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最適化アルゴリズムを実装していくぞ(ハーモニーサーチ)

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はじめに

最適化アルゴリズムの実装シリーズです。
まずは概要を見てください。

コードはgithubにあります。

ハーモニーサーチ

概要

ハーモニーサーチ(Harmony Search)は音楽家が即興演奏する際の思考に着目して作られたアルゴリズムです。
音楽家は以下の考えの元フレーズを決めていると考えます。

  • 使用頻度の高いフレーズをそのまま奏でる
  • 使用頻度の高いフレーズを調整して奏でる
  • 新しいフレーズを作成して奏でる

参考
進化計算アルゴリズム入門 生物の行動科学から導く最適解

アルゴリズム

  • アルゴリズムのフロー

draw2-Harmony.png

draw2-Harmony2.png

  • 用語の対応
問題 ハーモニーサーチ
入力の1要素 和音(フレーズ)
問題への入力 ハーモニー
評価値 ハーモニーの評価値
  • ハイパーパラメータに関して
変数名 意味 備考
bandwidth バンド幅 和音を調整する際の調整率
select_rate 新しい和音を生成する確率
change_rate 和音を調整する確率

和音の複製

そのまま対象の和音を使います。

x^{new}_i = x^r_i

和音を調整して使用

以下の式で調整します。

$$ x^{new}_i = x^r_i + B \times rand[-1,1]$$

$B$ はバンド幅で、ユーザが指定する変数です。

バンド幅の改良

本記事オリジナルです。

上記式ですが、$B$ の値は問題の1要素の下限上限値にかなり依存しています。
そこで $B$ を直接使用するのではなく、割合で指定する方法をとりました。

$$ B' = B * (Prob_{max} - Prob_{min})$$

コード全体

import math
import random

class Harmony():
    def __init__(self, 
        harmony_max,
        bandwidth=0.1,
        enable_bandwidth_rate=False,  # bandwidthを割合にするか、値にするか
        select_rate=0.8,
        change_rate=0.3,
    ):
        self.harmony_max = harmony_max
        self.bandwidth = bandwidth
        self.enable_bandwidth_rate = enable_bandwidth_rate
        self.select_rate = select_rate
        self.change_rate = change_rate

    def init(self, problem):
        self.problem = problem

        self.harmonys = []
        for _ in range(self.harmony_max):
            self.harmonys.append(problem.create())


    def step(self):

        # 新しいharmonyを作成
        arr = []
        for i in range(self.problem.size):
            
            if random.random() < self.select_rate:
                # 新しく和音を生成
                arr.append(self.problem.randomVal())
                continue

            # harmonyを1つ選択
            h_arr = self.harmonys[random.randint(0, self.harmony_max-1)].getArray()

            if random.random() < self.change_rate:
                # 和音を変更
                if self.enable_bandwidth_rate:
                    # 割合で bandwidth を指定
                    bandwidth = self.bandwidth * (self.problem.MAX_VAL - self.problem.MIN_VAL)
                else:
                    bandwidth = self.bandwidth
                n = h_arr[i] + bandwidth * (random.random()*2-1)
                arr.append(n)
            else:
                # 和音を複製
                arr.append(h_arr[i])

        harmony = self.problem.create(arr)

        # 新しいharmonyが最悪のharmonyより評価が高ければ置き換え
        self.harmonys.sort(key=lambda x: x.getScore())
        if self.harmonys[0].getScore() < harmony.getScore():
            self.harmonys[0] = harmony

ハイパーパラメータ例

各問題に対して optuna でハイパーパラメータを最適化した結果です。
最適化の1回の試行は、探索時間を5秒間として結果を出しています。
これを100回実行し、最適なハイパーパラメータを optuna に探してもらいました。

問題 bandwidth change_rate enable_bandwidth_rate harmony_max select_rate
EightQueen 0.199731235367978 0.007945406417271816 False 8 0.05285166540946163
function_Ackley 0.6478593586012942 0.37819472248801433 False 24 0.0045960067336094125
function_Griewank 0.957845478793464 0.6531645473958932 False 19 0.0065542485084037
function_Michalewicz 0.3020087834816175 0.0063312721531867296 False 8 0.009704544614251957
function_Rastrigin 0.9244843154507476 0.003091269983721383 False 19 0.005363972453695971
function_Schwefel 0.6525179901987925 0.6847228820427808 False 24 0.017390991518258108
function_StyblinskiTang 0.012259017079907453 0.005592287367206683 True 5 0.010574637751612243
function_XinSheYang 0.021452540527582796 0.5116052912533812 False 43 0.000560227904147548
g2048 0.5208515497767559 0.9192443470308422 False 6 0.025020522147974456
LifeGame 0.12412374231584394 0.3047344866221531 True 15 0.3351269586087304
OneMax 0.6404754184189828 0.11674742823674397 True 3 0.21323358379499358
TSP 0.9991577906059103 0.026545669987045384 False 35 0.026355483052867487

実際の動きの可視化

1次元は6個体、2次元は20個体で50step実行した結果です。
赤い丸がそのstepでの最高スコアを持っている個体となります。

パラメータは以下で実行しました。

Harmony(N, bandwidth=1.0, enable_bandwidth_rate=True, select_rate=0.4, change_rate=0.9)

function_Ackley

  • 1次元

function_Ackley_Harmony_2.gif

  • 2次元

function_Ackley_Harmony_3.gif

function_Rastrigin

  • 1次元

ffunction_Rastrigin_Harmony_2.gif

  • 2次元

function_Rastrigin_Harmony_3.gif

function_Schwefel

  • 1次元

function_Schwefel_Harmony_2.gif

  • 2次元

function_Schwefel_Harmony_3.gif

function_StyblinskiTang

  • 1次元

function_StyblinskiTang_Harmony_2.gif

  • 2次元

function_StyblinskiTang_Harmony_3.gif

function_XinSheYang

  • 1次元

function_XinSheYang_Harmony_2.gif

  • 2次元

function_XinSheYang_Harmony_3.gif

あとがき

評価値が一番低い個体を置き換えるというのは他のアルゴリズムにない特徴です。
画像で学習が遅く見えるのは1stepで1個体しか評価していないからですね。
(カッコウ探索も似ており、1step≒1個体評価です)

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