てる
違いを短く言うと、
閉路電流法:
電流を求めるやり方
節点電位法:
電圧を求めるやり方
です。
65. Mesh Current Method / 閉路電流法
English
The mesh current method is a way to analyze a circuit by assigning one current to each loop and then writing voltage equations for those loop currents. The basic idea is:
1. assign a mesh current to each loop
2. decide the polarity direction consistently
3. write one KVL equation for each loop
4. solve the simultaneous equations
If a loop has no source, you still assume a voltage direction consistently from the chosen current direction.
日本語
閉路電流法とは、各閉路に 1 つずつ電流を割り当て、その閉路電流を未知数として回路を解く方法です。考え方は次の通りです。
1. 各閉路に閉路電流を割り振る
2. 電圧の向きをそろえて決める
3. 各閉路で KVL を立てる
4. 連立方程式を解く
電源のないループでも、選んだ電流方向に合わせて電位の高低を仮定して進めます。
66. Two-Loop Mesh Equations / 2閉路の閉路電流方程式
English
For the two-loop circuit with mesh currents Ia and Ib, the equations become:
E1 = R1 Ia + R3(Ia + Ib)
E2 = R3(Ia + Ib) + R2 Ib
Collecting terms:
E1 = (R1 + R3) Ia + R3 Ib
E2 = R3 Ia + (R2 + R3) Ib
So the unknowns are reduced to a 2-by-2 simultaneous equation.
日本語
2つの閉路に閉路電流 Ia, Ib を置くと、方程式は
E1 = R1 Ia + R3(Ia + Ib)
E2 = R3(Ia + Ib) + R2 Ib
となります。
整理すると
E1 = (R1 + R3) Ia + R3 Ib
E2 = R3 Ia + (R2 + R3) Ib
です。
これで未知数 Ia, Ib の 2 元連立方程式になります。
67. Solution of the Two-Loop Case / 2閉路の場合の解
English
Solving the two equations gives:
Ia = ((R2 + R3)E1 - R3E2) / (R1R2 + R2R3 + R3R1)
Ib = ((R1 + R3)E2 - R3E1) / (R1R2 + R2R3 + R3R1)
The current through the shared resistor is:
I3 = Ia + Ib
= (R2E1 + R1E2) / (R1R2 + R2R3 + R3R1)
So once the denominator is common, the rest is a standard simultaneous-equation calculation.
日本語
この 2 式を解くと、
Ia = ((R2 + R3)E1 - R3E2) / (R1R2 + R2R3 + R3R1)
Ib = ((R1 + R3)E2 - R3E1) / (R1R2 + R2R3 + R3R1)
となります。
共通抵抗 R3 を流れる電流は
I3 = Ia + Ib
= (R2E1 + R1E2) / (R1R2 + R2R3 + R3R1)
です。
つまり、分母は共通で、分子だけがそれぞれの未知数に対応して変わります。
68. Matrix Form / 行列の形で書く方法
English
The same equations can be written in matrix form:
[E] = [R][I]
For the two-loop case,
[E1] [R1 + R3 R3 ] [Ia]
[E2] = [R3 R2 + R3] [Ib]
This is useful because circuit equations often become systematic once they are written as matrices.
日本語
同じ式は、行列で
[E] = [R][I]
と書けます。
2閉路なら
[E1] [R1 + R3 R3 ] [Ia]
[E2] = [R3 R2 + R3] [Ib]
です。
回路方程式は、行列の形にすると規則が見えやすくなります。
69. Inverse Matrix for 2x2 / 2×2 行列の逆行列
English
For a 2-by-2 matrix
A = [a b]
[c d]
the inverse is
A^-1 = 1 / (ad - bc) * [ d -b]
[-c a]
This works when
ad - bc ≠ 0
In circuit problems, this is the basic formula used to solve 2-variable matrix equations.
日本語
2×2 行列
A = [a b]
[c d]
の逆行列は
A^-1 = 1 / (ad - bc) * [ d -b]
[-c a]
です。
ただし
ad - bc ≠ 0
である必要があります。
回路の 2 元連立方程式では、この式が基本になります。
70. Determinant-Based Solution / 行列式を使う解き方
English
If
[y1] [a b] [x1]
[y2] = [c d] [x2]
then
x1 = Δ1 / Δ
x2 = Δ2 / Δ
with
Δ = ad - bc
Δ1 = |y1 b|
|y2 d|
Δ2 = |a y1|
|c y2|
For a 3-by-3 system, the same pattern continues:
x1 = Δ1 / Δ
x2 = Δ2 / Δ
x3 = Δ3 / Δ
So determinant formulas are another way to solve circuit equations once they are written as matrices.
日本語
もし
[y1] [a b] [x1]
[y2] = [c d] [x2]
なら、
x1 = Δ1 / Δ
x2 = Δ2 / Δ
です。
ここで
Δ = ad - bc
Δ1 = |y1 b|
|y2 d|
Δ2 = |a y1|
|c y2|
です。
3×3 の場合も同じ形で
x1 = Δ1 / Δ
x2 = Δ2 / Δ
x3 = Δ3 / Δ
となります。
つまり、回路方程式は行列式を使って解くこともできます。
71. Choice of Mesh Currents / 閉路電流の取り方
English
The choice of mesh-current direction is free. What matters is that the loop equations must be independent and the signs must be handled consistently.
current direction:
can be chosen freely
important point:
the equations must be independent
If the source polarity and the current sums or differences on shared branches are handled correctly, the final current values of circuit elements come out the same even if the loop directions are chosen differently.
日本語
閉路電流の向きは自由に決めてよいです。大事なのは、立てる方程式が独立であり、符号を一貫して扱うことです。
電流方向:
自由に決めてよい
重要:
方程式が独立であること
電圧源の向きや、共通枝での電流の和差を間違えなければ、閉路の取り方を変えても各素子の電流値は同じになります。
72. Three-Loop Mesh Matrix / 3閉路の行列表現
English
For the 3-loop example, the branch currents are related to the loop currents by
i1 = il1
i2 = il2
i3 = il3
i4 = il1 - il3
i5 = il2 + il3
The loop equations are:
(R1 + R4)il1 - R4 il3 = E1
(R2 + R5)il2 + R5 il3 = E2
-R4 il1 + R5 il2 + (R3 + R4 + R5)il3 = 0
In matrix form:
[(R1+R4) 0 -R4 ] [il1] [E1]
[0 (R2+R5) R5 ] [il2] = [E2]
[-R4 R5 (R3+R4+R5)] [il3] [0 ]
This is a typical mesh-current matrix equation.
日本語
3閉路の例では、枝電流と閉路電流の関係は
i1 = il1
i2 = il2
i3 = il3
i4 = il1 - il3
i5 = il2 + il3
です。
各閉路の方程式は
(R1 + R4)il1 - R4 il3 = E1
(R2 + R5)il2 + R5 il3 = E2
-R4 il1 + R5 il2 + (R3 + R4 + R5)il3 = 0
です。
行列で書くと
[(R1+R4) 0 -R4 ] [il1] [E1]
[0 (R2+R5) R5 ] [il2] = [E2]
[-R4 R5 (R3+R4+R5)] [il3] [0 ]
となります。
これが典型的な閉路電流法の行列表現です。
73. Rules for Building the Mesh Matrix / 閉路電流法の行列を作る規則
English
The mesh-current matrix has a clear pattern.
1. the matrix is symmetric
2. each diagonal element is the sum of all resistances in that loop
3. each off-diagonal element is the common resistance between two loops
4. if the loop-current directions are opposite in that common resistor, add a minus sign
5. the right-hand side is the sum of source voltages in each loop
6. if a source direction is opposite to the loop direction, add a minus sign
These rules let you build the matrix directly from the circuit diagram.
日本語
閉路電流法の行列には、はっきりした規則があります。
1. 行列は対称になる
2. 対角要素はその閉路に含まれる抵抗の総和
3. 非対角要素は2つの閉路に共通な抵抗
4. その共通抵抗で電流方向が逆なら負符号を付ける
5. 右辺は各閉路にある起電力の和
6. 起電力の向きが閉路方向と逆なら負符号を付ける
この規則を使うと、回路図からそのまま行列を作れます。
74. Node Voltage Method / 節点電位法
English
The node voltage method is a way to solve a circuit by taking the node voltages as the unknowns.
The idea is:
1. choose a reference node
2. define the voltages of the other nodes
3. apply KCL at each node
4. solve the simultaneous equations
In the two-node example with node voltages V1, V2 and branch values Y1, Y2, Y3, the equations are written directly in terms of node voltages.
A standard form is:
I1 - I2 = (Y1 + Y2)V1 - Y2V2
I2 = -Y2V1 + (Y2 + Y3)V2
So, unlike the mesh current method, this method treats voltage as the main unknown.
日本語
節点電位法とは、節点の電圧 を未知数として回路を解く方法です。
考え方は次の通りです。
1. 基準となる節点を1つ決める
2. それ以外の節点電圧を定義する
3. 各節点で KCL を立てる
4. 連立方程式を解く
2節点の例では、節点電圧 V1, V2 と枝の値 Y1, Y2, Y3 を使って、式をそのまま電圧で書きます。
代表形は
I1 - I2 = (Y1 + Y2)V1 - Y2V2
I2 = -Y2V1 + (Y2 + Y3)V2
です。
つまり、閉路電流法が 電流 を未知数にするのに対して、節点電位法は 電圧 を未知数にする方法です。
75. Matrix Form of the Node Voltage Method / 節点電位法の行列表現
English
The nodal equations can be written in matrix form as:
[I] = [Y][V]
For the two-node case:
[I1 - I2] [ Y1 + Y2 -Y2 ] [V1]
[ I2 ] = [ -Y2 Y2 + Y3 ] [V2]
Once the equation is in matrix form, the unknown voltages can be found by inverse-matrix calculation or determinant-based calculation. This is why linear algebra becomes important in circuit analysis.
日本語
節点方程式は、行列で
[I] = [Y][V]
と書けます。
2節点なら
[I1 - I2] [ Y1 + Y2 -Y2 ] [V1]
[ I2 ] = [ -Y2 Y2 + Y3 ] [V2]
です。
ここまで行列の形にできれば、逆行列や行列式を使って未知の節点電圧を求められます。
そのため、回路解析では線形代数が重要になります。
76. Report Problem / レポート課題
English
Consider the circuit with
V1 = 120 V
R1 = 10 Ω
R2 = 50 Ω
I1 = 6 A
Let the node voltage at node a be V0.
Then the current through R1 in the arrow direction is
I0 = (120 - V0) / 10
and the current through R2 downward is
V0 / 50
Applying KCL at node a:
I0 + 6 = V0 / 50
Substitute I0:
(120 - V0) / 10 + 6 = V0 / 50
Multiply by 50:
5(120 - V0) + 300 = V0
600 - 5V0 + 300 = V0
900 = 6V0
V0 = 150 V
Now find I0:
I0 = (120 - 150) / 10
= -30 / 10
= -3 A
So the answer is:
V0 = 150 V
I0 = -3 A
The negative sign means the actual current flows in the opposite direction to the arrow shown for I0.
日本語
次の回路を考えます。
V1 = 120 V
R1 = 10 Ω
R2 = 50 Ω
I1 = 6 A
ノード a の電圧を V0 とします。
すると、R1 を流れる電流 I0 は矢印向きを正として
I0 = (120 - V0) / 10
です。
また、R2 を下向きに流れる電流は
V0 / 50
です。
ノード a で KCL を使うと、
I0 + 6 = V0 / 50
です。
ここに I0 を代入すると、
(120 - V0) / 10 + 6 = V0 / 50
です。
両辺を 50 倍すると、
5(120 - V0) + 300 = V0
600 - 5V0 + 300 = V0
900 = 6V0
V0 = 150 V
です。
次に I0 を求めると、
I0 = (120 - 150) / 10
= -30 / 10
= -3 A
です。
したがって答えは
V0 = 150 V
I0 = -3 A
です。
I0 が負になったのは、実際の電流が図の矢印と逆向きに 3 A 流れることを意味します。
77. When Kirchhoff’s Laws Are Needed / キルヒホッフの法則が必要になる場面
English
For simple series and parallel circuits, Ohm’s law is often enough.
But once the circuit becomes a network with many nodes and loops, direct calculation becomes difficult. In that case, Kirchhoff’s laws provide a systematic method.
So the overall picture is:
simple series/parallel:
Ohm's law is often enough
complex network:
use KCL and KVL
then solve simultaneous equations
日本語
単純な直列回路や並列回路なら、オームの法則だけでも解けることが多いです。
しかし、節点や閉路が増えた 回路網 になると、直接計算は難しくなります。そういうときに、キルヒホッフの法則を使うと体系的に解けます。
全体像としては、
単純な直列・並列:
オームの法則で解けることが多い
複雑な回路網:
KCL と KVL を立てる
その後で連立方程式を解く
78. Elimination Method / 消去法
English
For the two-loop circuit, the mesh-current equations are
E1 = (R1 + R3)Ia + R3Ib
E2 = R3Ia + (R2 + R3)Ib
From these two equations, one current can be eliminated to solve for the other. The results are
Ia = ((R2 + R3)E1 - R3E2) / (R1R2 + R2R3 + R3R1)
Ib = ((R1 + R3)E2 - R3E1) / (R1R2 + R2R3 + R3R1)
and the shared-branch current is
I3 = Ia + Ib
= (R2E1 + R1E2) / (R1R2 + R2R3 + R3R1)
So the flow is simple:
write two simultaneous equations
eliminate one unknown
solve the other
substitute back
日本語
2閉路回路では、閉路電流の式は
E1 = (R1 + R3)Ia + R3Ib
E2 = R3Ia + (R2 + R3)Ib
です。
この2式から、片方の電流を消去してもう片方を求めます。結果は
Ia = ((R2 + R3)E1 - R3E2) / (R1R2 + R2R3 + R3R1)
Ib = ((R1 + R3)E2 - R3E1) / (R1R2 + R2R3 + R3R1)
となります。
共通枝の電流は
I3 = Ia + Ib
= (R2E1 + R1E2) / (R1R2 + R2R3 + R3R1)
です。
流れとしては
2本の連立方程式を立てる
片方の未知数を消去する
もう片方を求める
代入して残りを求める
です。
79. Matrix Method / 行列法
English
The same two-loop equations can be written as a matrix equation:
[E1] [R1 + R3 R3 ] [Ia]
[E2] = [R3 R2 + R3] [Ib]
This is the same as
[E] = [R][I]
Once written this way, the unknown currents can be solved by inverse matrices or determinants. This is why linear algebra appears naturally in circuit analysis.
日本語
同じ2閉路の式は、行列で
[E1] [R1 + R3 R3 ] [Ia]
[E2] = [R3 R2 + R3] [Ib]
と書けます。
つまり
[E] = [R][I]
です。
ここまで行列の形にできれば、逆行列や行列式で未知電流を求められます。
そのため、回路解析では線形代数が自然に出てきます。
80. How to Choose Mesh Currents / 閉路電流の取り方
English
The directions of mesh currents can be chosen freely.
mesh-current direction:
free to choose
What matters is that:
the equations must be independent
the signs must be handled consistently
If the source polarity and the current sum or difference in shared branches are written correctly, the final current values of the circuit elements become the same even when the loop-current directions are chosen differently.
日本語
閉路電流の向きは自由に決めてよいです。
閉路電流の向き:
自由
ただし大事なのは
立てる方程式が独立であること
符号を一貫して扱うこと
です。
電圧源の向きや、共通枝での電流の和差を正しく書けば、閉路の取り方が違っても各素子の電流値は同じになります。
81. Branch Currents and Loop Currents / 枝電流と閉路電流の関係
English
In a three-loop circuit, branch currents are often written from loop currents first. A typical relation is
i1 = il1
i2 = il2
i3 = il3
i4 = il1 - il3
i5 = il2 + il3
This means that a branch belonging to only one loop carries that loop current directly, while a shared branch carries the sum or difference of loop currents.
日本語
3閉路回路では、まず枝電流を閉路電流で表します。代表例は
i1 = il1
i2 = il2
i3 = il3
i4 = il1 - il3
i5 = il2 + il3
です。
つまり、1つの閉路だけに属する枝ではその閉路電流がそのまま流れ、共通枝では閉路電流の和または差になります。
82. Three-Loop Mesh Equations / 3閉路の閉路方程式
English
For the three-loop example, the equations become
Loop l1:
(R1 + R4)il1 - R4il3 = E1
Loop l2:
(R2 + R5)il2 + R5il3 = E2
Loop l3:
-R4il1 + R5il2 + (R3 + R4 + R5)il3 = 0
So each loop gives one equation, and all loop currents are solved together as a simultaneous equation system.
日本語
3閉路の例では、方程式は
Loop l1:
(R1 + R4)il1 - R4il3 = E1
Loop l2:
(R2 + R5)il2 + R5il3 = E2
Loop l3:
-R4il1 + R5il2 + (R3 + R4 + R5)il3 = 0
となります。
つまり、各閉路から1本ずつ方程式ができて、閉路電流をまとめて連立方程式として解きます。
83. Three-Loop Matrix Form / 3閉路の行列表現
English
The same equations can be collected into one matrix equation:
[(R1 + R4) 0 -R4 ] [il1] [E1]
[0 (R2 + R5) R5 ] [il2] = [E2]
[-R4 R5 (R3+R4+R5)] [il3] [0 ]
This is the standard form of mesh-current matrix analysis.
The unknowns are collected in one current vector, and the sources are collected in one voltage vector.
日本語
同じ式は、1つの行列方程式にまとめると
[(R1 + R4) 0 -R4 ] [il1] [E1]
[0 (R2 + R5) R5 ] [il2] = [E2]
[-R4 R5 (R3+R4+R5)] [il3] [0 ]
です。
これが閉路電流法の標準的な行列表現です。
未知数は電流ベクトルにまとめ、電源は右辺の電圧ベクトルにまとめます。
84. Rules for Building the Mesh Matrix / 閉路電流法の行列を作る規則
English
The mesh-current matrix has a clear pattern.
1. it is symmetric with respect to the diagonal
2. each diagonal element is the sum of all resistors in that loop
3. each off-diagonal element is the resistance shared by two loops
4. if the loop-current directions are opposite in that shared resistor, attach a minus sign
5. the right-hand-side vector is the sum of source voltages in each loop
6. if a source direction is opposite to the loop direction, attach a minus sign
These rules let you build the matrix directly from the circuit diagram without expanding everything from scratch every time.
日本語
閉路電流法の行列には、はっきりした規則があります。
1. 対角に関して対称になる
2. 対角要素はその閉路に含まれる抵抗の総和
3. 非対角要素は2つの閉路に共通な抵抗
4. その共通抵抗で電流方向が逆なら負符号を付ける
5. 右辺ベクトルはその閉路にある起電力の和
6. 起電力の向きが閉路方向と逆なら負符号を付ける
この規則を使うと、毎回すべてを展開しなくても、回路図から直接行列を作れます。
85. KVL Method and KCL Method / 閉路電流法と節点電位法
English
There are two major systematic methods for complicated circuits.
Mesh current method (KVL):
unknowns are loop currents
Node voltage method (KCL):
unknowns are node voltages
So the difference is:
KVL-based method:
solve for currents first
KCL-based method:
solve for voltages first
Both methods turn the circuit into simultaneous equations.
日本語
複雑な回路を系統的に解く代表的な方法は2つあります。
閉路電流法(KVL):
未知数は各閉路の電流
節点電位法(KCL):
未知数は各節点の電圧
違いを短く言うと、
KVLベース:
まず電流を求める
KCLベース:
まず電圧を求める
86. Superposition Theorem / 重ね合わせの理
English
In a linear circuit with two or more independent sources, the voltage or current at any place is the sum of the contributions produced by each source acting alone.
total response
= response from source 1 alone
+ response from source 2 alone
+ response from source 3 alone
+ ...
So the main idea is:
many sources together
-> split into one-source cases
-> solve each case
-> add the results
This works for voltage and also for current, as long as the circuit is linear.
日本語
重ね合わせの理 とは、2個以上の独立電源をもつ 線形回路 では、ある場所の電圧や電流は、各電源が単独で存在するときの結果を足し合わせたものになる、という考え方です。
全体の応答
= 電源1だけの応答
+ 電源2だけの応答
+ 電源3だけの応答
+ ...
つまり、
電源が複数ある
-> 1個ずつ残した回路に分ける
-> それぞれ解く
-> 最後に足す
という流れです。
これは 電圧 にも 電流 にも使えます。ただし、回路が線形であることが必要です。
87. What “Turning Off a Source” Means / 電源を OFF にするとは何か
English
When applying superposition, the sources that are not being considered are turned off.
voltage source OFF -> short circuit
current source OFF -> open circuit
Why?
voltage source OFF:
V = 0
so it becomes a short
current source OFF:
I = 0
so it becomes an open
This rule is essential in superposition problems.
日本語
重ね合わせの理では、今考えていない電源を OFF にします。
電圧源を OFF -> 短絡
電流源を OFF -> 開放
意味は次の通りです。
電圧源 OFF:
V = 0
だから短絡
電流源 OFF:
I = 0
だから開放
このルールが、重ね合わせの理の基本です。
88. Example of Superposition / 重ね合わせの理の基本例
English
Consider the circuit with a voltage source v1, a current source i2, a series resistor R1, and a shunt resistor R2.
Let the output be v2.
First, keep only the voltage source and turn off the current source. Then the current source branch becomes open, and the circuit becomes a voltage divider. The contribution is:
v2' = R2 / (R1 + R2) * v1
Next, keep only the current source and turn off the voltage source. Then the voltage source branch becomes short, and R1 and R2 appear in parallel. The contribution is:
v2'' = (R1 R2) / (R1 + R2) * i2
Therefore, the total output is:
v2 = v2' + v2''
= R2 / (R1 + R2) * v1
+ (R1 R2) / (R1 + R2) * i2
日本語
電圧源 v1、電流源 i2、直列抵抗 R1、接地側の抵抗 R2 がある回路で、出力を v2 とします。
まず、電圧源だけ を残して電流源を OFF にすると、電流源は開放になるので、回路は分圧回路になります。その寄与は
v2' = R2 / (R1 + R2) * v1
です。
次に、電流源だけ を残して電圧源を OFF にすると、電圧源は短絡になるので、R1 と R2 は並列に見えます。その寄与は
v2'' = (R1 R2) / (R1 + R2) * i2
です。
したがって、全体の出力は
v2 = v2' + v2''
= R2 / (R1 + R2) * v1
+ (R1 R2) / (R1 + R2) * i2
です。
89. Midpoint Voltage with Two Sources / 2つの電圧源がある中点電圧
English
For two voltage sources V1, V2 connected through resistors R1, R2 to a midpoint Vx, superposition gives:
Vx = R2 / (R1 + R2) * V1
+ R1 / (R1 + R2) * V2
= (R1 V2 + R2 V1) / (R1 + R2)
So the midpoint voltage is a weighted average of the two source voltages.
日本語
2つの電圧源 V1, V2 があり、抵抗 R1, R2 を通して中点 Vx ができる回路では、重ね合わせの理を使うと
Vx = R2 / (R1 + R2) * V1
+ R1 / (R1 + R2) * V2
= (R1 V2 + R2 V1) / (R1 + R2)
です。
つまり中点電圧は、2つの電源電圧の 重み付き平均 になります。
90. Thevenin’s Theorem / テブナンの定理
English
Thevenin’s theorem says that any linear two-terminal network can be replaced by:
one voltage source
+ one series internal resistance
So a complicated linear circuit can be simplified into a much smaller equivalent circuit.
If the load is ZL, the load current is
iL = v0 / (Z0 + ZL)
where
v0 = open-circuit voltage
Z0 = equivalent internal resistance
日本語
テブナンの定理とは、任意の 線形2端子回路網 は
1つの電圧源
+ 1つの直列内部抵抗
に置き換えられる、という定理です。
つまり、複雑な線形回路を、もっと簡単な等価回路に直せます。
負荷を ZL とすると、負荷電流は
iL = v0 / (Z0 + ZL)
です。
ここで
v0 = 開放電圧
Z0 = 合成内部抵抗
です。
91. How to Find the Thevenin Equivalent / テブナン等価回路の求め方
English
To find the Thevenin equivalent:
1. remove the load
2. find the open-circuit voltage at the terminals -> v0
3. turn off the independent sources
4. look into the terminals and find the equivalent resistance -> Z0
So the meanings are:
v0:
terminal voltage with the load removed
Z0:
resistance seen from the terminals after sources are turned off
日本語
テブナン等価回路を求める手順は
1. 負荷を外す
2. 端子間の開放電圧を求める -> v0
3. 独立電源を OFF にする
4. 端子から見た合成抵抗を求める -> Z0
です。
意味としては
v0:
負荷を外したときの端子電圧
Z0:
電源を OFF にしたあと、端子から見た抵抗
です。
92. Simple Thevenin Example / テブナンの簡単な例
English
For a circuit with source V1, series resistor R1, and shunt resistor R2, the Thevenin equivalent seen from the output terminals is:
V0 = R2 / (R1 + R2) * V1
R0 = R1 || R2
= R1 R2 / (R1 + R2)
This is a very common result: the Thevenin voltage is the divider voltage, and the Thevenin resistance is the parallel combination seen after the source is turned off.
日本語
電源 V1、直列抵抗 R1、並列抵抗 R2 からなる回路を出力端子から見たとき、テブナン等価回路は
V0 = R2 / (R1 + R2) * V1
R0 = R1 || R2
= R1 R2 / (R1 + R2)
です。
つまり、テブナン電圧は分圧で決まり、テブナン抵抗は電源を OFF にした後に見える並列合成抵抗になります。
93. Norton’s Theorem / ノートンの定理
English
Norton’s theorem is the current-source version of Thevenin’s theorem.
Any linear two-terminal network can be replaced by:
one current source
+ one parallel conductance
So a complicated circuit can also be simplified as a Norton equivalent.
If the load conductance is GL, the load voltage is
V = IS / (G0 + GL)
where
IS = short-circuit current
G0 = equivalent conductance seen from the terminals
日本語
ノートンの定理は、テブナンの定理の 電流源版 です。
任意の線形2端子回路網は
1つの電流源
+ 1つの並列コンダクタンス
に置き換えられます。
負荷コンダクタンスを GL とすると、負荷電圧は
V = IS / (G0 + GL)
です。
ここで
IS = 短絡電流
G0 = 端子から見た合成コンダクタンス
です。
94. How to Find the Norton Equivalent / ノートン等価回路の求め方
English
To find the Norton equivalent:
1. short the load terminals
2. find the short-circuit current -> IS
3. turn off the independent sources
4. find the conductance seen from the terminals -> G0
Also,
G0 = 1 / Z0
So Norton and Thevenin are directly related.
日本語
ノートン等価回路を求める手順は
1. 負荷端子を短絡する
2. そのとき流れる短絡電流を求める -> IS
3. 独立電源を OFF にする
4. 端子から見た合成コンダクタンスを求める -> G0
です。
また、
G0 = 1 / Z0
なので、ノートン等価回路とテブナン等価回路は直接つながっています。
95. Bridge Circuit / ブリッジ回路
English
In the bridge circuit, the output is the difference between the two midpoint voltages:
VO = VB - VD
= (RB / (RA + RB) - RD / (RC + RD)) * VS
The balance condition is
VO = 0
which gives
RB RC = RA RD
or equivalently
RA / RB = RC / RD
This is used to determine an unknown resistance by adjusting the bridge until the output becomes zero.
日本語
ブリッジ回路では、出力電圧は2つの中点電圧の差です。
VO = VB - VD
= (RB / (RA + RB) - RD / (RC + RD)) * VS
平衡条件は
VO = 0
であり、これより
RB RC = RA RD
となります。
同じことを比で書くと
RA / RB = RC / RD
です。
この条件を使うと、出力を 0 にしたときの関係から未知抵抗を求められます。
96. Report Problem 1 / レポート課題 1
English
For the circuit with
V1 = 120 V
R1 = 10 Ω
R2 = 50 Ω
I1 = 6 A
find VO using superposition.
Contribution from the voltage source alone:
VO' = R2 / (R1 + R2) * V1
= 50 / 60 * 120
= 100 V
Contribution from the current source alone:
R1 || R2 = 10 * 50 / (10 + 50)
= 500 / 60
= 25/3 Ω
VO'' = (R1 || R2) * I1
= 25/3 * 6
= 50 V
Therefore,
VO = VO' + VO''
= 100 + 50
= 150 V
日本語
次の回路で
V1 = 120 V
R1 = 10 Ω
R2 = 50 Ω
I1 = 6 A
とします。重ね合わせの理で VO を求めます。
まず、電圧源だけ を残すと
VO' = R2 / (R1 + R2) * V1
= 50 / 60 * 120
= 100 V
です。
次に、電流源だけ を残すと
R1 || R2 = 10 * 50 / (10 + 50)
= 500 / 60
= 25/3 Ω
なので
VO'' = (R1 || R2) * I1
= 25/3 * 6
= 50 V
です。
したがって
VO = VO' + VO''
= 100 + 50
= 150 V
です。
97. Report Problem 2 / レポート課題 2
English
In the bridge-like circuit, remove R and find the Thevenin equivalent seen between nodes A and B.
Left divider midpoint:
VA = 100 * 20 / (30 + 20) = 40 V
Right divider midpoint:
VB = 100 * 30 / (20 + 30) = 60 V
So the open-circuit voltage is
VTH = VB - VA = 60 - 40 = 20 V
Thus node B is 20 V higher than node A.
Next, turn off the 100 V source. Then the top and bottom rails are shorted together.
Seen from node A to the common node:
30 || 20 = 30 * 20 / (30 + 20) = 12 Ω
Seen from node B to the common node:
20 || 30 = 20 * 30 / (20 + 30) = 12 Ω
So the Thevenin resistance seen between A and B is
RTH = 12 + 12 = 24 Ω
Now require the load current magnitude to be 0.4 A:
0.4 = 20 / (24 + R)
24 + R = 50
R = 26 Ω
Therefore:
R = 26 Ω
current direction: B -> A
If you define the positive current direction as A -> B, then
IR = -0.4 A
日本語
この回路では、まず R を外して、A-B 間のテブナン等価回路を求めます。
左側の分圧点 A は
VA = 100 * 20 / (30 + 20) = 40 V
です。
右側の分圧点 B は
VB = 100 * 30 / (20 + 30) = 60 V
です。
したがって開放電圧は
VTH = VB - VA = 60 - 40 = 20 V
です。
つまり、B のほうが A より 20 V 高いです。
次に、100 V 電源を OFF にすると、上下の母線は短絡されます。
A から共通点まで見ると
30 || 20 = 30 * 20 / (30 + 20) = 12 Ω
です。
B から共通点まで見ても
20 || 30 = 20 * 30 / (20 + 30) = 12 Ω
です。
よって、A-B 間のテブナン抵抗は
RTH = 12 + 12 = 24 Ω
です。
ここで、負荷電流の大きさが 0.4 A になる条件は
0.4 = 20 / (24 + R)
24 + R = 50
R = 26 Ω
です。
したがって答えは
R = 26 Ω
電流の向き: B -> A
です。
もし A -> B を正方向に取るなら
IR = -0.4 A
となります。
98. Radian / ラジアン
English
A radian is an angle defined from arc length.
If a circle has radius r, arc length l, and central angle θ in radians, then
l = rθ
Also, degree and radian are related by
360° = 2π rad
180° = π rad
α[rad] = (π/180) θ[deg]
Angular velocity is the angle swept per second, so
ω = dθ/dt
and its unit is rad/s.
日本語
ラジアンは、弧の長さから決める角の単位です。
円の半径を r、弧の長さを l、中心角を θ [rad] とすると
l = rθ
です。
また、度とラジアンの関係は
360° = 2π rad
180° = π rad
α[rad] = (π/180) θ[deg]
です。
角速度は、1秒あたりに進む角度なので
ω = dθ/dt
で、単位は rad/s です。
99. Sinusoidal AC / 正弦波交流
English
Sinusoidal AC is a voltage or current whose value changes with time in a sinusoidal way.
A basic expression is
v(t) = Em sin(ωt)
Another equivalent expression is
v(t) = Em cos(ωt)
and the most general introductory form is
v(t) = Em sin(ωt + θ)
where Em is the maximum amplitude, ωt + θ is the instantaneous phase, ω is angular frequency, and θ is the initial phase.
日本語
正弦波交流とは、電圧や電流の大きさが時間とともに正弦波状に変化するものです。
基本形は
v(t) = Em sin(ωt)
です。
同じ正弦波は
v(t) = Em cos(ωt)
の形でも表せます。
さらに一般形として
v(t) = Em sin(ωt + θ)
と書けます。
ここで Em は最大振幅、ωt + θ は瞬時位相、ω は角周波数、θ は初期位相です。
100. Period, Frequency, and Angular Frequency / 周期・周波数・角周波数
English
For a sinusoidal wave,
T = one period [s]
f = frequency [Hz]
ω = angular frequency [rad/s]
These are related by
f = 1 / T
ωT = 2π
T = 2π / ω
f = ω / (2π)
ω = 2πf
So one full cycle means a phase advance of 2π rad.
日本語
正弦波では、
T = 周期 [s]
f = 周波数 [Hz]
ω = 角周波数 [rad/s]
です。
これらの関係は
f = 1 / T
ωT = 2π
T = 2π / ω
f = ω / (2π)
ω = 2πf
です。
つまり、1周期進むと位相は 2π rad 進みます。
101. Time Shift and Phase Shift / 時間移動と位相ずれ
English
A sinusoid shifted to the left on the time axis is written with a positive phase term:
y(t) = A sin(ωt + θ)
A sinusoid shifted to the right is written with a negative phase term:
y(t) = A sin(ωt - θ)
So left shift corresponds to positive phase, and right shift corresponds to negative phase.
日本語
正弦波が時間軸で左にずれると、式では位相が正になります。
y(t) = A sin(ωt + θ)
時間軸で右にずれると、式では位相が負になります。
y(t) = A sin(ωt - θ)
つまり、左ずれは正の位相、右ずれは負の位相で表します。
102. Phase Lead and Phase Lag / 位相の進みと遅れ
English
When a waveform is shifted left, we say its phase leads.
left shift -> phase lead
y(t) = A sin(ωt + θ)
When a waveform is shifted right, we say its phase lags.
right shift -> phase lag
y(t) = A sin(ωt - θ)
This is the standard meaning of phase lead and lag in sinusoidal signals.
日本語
波形が左へずれることを、位相が進む といいます。
左へずれる -> 位相が進む
y(t) = A sin(ωt + θ)
波形が右へずれることを、位相が遅れる といいます。
右へずれる -> 位相が遅れる
y(t) = A sin(ωt - θ)
これが、正弦波での位相の進みと遅れの基本です。
103. Phase Relation Between Voltage and Current / 電圧と電流の位相関係
English
A typical example is
v(t) = Vm sin(ωt + θ)
i(t) = Im sin(ωt)
In this case, current i(t) lags voltage v(t) by θ.
If the phase difference is
θ = π = 180°
then the voltage and current are in opposite phase.
日本語
代表的な書き方は
v(t) = Vm sin(ωt + θ)
i(t) = Im sin(ωt)
です。
このとき、電流 i(t) は電圧 v(t) より θ だけ遅れています。
さらに位相差が
θ = π = 180°
なら、電圧と電流は 逆位相 です。
104. Trigonometric Formulas Used in Sinusoidal Signals / 正弦波でよく使う三角公式
English
The basic formulas used repeatedly are:
sin^2 θ + cos^2 θ = 1
sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
sin(2α) = 2 sin α cos α
cos(2α) = cos^2 α - sin^2 α
These are used when converting between sine and cosine, combining phases, and simplifying AC expressions.
日本語
正弦波でよく使う基本公式は次の通りです。
sin^2 θ + cos^2 θ = 1
sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
sin(2α) = 2 sin α cos α
cos(2α) = cos^2 α - sin^2 α
これらは、sin と cos の変換、位相の整理、交流式の変形で何度も使います。
105. Example of Instantaneous Voltage / 瞬時電圧の例
English
Suppose
Em = 141 V
f = 50 Hz
θ = π/4 rad
Then
ω = 2πf = 100π rad/s
So the instantaneous voltage is
v(t) = 141 sin(100πt + π/4) [V]
日本語
たとえば
Em = 141 V
f = 50 Hz
θ = π/4 rad
なら、
ω = 2πf = 100π rad/s
です。
したがって瞬時電圧は
v(t) = 141 sin(100πt + π/4) [V]
です。
106. Example of Instantaneous Current in Cosine Form / コサイン形の瞬時電流の例
English
A sinusoidal current can also be written with cosine.
For the shown example, the amplitude is 10 A and the phase is π/3, so one valid expression is
i(t) = 10 cos(ωt + π/3) [A]
This shows that the same sinusoidal waveform can be expressed in sine form or cosine form, depending on the chosen reference point.
日本語
正弦波電流は、コサインでも表せます。
図の例では、振幅が 10 A、位相が π/3 なので、1つの表し方は
i(t) = 10 cos(ωt + π/3) [A]
です。
つまり、同じ波形でも、時間原点の取り方によって sin 形にも cos 形にも書けます。
107. Measures of Sine-Wave Magnitude / 正弦波の大きさを表す量
English
For a sinusoidal signal, common measures of size are:
peak value:
maximum instantaneous value in one cycle
absolute average value:
average of |v(t)| over one period
rms value:
the AC value that gives the same power as an equivalent DC value
These are different ways to describe the size of an AC waveform.
日本語
正弦波の大きさを表す代表的な量は次の通りです。
波高値:
1周期の中での最大瞬時値
絶対平均値:
|v(t)| を1周期で平均した値
実効値:
同じ電力を与える直流に換算した大きさ
つまり、交流の大きさには1種類ではなく、目的に応じて複数の見方があります。
108. Average Value and Absolute Average Value / 平均値と絶対平均値
English
For
v(t) = Vm sin(2π/T0 * t)
the average over one full period is
Vave = 1/T0 ∫[0 to T0] v(t) dt = 0
because the positive and negative halves cancel each other.
The absolute average over one period is
Vave = 1/T0 ∫[0 to T0] |v(t)| dt = 2Vm/π
This is positive because the negative half is flipped upward before averaging.
日本語
v(t) = Vm sin(2π/T0 * t)
とすると、1周期の平均値は
Vave = 1/T0 ∫[0 to T0] v(t) dt = 0
です。
これは、正の半周期と負の半周期が打ち消し合うからです。
一方、絶対平均値は
Vave = 1/T0 ∫[0 to T0] |v(t)| dt = 2Vm/π
です。
こちらは負の部分も上に折り返して平均するので、正の値になります。
109. RMS Value / 実効値
English
The RMS value of an AC signal is the DC value that produces the same average power in a resistor.
RMS:
the equivalent DC value for power
For a voltage waveform v(t), the general definition is
Vrms = sqrt( (1/T0) ∫[0 to T0] [v(t)]^2 dt )
The name RMS means:
Root Mean Square
This is why RMS is used when comparing AC and DC in power calculations.
日本語
実効値とは、交流を直流に換算したときに、抵抗で同じ平均電力を与える直流値 のことです。
実効値:
電力が等しくなる直流換算値
電圧波形 v(t) に対する一般式は
Vrms = sqrt( (1/T0) ∫[0 to T0] [v(t)]^2 dt )
です。
RMS は
Root Mean Square
の略です。
そのため、交流と直流を電力の観点で比較するときに実効値を使います。
110. RMS of a Sine Wave / 正弦波の実効値
English
For a sine wave
v(t) = Vm sin(2π/T0 * t)
its RMS value becomes
Vrms = Vm / sqrt(2)
So the RMS value is smaller than the peak value by a factor of 1/sqrt(2).
peak value = Vm
rms value = Vm / sqrt(2)
This is one of the most important formulas in AC circuit analysis.
日本語
正弦波
v(t) = Vm sin(2π/T0 * t)
の実効値は
Vrms = Vm / sqrt(2)
です。
つまり、実効値は最大値より 1/sqrt(2) 倍だけ小さくなります。
波高値 = Vm
実効値 = Vm / sqrt(2)
これは交流回路で最重要級の公式の1つです。
111. Average Power in a Resistor / 抵抗での平均電力
English
If a resistor R is connected to a voltage v(t), the instantaneous power is
p(t) = [v(t)]^2 / R
The average power over one period is
Pavg = (1/T0) ∫[0 to T0] p(t) dt
= (1/R) Vrms^2
So RMS value is directly tied to average power.
average power in R
= Vrms^2 / R
日本語
抵抗 R に電圧 v(t) が加わると、瞬時電力は
p(t) = [v(t)]^2 / R
です。
1周期で平均すると
Pavg = (1/T0) ∫[0 to T0] p(t) dt
= (1/R) Vrms^2
です。
つまり実効値は、平均電力と直接つながっています。
抵抗での平均電力
= Vrms^2 / R
112. Example of Sine-Wave Quantities / 正弦波の各値の例
English
Suppose
v(t) = 141.4 sin(314t + π/8)
Then the main quantities are
peak value = 141.4 V
rms value = 141.4 / sqrt(2) ≈ 100 V
absolute average= 2Vm / π ≈ 90 V
angular frequency ω = 314 rad/s
frequency f = ω / (2π) ≈ 50 Hz
phase angle = π/8 rad = 22.5°
This is the standard way to read information from a sinusoidal expression.
日本語
たとえば
v(t) = 141.4 sin(314t + π/8)
なら、主要な値は
最大振幅 = 141.4 V
実効値 = 141.4 / sqrt(2) ≈ 100 V
絶対平均値 = 2Vm / π ≈ 90 V
角周波数 ω = 314 rad/s
周波数 f = ω / (2π) ≈ 50 Hz
位相角 = π/8 rad = 22.5°
です。
これが、正弦波の式を読んで各量を取り出す基本形です。
113. Why Complex Numbers Are Used / なぜ複素数を使うのか
English
Waveform calculation in electrical signals is based on trigonometric functions, especially sine waves.
But trigonometric calculations become complicated, so sinusoidal signals are also expressed by complex exponential functions.
sinusoidal signal:
can be written by trigonometric functions
can also be written by complex exponentials
The reason is simple:
complex exponential form
makes calculation easier
日本語
電気信号の波形計算は三角関数、特に sin 波を土台にしています。
ただし三角関数の計算は複雑になりやすいので、正弦波は複素指数関数でも表します。
正弦波信号:
三角関数で表せる
複素指数関数でも表せる
理由は単純で、
複素指数関数の形のほうが
計算しやすい
からです。
114. Rectangular Form of a Complex Number / 複素数の直交座標表示
English
A complex number is written as
Z = a + jb
where
a = real part
b = imaginary part
Its magnitude and phase are
|Z| = sqrt(a^2 + b^2)
θ = tan^-1(b / a)
So a complex number has both size and angle.
日本語
複素数は
Z = a + jb
と書きます。
ここで
a = 実部
b = 虚部
です。
大きさと位相角は
|Z| = sqrt(a^2 + b^2)
θ = tan^-1(b / a)
です。
つまり複素数は、大きさ と 角度 を同時に持つ量として見られます。
115. Imaginary Unit and the Complex Plane / 虚数単位と複素平面
English
The imaginary unit is
j = sqrt(-1)
In electrical engineering, j is used instead of i.
The horizontal axis is the real axis, and the vertical axis is the imaginary axis.
The projections of a rotating unit vector give cosine and sine:
horizontal projection -> cos(ωt)
vertical projection -> sin(ωt)
So circular rotation and sinusoidal signals are directly connected.
日本語
虚数単位は
j = sqrt(-1)
です。
電気回路では、虚数単位に i ではなく j を使います。
複素平面では、横軸が実軸、縦軸が虚軸です。
回転するベクトルを軸に射影すると
横方向の射影 -> cos(ωt)
縦方向の射影 -> sin(ωt)
になります。
つまり、円運動と正弦波は直接つながっています。
116. Complex Signal on the Unit Circle / 単位円上の複素信号
English
A unit complex signal is written as
A = 1 * e^(jθ)
with angle
θ = ωt
At important angles,
θ = 0° -> 1
θ = 90° -> j
θ = 180° -> -1
θ = 270° -> -j
θ = 360° -> 1
This shows that multiplying by j corresponds to a 90-degree counterclockwise rotation.
日本語
単位複素信号は
A = 1 * e^(jθ)
と書けます。
角度は
θ = ωt
です。
代表角では
θ = 0° -> 1
θ = 90° -> j
θ = 180° -> -1
θ = 270° -> -j
θ = 360° -> 1
となります。
したがって、j を掛けることは 90度反時計回りに回転すること に対応します。
117. Euler’s Formula / オイラーの公式
English
Euler’s formula is
e^(jθ) = cosθ + jsinθ
From this, the polar form and rectangular form are connected:
z = a + jb
a = r cosθ
b = r sinθ
So trigonometric expressions can be converted into exponential form, and exponential form can be converted back into rectangular coordinates.
日本語
オイラーの公式は
e^(jθ) = cosθ + jsinθ
です。
これによって、極形式と直交座標形式がつながります。
z = a + jb
a = r cosθ
b = r sinθ
つまり、三角関数の式を指数関数へ変換でき、逆に指数関数の形から実部・虚部を読めます。
118. Exponential Forms of Cosine and Sine / cos と sin の指数関数表示
English
Using
e^(jωt) = cosωt + jsinωt
e^(-jωt) = cosωt - jsinωt
we get
cosωt = (e^(jωt) + e^(-jωt)) / 2
sinωt = (e^(jωt) - e^(-jωt)) / (2j)
These formulas are the bridge between trigonometric signals and phasor-style calculation.
日本語
e^(jωt) = cosωt + jsinωt
e^(-jωt) = cosωt - jsinωt
を使うと、
cosωt = (e^(jωt) + e^(-jωt)) / 2
sinωt = (e^(jωt) - e^(-jωt)) / (2j)
が得られます。
これが、三角関数の波形を複素指数関数へ写す基本公式です。
119. Addition and Subtraction of Complex Numbers / 複素数の加算と減算
English
Complex numbers are added and subtracted by handling the real and imaginary parts separately.
(a + jb) + (c + jd) = (a + c) + j(b + d)
(a + jb) - (c + jd) = (a - c) + j(b - d)
Examples:
(3 + 4j) + (2 + 8j) = 5 + 12j
(3 + 4j) - (2 + 8j) = 1 - 4j
日本語
複素数の加算と減算は、実部どうし、虚部どうしで計算します。
(a + jb) + (c + jd) = (a + c) + j(b + d)
(a + jb) - (c + jd) = (a - c) + j(b - d)
たとえば
(3 + 4j) + (2 + 8j) = 5 + 12j
(3 + 4j) - (2 + 8j) = 1 - 4j
です。
120. Multiplication and Division of Complex Numbers / 複素数の乗算と除算
English
Example of multiplication:
(3 + 4j)(2 + 8j)
= 6 + 24j + 8j + 32j^2
= 6 + 32j - 32
= -26 + 32j
Example of division:
(3 + 4j) / (2 + 8j)
Multiply numerator and denominator by the complex conjugate 2 - 8j:
(3 + 4j)/(2 + 8j)
= (3 + 4j)(2 - 8j) / ((2 + 8j)(2 - 8j))
= (38 - 16j) / 68
= 19/34 - (8/34)j
So division is handled by rationalizing the denominator with the conjugate.
日本語
乗算の例は
(3 + 4j)(2 + 8j)
= 6 + 24j + 8j + 32j^2
= 6 + 32j - 32
= -26 + 32j
です。
除算の例は
(3 + 4j) / (2 + 8j)
で、分母の共役複素数 2 - 8j を掛けます。
(3 + 4j)/(2 + 8j)
= (3 + 4j)(2 - 8j) / ((2 + 8j)(2 - 8j))
= (38 - 16j) / 68
= 19/34 - (8/34)j
となります。
つまり除算では、共役複素数を掛けて分母を実数にする のが基本です。
121. Meaning of Multiplication by j / j を掛ける意味
English
Multiplying by j means adding a phase of 90°.
1 × j = j
j × j = -1
-1 × j = -j
-j × j = 1
This matches
j = e^(jπ/2)
So multiplication by j is rotation by π/2.
Similarly,
-1 = e^(jπ)
so multiplication by -1 means adding 180°.
日本語
j を掛けることは、位相を 90° 加えることに対応します。
1 × j = j
j × j = -1
-1 × j = -j
-j × j = 1
これは
j = e^(jπ/2)
と一致します。
つまり、j を掛けることは π/2 回転です。
同様に
-1 = e^(jπ)
なので、-1 を掛けることは 180° 位相を加えることに対応します。
122. Differentiation and Integration of Complex Exponentials / 複素指数関数の微分と積分
English
For a complex exponential,
d/dt e^(jωt) = jω e^(jωt)
and
∫ e^(jωt) dt = 1/(jω) e^(jωt) + C
Since
1/j = -j
integration can also be viewed as a phase shift and a scaling.
This is one reason complex exponential form is convenient: differentiation and integration become simple multiplication or division.
日本語
複素指数関数では
d/dt e^(jωt) = jω e^(jωt)
です。
また
∫ e^(jωt) dt = 1/(jω) e^(jωt) + C
です。
ここで
1/j = -j
なので、積分も位相ずれと倍率変化として見られます。
このため、複素指数関数を使うと、微分や積分がとても簡単になります。
123. Why Phasor Representation Is Useful / フェーザ表示が便利な理由
English
In steady-state AC analysis, frequency does not change.
In that situation, it is more convenient to use complex-number and phasor representation than to keep writing sine and cosine functions directly.
steady-state AC:
same frequency everywhere
therefore:
use complex representation
use phasor representation
This is the entrance to impedance and admittance analysis.
日本語
定常交流解析では、周波数は変わりません。
そのため、sin や cos を毎回そのまま扱うより、複素数表示やフェーザ表示を使うほうが便利です。
定常交流:
周波数が共通
だから:
複素数表示を使う
フェーザ表示を使う
ここから、インピーダンスやアドミタンスの解析へ進みます。
124. Phasor / フェーザ
English
A sinusoidal signal
x(t) = A sin(ωt + θ)
can be expressed in complex form, and its important constant part is written as a phasor:
Ae^{j(ωt+θ)} = Ae^{jθ} e^{jωt} = X e^{jωt}
X = Ae^{jθ} = A∠θ
Here, X is the phasor.
It contains the steady-state information of the sinusoid:
A = magnitude
θ = phase
The factor e^{jωt} represents only the time variation, so it can be omitted during steady-state AC calculation.
日本語
正弦波信号
x(t) = A sin(ωt + θ)
は複素数表示でき、その中で時間に依らない重要部分を フェーザ といいます。
Ae^{j(ωt+θ)} = Ae^{jθ} e^{jωt} = X e^{jωt}
X = Ae^{jθ} = A∠θ
この X がフェーザです。
A = 大きさ
θ = 位相
を持ち、e^{jωt} は時間変化だけを表すので、定常交流解析では省略して扱えます。
125. Why Phasor Representation Is Useful / フェーザ表示が便利な理由
English
In AC circuits, writing everything with sine and cosine functions leads to differential equations.
Using phasors changes the problem into algebra.
time-domain differential equation
-> phasor-domain linear equation
That is why phasor representation is central in steady-state AC analysis.
日本語
交流回路を sin や cos のままで扱うと、微分方程式になります。
しかしフェーザを使うと、問題は代数的な一次式に変わります。
時間領域の微分方程式
-> フェーザ領域の線形方程式
これが、定常交流解析でフェーザ表示を使う大きな理由です。
126. Differentiation and Integration in Phasor Form / フェーザ表示での微分と積分
English
If a signal is written as
X e^{jωt}
then differentiation and integration are very simple:
d/dt [X e^{jωt}] = jω X e^{jωt}
∫ X e^{jωt} dt = (1/jω) X e^{jωt}
So in phasor form:
d/dt -> multiply by jω
∫dt -> divide by jω
日本語
信号を
X e^{jωt}
と書くと、微分と積分はとても簡単です。
d/dt [X e^{jωt}] = jω X e^{jωt}
∫ X e^{jωt} dt = (1/jω) X e^{jωt}
つまりフェーザでは
微分 -> jω を掛ける
積分 -> jω で割る
だけでよいです。
127. AC Ohm’s Law / 交流回路のオームの法則
English
Ohm’s law also holds in AC circuits, but resistance is extended to impedance.
Z = v / i
So in AC,
voltage / current = impedance
Impedance is the AC extension of the idea of resistance, and its unit is also ohm Ω.
日本語
オームの法則は交流回路でも成り立ちますが、そのとき抵抗は インピーダンス に拡張されます。
Z = v / i
です。
つまり交流では、
電圧 / 電流 = インピーダンス
となります。
インピーダンスは、直流の抵抗の考え方を複素数へ広げたもので、単位は同じく Ω です。
128. Impedance and Admittance / インピーダンスとアドミタンス
English
If voltage and current satisfy
v = Zi
and Z is written as a complex number,
Z = R + jX
then Z is called impedance.
R = resistance
X = reactance
Similarly, if
i = Yv
and
Y = G + jB
then Y is called admittance.
G = conductance
B = susceptance
日本語
電圧と電流が
v = Zi
を満たし、Z が複素数
Z = R + jX
で表されるとき、Z をインピーダンスといいます。
R = レジスタンス
X = リアクタンス
です。
同様に、
i = Yv
で
Y = G + jB
と表されるとき、Y をアドミタンスといいます。
G = コンダクタンス
B = サセプタンス
です。
129. Impedance of R, L, and C / 抵抗・コイル・コンデンサのインピーダンス
English
The basic impedances are:
ZR = R
ZL = jωL
ZC = 1 / (jωC)
So the resistor is real, the inductor is positive imaginary, and the capacitor is negative imaginary because
1 / (jωC) = -j / (ωC)
日本語
基本のインピーダンスは
ZR = R
ZL = jωL
ZC = 1 / (jωC)
です。
したがって、抵抗は実数、コイルは正の虚数、コンデンサは
1 / (jωC) = -j / (ωC)
となるので負の虚数成分を持ちます。
130. Phase Relation of R, L, and C / R・L・C の位相関係
English
For a resistor:
voltage and current are in phase
For an inductor:
ZL = jωL
current lags voltage by 90°
For a capacitor:
ZC = 1 / (jωC)
current leads voltage by 90°
So:
R: same phase
L: current lags
C: current leads
日本語
抵抗では
電圧と電流は同相
です。
コイルでは
ZL = jωL
電流は電圧より 90° 遅れる
です。
コンデンサでは
ZC = 1 / (jωC)
電流は電圧より 90° 進む
です。
つまり、
R: 同相
L: 電流が遅れる
C: 電流が進む
となります。
131. Frequency Dependence of L and C / コイルとコンデンサの周波数依存性
English
For an inductor:
ZL = jωL
So if frequency increases, |ZL| increases.
ω = 0 -> ZL = 0
higher ω -> larger impedance
For a capacitor:
ZC = 1 / (jωC)
So if frequency increases, |ZC| decreases.
ω = 0 -> ZC = ∞
higher ω -> smaller impedance
日本語
コイルでは
ZL = jωL
なので、周波数が高いほど |ZL| は大きくなります。
ω = 0 -> ZL = 0
ω が大きい -> インピーダンスが大きい
です。
コンデンサでは
ZC = 1 / (jωC)
なので、周波数が高いほど |ZC| は小さくなります。
ω = 0 -> ZC = ∞
ω が大きい -> インピーダンスが小さい
です。
132. R-L Series Circuit / R-L 直列回路
English
In an R-L series circuit,
Z = R + jωL
Its magnitude and phase are
|Z| = sqrt(R^2 + (ωL)^2)
φ = tan^-1(ωL / R)
If the source phasor is
v = |Vm| e^{jθ}
then the current is
i = v / Z = |I| e^{j(θ-φ)}
|I| = |Vm| / |Z|
So the current lags the source voltage by φ.
日本語
R-L 直列回路では
Z = R + jωL
です。
その大きさと位相は
|Z| = sqrt(R^2 + (ωL)^2)
φ = tan^-1(ωL / R)
です。
電源フェーザが
v = |Vm| e^{jθ}
なら、電流は
i = v / Z = |I| e^{j(θ-φ)}
|I| = |Vm| / |Z|
です。
つまり、電流は電圧より φ だけ遅れます。
133. R-C Parallel Circuit / R-C 並列回路
English
In an R-C parallel circuit, it is convenient to use admittance:
Y = 1/R + jωC
Its magnitude and phase are
|Y| = sqrt(1/R^2 + (ωC)^2)
φ = tan^-1(ωCR)
If the voltage phasor is
v = |Vm| e^{jθ}
then the current is
i = Yv = |Y||Vm| e^{j(θ+φ)}
|I| = |Y||Vm|
So the current leads the voltage by φ.
日本語
R-C 並列回路では、アドミタンス を使うと便利です。
Y = 1/R + jωC
です。
その大きさと位相は
|Y| = sqrt(1/R^2 + (ωC)^2)
φ = tan^-1(ωCR)
です。
電圧フェーザが
v = |Vm| e^{jθ}
なら、電流は
i = Yv = |Y||Vm| e^{j(θ+φ)}
|I| = |Y||Vm|
です。
つまり、電流は電圧より φ だけ進みます。
134. Kirchhoff’s Laws in AC Phasor Form / 交流回路でのキルヒホッフ則
English
Kirchhoff’s laws also work in AC circuits if voltage and current are treated as phasors.
KCL:
sum of current phasors at a node = 0
KVL:
sum of voltage phasors around a loop = 0
So AC circuit analysis keeps the same structure as DC analysis, but the quantities become complex numbers.
日本語
キルヒホッフの法則は、交流回路でもフェーザでそのまま使えます。
KCL:
節点で電流フェーザの総和 = 0
KVL:
閉路で電圧フェーザの総和 = 0
つまり、解析の骨格は直流回路と同じで、扱う量が複素数になるだけです。
135. DC and AC Circuit Quantities / 直流回路と交流回路の量の違い
English
In DC circuits, quantities are handled mainly by magnitude and direction.
In AC circuits, the main quantities are handled as phasors:
E = E∠θE
V = V∠θV
I = I∠θI
Z = R + jX = Z∠θZ
Y = G + jB = Y∠θY
Power in AC is written with the phase difference:
P = IV cosθ
where θ is the phase difference between voltage and current.
日本語
直流回路では、量は主に大きさと向きで扱います。
交流回路では、主な量をフェーザで扱います。
E = E∠θE
V = V∠θV
I = I∠θI
Z = R + jX = Z∠θZ
Y = G + jB = Y∠θY
交流の電力は、位相差を使って
P = IV cosθ
と書きます。
ここで θ は電圧と電流の位相差です。
136. Resonance Circuit / 共振回路
English
A resonance circuit is made of R, L, and C, and it shows a strong response at a particular frequency.
resonance circuit:
strong response at a specific frequency
At the resonance condition, a small input voltage can create large voltages across L or C.
This is used for frequency selection and oscillators.
日本語
共振回路は R, L, C で構成され、特定の周波数で強い応答を示す回路です。
共振回路:
特定の周波数で強い応答を示す
共振条件では、小さな入力電圧でも L や C の両端に大きな電圧を生じさせられます。
そのため、周波数選択回路や発振器に使われます。
137. Reactance / リアクタンス
English
If
Z = R + jX
then X is the reactance.
X > 0 -> inductive reactance
X < 0 -> capacitive reactance
So the sign of the imaginary part tells whether the circuit is inductive or capacitive.
日本語
Z = R + jX
と書いたとき、X をリアクタンスといいます。
X > 0 -> 誘導リアクタンス
X < 0 -> 容量リアクタンス
つまり、虚部の符号を見れば、その回路がコイル寄りかコンデンサ寄りかが分かります。
138. Lossless Series Resonance / 無損失直列共振
English
For a lossless series LC circuit,
Z = ZL + ZC
= jωL + 1/(jωC)
= j(ωL - 1/(ωC))
At resonance,
ω = ω0 = 1 / sqrt(LC)
and then
Z = 0
So the current becomes maximum. This frequency ω0 is called the resonance angular frequency.
日本語
無損失直列 LC 回路では
Z = ZL + ZC
= jωL + 1/(jωC)
= j(ωL - 1/(ωC))
です。
共振条件は
ω = ω0 = 1 / sqrt(LC)
で、このとき
Z = 0
になります。
したがって、電流は最大になります。この ω0 を共振角周波数といいます。
139. Below and Above Resonance / 共振より下と上
English
In a lossless series resonance circuit:
ω / ω0 < 1 -> X < 0 -> capacitive
ω / ω0 = 1 -> X = 0 -> resonance
ω / ω0 > 1 -> X > 0 -> inductive
So below resonance the circuit behaves capacitively, and above resonance it behaves inductively.
日本語
無損失直列共振回路では
ω / ω0 < 1 -> X < 0 -> 容量性
ω / ω0 = 1 -> X = 0 -> 共振
ω / ω0 > 1 -> X > 0 -> 誘導性
です。
つまり、共振より低い周波数ではコンデンサ寄り、高い周波数ではコイル寄りになります。