統合レスポンスなんか選択できないんだけど！！！

はい。大変困りました。統合レスポンスが無いとエラーコードを正規表現で仕分けできません。
原因はLambda プロキシ統合の使用です。

原因がわかれば、一端それを切って見ましょう。
切りました
(望んでいないステータスで)エラーでました

戻しましょう。
プロキシ統合がなんか頑張ってくれてたおかげて私のAPIはエラー以外上手く言ってた事がわかりました。できればそのままにしたいです。

そもそもLambda側でエラーの出し方が間違ってるのでは?

Amazon API Gatewayで適切なHTTPステータスコードを返す方法や[AWS] Lambda + API Gatewayでサーバレスを始める２、さらにはAPI Gateway で Lambda エラーを処理する(公式ドキュメント)を見た結果,

index.js(lambda/nodejs/抜粋)

exports.handler = function(event, context, callback) {
    (略)
    callback(new Error(エラー文"));
};

みたいな事にするとエラーが作られるとの事。さっそく試してみましょう。

だめでした。また、このエラーで一緒に出ることを望んでいたエラー文も出ていません。

解決

index.js(lambda/nodejs)

(略)
let response = {
        statusCode: 400,
        headers: {"Access-Control-Allow-Origin" : "*"},
        body:"エラー文",
    };
}
callback(null,response);

シンプルにこれでOKでした。

ちゃんと400で返ってきてます。

エラーもプロキシ統合がなんか上手いことやってくれてるんでしょうね。便利！