ターゲットブラウザ

Edgeは２種類ありますが、今回動かしたのはレガシー版のEdgeHTMLです。
新Microsoft Edge登場、レガシー版とChromium版の見分け方は？ | マイナビニュース

動いた方法

①MicrosoftWebDriver.exeをインストールします

WebDriver - Microsoft Edge Developerを参考に、コマンドプロンプトを管理者権限で開き、以下のコマンドを実行します。

DISM.exe /Online /Add-Capability /CapabilityName:Microsoft.WebDriver~~~~0.0.1.0

インストールが完了すると「C:\Windows\System32\MicrosoftWebDriver.exe」に実行ファイルが作成されます。

②selenium-standaloneの引数にMicrosoftWebDriver.exeを指定します

フルのサンプルコードはこちらです。
https://github.com/proyuki02/webdriverio-edgehtml-example

edge.wdio.conf.ts

import { Config } from "webdriverio";
import { config as defaultConfig } from "./default.wdio.conf";

const drivers = {
  MicrosoftEdge: {
    binary: "C:\\Windows\\System32\\MicrosoftWebDriver.exe",
  },
};

const config: Config = {
  ...defaultConfig,

  capabilities: [
    {
      maxInstances: 1,
      browserName: "MicrosoftEdge",
    },
  ],
  services: [
    [
      "selenium-standalone",
      {
        installArgs: { drivers },
        args: { drivers },
      },
    ],
  ],
};

export { config };

proxyを通す方法

テスト実行前にEdgeを開いてproxyを設定しておけば、それが使用されます。

ちなみに、capabilitiesにproxyを設定しても、WebDriverがサポートしてないのでダメっぽいです。
WebDriver (EdgeHTML) - Microsoft Edge Development | Microsoft Docs