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線形代数 ― Ax = b から学習理論・信号処理・AIへ
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第1部 Ax = b と線形構造の基礎
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第1章 ベクトルと行列
1.1 ベクトルと線形結合
1.2 行列と線形写像
1.3 次元と基底
1.4 写像の合成と行列積
第2章 連立一次方程式 Ax = b
2.1 Ax = b の幾何学
2.2 解の存在と一意性
2.3 消去法と三角行列
2.4 LU分解と計算構造
2.5 数値計算としての線形方程式
2.6 反復法（ヤコビ法・ガウス＝ザイデル法・勾配降下法）
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第2部 4つの線形空間 ― 意味・無意味・誤差の分離
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第3章 4つの基本部分空間
3.1 Row(A) ― 意味を持つ入力空間
3.2 Null(A) ― 消える自由度
3.3 Col(A) ― 実現可能な出力
3.4 Null(A^T) ― 避けられない誤差
3.5 ランクと次元定理
3.6 空間の双対性と直交分解
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第3部 直交性・距離・疎性 ― 最適化の幾何学
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第4章 直交性と最適化
4.1 内積と直交
4.2 正規直交基底
4.3 直交射影と最小二乗
4.4 QR分解
4.5 意味成分と誤差成分の分離
4.6 ノルムと距離（L2・L1・L∞）
4.7 スパース性と最適化の幾何学
第5章 行列式と線形変換
5.1 行列式の定義
5.2 体積と向き
5.3 正則性とランク
5.4 変換の可逆性
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第4部 固有構造・スペクトル・周波数
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第6章 固有値とエネルギー構造
6.1 固有値問題
6.2 対角化と不変部分空間
6.3 モード解析
6.4 固有値分解
6.5 二次形式とエネルギー
6.6 対称行列と正定値性
6.6b コレスキー分解とLDL^T分解
6.7 巡回行列と離散フーリエ変換（DFT）
第7章 特異値分解と情報圧縮
7.1 SVDの定義
7.2 SVDの幾何構造
7.3 SVDと4つの線形空間
7.4 条件数と数値不安定性
7.5 低ランク近似とノイズ除去
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第5部 学習理論と高次元空間
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第8章 データ・学習・最適化
8.1 データ行列と分散共分散行列
8.1b 分散共分散行列とマハラノビス距離
8.2 最小二乗と回帰
8.3 行列微分と勾配降下法
8.4 正則化（Ridge・Lasso）の幾何学
8.5 PCA・SVD・マハラノビス距離
8.6 カーネル法と高次元写像
8.7 線形代数からニューラルネットワークへ
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付録
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A.1 複素線形代数（エルミート・ユニタリ）
A.2 FFT（高速フーリエ変換）の行列構造
A.3 疎行列と大規模計算
A.4 グラフ理論・隣接行列・ラプラシアン（PageRank）
A.5 テンソル代数への入り口
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数学エンジン
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・4つの線形空間
Row(A) / Null(A) / Col(A) / Null(A^T)
・7つの分解
LU / QR / 固有値 / SVD / コレスキー / スペクトル / フーリエ