Z 変換とサイン波

1. アナログ系の基礎式

微分演算子 $s$ を離散時間に変換するのが基本。

dx/dt ↔ sX(s)

これを $z$ 領域に変換する近似が差分法や双一次変換です。

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2. 差分近似と Z 変換

サンプリング周期を $T$ とすると：

• 前進差分法 (Forward Difference)

s ≈ (z - 1) / T

• 後退差分法 (Backward Difference)

s ≈ (1 - z^-1) / T

• 双一次変換 (Bilinear Transform, Tustin法)

s ≈ (2/T) * (1 - z^-1) / (1 + z^-1)

👉 これらを使ってアナログフィルタ H(s) を H(z) に変換できる。

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3. 入力サイン波

入力信号：

x[n] = sin(ω0 nT)

サンプリング周期 T で離散化したサイン波。

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4. デジタルフィルタ設計例

アナログ一次ローパスフィルタ：

H(s) = 1 / (s + 1)

各手法で $s$ を置き換えると：

• 前進差分：

H(z) = 1 / ( (z-1)/T + 1 )

• 後退差分：

H(z) = 1 / ( (1 - z^-1)/T + 1 )

• 双一次変換：

H(z) = 1 / ( (2/T * (1 - z^-1)/(1 + z^-1)) + 1 )

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5. サンプルホールド（ZOH）

サンプルホールドは サンプリング後に次のサンプルまで値を保持する動作。Z 変換では次のように表現されます：

H_ZOH(s) = (1 - e^(-sT)) / (sT)

Z 変換後の効果としては 周波数応答に sinc 特性が乗る。

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6. Python 実装イメージ

# Program Name: digital_filter_fd_bd_bilinear.py
# Creation Date: 20250911
# Overview: Compare forward/backward difference and bilinear transform filters with sinusoidal input + ZOH
# Usage: Run and compare time/frequency responses

!pip install numpy matplotlib scipy

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import signal

# Parameters
T = 0.01          # Sampling period
fs = 1/T
N = 512           # Number of samples
f0 = 5            # Input sine frequency [Hz]

# Input sine
n = np.arange(N)
x = np.sin(2*np.pi*f0*n*T)

# Analog prototype (low-pass: 1/(s+1))
num = [1]
den = [1,1]

# Transformations
# Forward difference
num_fd, den_fd, _ = signal.cont2discrete((num,den), T, method='euler')
# Backward difference
num_bd, den_bd, _ = signal.cont2discrete((num,den), T, method='backward_diff')
# Bilinear
num_bl, den_bl, _ = signal.cont2discrete((num,den), T, method='bilinear')

# Filtering
y_fd = signal.lfilter(num_fd.flatten(), den_fd.flatten(), x)
y_bd = signal.lfilter(num_bd.flatten(), den_bd.flatten(), x)
y_bl = signal.lfilter(num_bl.flatten(), den_bl.flatten(), x)

# Plot
plt.figure(figsize=(10,6))
plt.plot(n*T, x, 'k', label='Input sin')
plt.plot(n*T, y_fd, label='Forward diff')
plt.plot(n*T, y_bd, label='Backward diff')
plt.plot(n*T, y_bl, label='Bilinear')
plt.xlabel("Time [s]")
plt.ylabel("Amplitude")
plt.title("Digital Filters with Different Discretization Methods")
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

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まとめ

• 前進差分：安定性に弱いが簡単
• 後退差分：安定性に強い
• 双一次変換：周波数応答の歪みを補正でき、実用的
• サンプルホールド：ZOH により sinc 特性がかかる → 高周波で信号劣化

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