本内容を利用した場合の一切の責任を私は負いません。

バージョン

node.js
node-v10.16.0-win-x64
twitterモジュール
twitter-node-client@0.0.6
Visual Studio Code(以降、VSC)
VSCode-win32-x64-1.38.1

レスポンスはUTF-8のようだが、何故か正常に認識しない。
(ファイルに出力してVSCで見た時に文字コードで表示される。)
対処は簡単で、JSONのパースと文字列化を再試行する。
レスポンスは文字列なので、それをパースし、また文字列化するということ。

具体的には下記。

    let tmp;
    fs.writeFileSync("result0.json", ret.detail[0]);
    tmp = JSON.parse(ret.detail[0]);
    let tmp2;
    tmp2 = JSON.stringify(tmp);
    fs.writeFileSync("result1.json", tmp2);

    twitterUrl = Client.baseUrl + "/search/tweets.json" + tmp.search_metadata.next_results;
    ret = await syncDoRequest(twitterUrl);
    tmp = JSON.parse(ret.detail[0]);
    tmp2 = JSON.stringify(tmp);
    fs.writeFileSync("result2.json", tmp2);

ret.detail[0]の中にレスポンスのJSON文字列が入っている。
result0.jsonと再試行したresult2.jsonは論理的には同じはずだが、実際に後者は文字化けが解消されている。