さくらレンタルサーバーでビジネスプランを契約していたのですが、利用状況に見合っていなかったのでスタンダードプランに変更しました。
WordPressサイトのためか若干面倒だったので手順を残しておきます。

参考にしたサイト

公式が出している手順
https://help.sakura.ad.jp/206209321/
WordPress向けというわけではないのでこれだけだとつまづきます
WordPressをドメイン変更なしで、新サーバーに移転した手順の覚え書き
https://coliss.com/articles/blog/wordpress/how-to-wordpress-server-migration.html

さくらレンタルサーバーで変更したいプランを新規契約

旧サーバーのWordPressサイトのデータをバックアップ

全てのデータをFTPでローカルに落としておくと安心です。

旧サーバーのデータベース（phpMyAdmin）をエクスポート

さくらレンタルサーバーのコントロールパネルからデータベースにログイン
以下の項目にチェックを入れておくと良さそうですが、他のサイトを参照した方が良いかもしれません。

DROP TABLE / VIEW / PROCEDURE / FUNCTION / EVENT を追加
AUTO_INCREMENT 値を追加する
完全な INSERT 文を作成する
長い INSERT 文を作成する

新サーバーのデータベースにインポート

サイズが小さい場合
新サーバーのphpMyAdminにログインし、インポート
サイズが大きくインポートに失敗する場合
sshで新サーバーに接続
ssh <ユーザー名@ユーザー名.sakura.ne.jp>
MySQLを起動
mysql -u <ユーザー名> -h <データベースアドレス> -p
データベースを選択
use <データベース名>
インポートする
source <エクスポートしたsqlファイルのパス>

新サーバーでWordPressをインストール

WordPressのインストールの際にはインポートしたデータベース情報を反映する

バックアップしたWordPressデータをそのままFTPでアップロードしたいところですが、バックアップデータをアップロードしてしまうと旧サーバーと新サーバーのMySQL等のバージョン違い？により正常に読み込みができなくなってしまいます。
※原因はよく分かりません。。

新サーバーにバックアップしておいた旧サーバーのデータをアップロードする

アップロードするデータ

使用しているテーマ（ themes/<テーマ名> ）
プラグイン（ plugins ）
uploads

wp-config.php にデータベースの情報が正しく反映されているかを確認しておく。

ドメイン設定をする前に表示確認をしておく

ここはあまり自信がないのですが、初期ドメインにアクセスすると転送されてドメインが変わり旧サーバーが表示されてしまいます。
新サーバーのphpMyAdminにログイン
↓
テーブルを選択
↓
<接頭辞>options をクリック
↓
siteurl の編集をクリック
↓
https://<ドメイン名>/
を以下のように変更する
https://<新サーバーの初期ドメイン>/
↓
home も同じようにドメイン名を初期ドメインに変更する

ブラウザで初期ドメインにアクセスし、正しく表示されていれば siteurl と home は元に戻しておく。

メールアドレスの移動～ドメインの移動

冒頭の公式が出している手順を参考に反映する。
SSLを設定している場合は、ドメインを削除する前に先にSSLの設定を削除する必要があります。

旧サーバーのドメインを削除するとすぐにドメインからアクセスができなくなります。
公式が出している手順には念押しで、ドメインの再設定は2時間後に行うように記載してあります。

ただ、私のときは30分くらいで旧サーバーとドメインのつながりが切れた（ように思えた）ので、その時点で新サーバーにドメインの再設定をしました。
記憶が定かではないですが、削除した直後にドメインにアクセスをするとさくらインターネットの初期画面になり、20分後くらい再度見たときには契約しているドメインの初期画面に変わっていました。
新サーバーでのドメイン再設定後は更に20分くらいで新サーバーにもドメインが反映されました。
SSLはLet's Encrypt!を使用しているのですが、めちゃくちゃ時間がかかり結局4時間後に反映されました。

アナリティクスを確認しても、一時サイトにはアクセスができない状態がありましたが影響は出ていませんでした。