（この記事は「量子コンピュータ Advent Calendar 2018」の24日目です）
Merry Xmas！ 
fukuoka.exのpiacereです
ご覧いただいて、ありがとうございます 
いつもこの時期は、なんかワクワクして、筆と口が滑りやすいAdvent Calendar終盤ですが、今回は、ElixirによるTDD（Test Driven Development）で、量子コンピュータシミュレータを作ってみます
実は、約1年前に、量子コンピュータシミュレータの先行実装である「quantex」をリリース済で、量子コンピュータ関連の登壇でぶっ込んでたので、それを見てElixirやそのdoctestに興味を持つ方もチラホラいたのですが、量子コンピュータネタをコラムとして書くのは、実は初めてです
先行実装時は、複素数を扱えなかったので、今回、複素数を使うYゲートを追加してみました
最終的に、ここで作るシミュレータを使って、このアルゴリズムを作ってみたいと思います
量子コンピュータとは？
このコラムは、量子コンピュータと各種ゲートについての基礎知識を持っている方向けに、Elixirでの実装手順について解説しようと思いますので、量子コンピュータをよくご存知で無い方は、以下資料をご覧ください
ちなみに、上2つのスライドは、@YuichiroMinato さんと、福岡で共同開催した勉強会の登壇スライドです
プログラマのための量子コンピュータ入門 by @bond_kaneko さん
「分かりそう」で「分からない」でも「分かった」気になれる量子アニーリング
量子コンピュータと量子ゲートと私 by @eccyan さん
Quantum Katas で始める量子コンピュータ入門 |0⟩ by @stwhabout さん
シミュレータと実機の違いについて
IBM Qで、「量子コンピュータシミュレータ」と「実際の量子コンピュータ」を使い分ける下記コラムが、その違いを、とても分かりやすく解説しています
IBM Quantum Computing で計算してみよう
https://www.ibm.com/developerworks/jp/cloud/library/cl-quantum-computing/index.html
Elixirでシミュレータを作るための必須装備
実際にPJを作りながら説明します
こちらのチュートリアルを参考に、予めElixirはインストールしておいてください
適当なフォルダ配下で、Elixir PJを作成します
mix new q
cd q
mix.exsのdepsに、必要なライブラリをリストします
defmodule Q.Mixfile do
…
defp deps do
[
{ :mix_test_watch, "~> 0.9", only: :dev, runtime: false },
{ :math, "~> 0.3" },
{ :complex_num, "~> 1.1" },
{ :numexy, "~> 0.1" },
{ :ex_doc, "~> 0.19", only: :dev, runtime: false },
{ :earmark, "~> 1.3" },
]
end
…
以下でライブラリ取得します
mix deps.get
mix test.watchは、私のElixirズンドコキヨシでも解説している通り、ElixirでTDDをやるためには必須と言って良いくらいの、ファイル更新を補足して、テストを自動実行する、mixのプラグインです
Mathは、様々な数学関数を用意したライブラリです
ComplexNumは、Elixirで複素数を扱うためのライブラリです
Numexyは、ElixirでPythonの「NumPy」ライクな行列演算を行うためのライブラリで、fukuoka.exキャストの @yujikawa さんが開発しています
ExDocとEarmarkは、Elixirズンドコキヨシで解説している通り、関数リファレンスをWebページ生成し、HexおよびHexDocに公開するのに使われます
ElixirでTDDするなら「mix test.watch」を起動
ElixirでTDDをするなら、なにはともあれ、mix test.watchを起動します
mix test.watch
これだけで、ファイル更新するたびに、テストが自動実行されるようになります
なお、PJのデフォルトモジュールである「Q」に対するテストが、以下ファイルに既に書かれていますが、hello関数は不要なので、下記の通り、コメントアウトするか、削除してください
defmodule QTest do
use ExUnit.Case
doctest Q
# test "greets the world" do
# assert Q.hello() == :world
# end
end
さぁ、これで常に自動テストが走る状態になり、いつでもTDD可能になりました
量子コンピュータシミュレータを実装する
それでは早速、TDDしながら、実装していきます
量子ビットを実装する
量子ビット$|\psi⟩$ は、$|0⟩$ と $|1⟩$ の重ね合わせで表現されます
|\psi\rangle = \alpha | 0 \rangle + \beta | 1 \rangle
そして、ベクトルで記述可能です
\begin{aligned}
| 0 \rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
\\
| 1 \rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
\end{aligned}
$|0⟩$ を「q0」、$|1⟩$ を「q1」として実装します…が、このレベルからTDDしていくので、doctestは正しい呼出をし、関数内実装はダミー実装（≒空文字返却）します
行列は、Elixirのリストで表現するため、$|0⟩$ は [ 1, 0 ]、$|1⟩$ は [ 0, 1 ] とします
defmodule Q do
@doc """
|0> qubit = ( 1, 0 )
## Examples
iex> Q.q0
[ 1, 0 ]
"""
def q0(), do: ""
@doc """
|1> qubit = ( 0, 1 )
## Examples
iex> Q.q1
[ 0, 1 ]
"""
def q1(), do: ""
end
当然、mix test.watchは、テスト失敗を返します（Redパターン）
Running tests...
Compiling 1 file (.ex)
1) doctest Q.q0/0 (1) (QDocTest)
test/q_doc_test.exs:3
Doctest failed
code: Q.q0 === [ 1, 0 ]
left: ""
right: [1, 0]
stacktrace:
lib/q.ex:10: Q (module)
2) doctest Q.q1/0 (2) (QDocTest)
test/q_doc_test.exs:3
Doctest failed
code: Q.q1 === [ 0, 1 ]
left: ""
right: [0, 1]
stacktrace:
lib/q.ex:19: Q (module)
.
Finished in 0.1 seconds
2 doctests, 1 test, 2 failures
関数内を正しく実装しましょう
defmodule Q do
@doc """
|0> qubit = ( 1, 0 )
## Examples
iex> Q.q0
[ 1, 0 ]
"""
def q0(), do: [ 1, 0 ]
@doc """
|1> qubit = ( 0, 1 )
## Examples
iex> Q.q1
[ 0, 1 ]
"""
def q1(), do: [ 0, 1 ]
end
テスト成功しました（Greenパターン）
Running tests...
Compiling 1 file (.ex)
...
Finished in 0.1 seconds
2 doctests, 1 test, 0 failures
量子ビットは、これ以上、行うことが無いため、Refactoringパターンは存在しません
Xゲートを実装する
Xゲートの定義は以下の通りです
X=
\begin{bmatrix}
0 & 1
\\
1 & 0
\end{bmatrix}
$|0⟩$ と $|1⟩$ を入れ替える動作を持つため、NOTゲートとも呼ばれます
\begin{align}
X \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}
\\
X \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}
\end{align}
それでは、ElixirでTDDしていきましょう
…
@doc """
X gate.
## Examples
iex> Q.x( Q.q0 )
[ 0, 1 ]
iex> Q.x( Q.q1 )
[ 1, 0 ]
"""
def x( qubit ), do: ""
…
もちろん、テスト失敗します
Running tests...
Compiling 1 file (.ex)
warning: variable "qubit" is unused
lib/q.ex:33
1) doctest Q.x/1 (3) (QDocTest)
test/q_doc_test.exs:3
Doctest failed
code: Q.x( Q.q0 ) === [ 0, 1 ]
left: ""
right: [0, 1]
stacktrace:
lib/q.ex:28: Q (module)
..
Finished in 0.1 seconds
3 doctests, 1 test, 1 failure
テスト成功する、最低限の実装は、どうなるでしょう？
…
@doc """
X gate.
## Examples
iex> Q.x( Q.q0 )
[ 0, 1 ]
iex> Q.x( Q.q1 )
[ 1, 0 ]
"""
def x( [ 1, 0 ] ), do: [ 0, 1 ]
def x( [ 0, 1 ] ), do: [ 1, 0 ]
…
ナント、こんなショボい実装でも、テストは通ります
「X行列の内積、取って無いジャン」って言われちゃいますが、上記の期待値を叶えるだけであれば、これで充分なのです
なお、地味にElixirのパターンマッチを活用しており、スマートな実装になっていることが確認できます
Zゲートを実装する
Zゲートの定義は以下の通りです
Z =
\begin{bmatrix}
1 & 0
\\
0 & -1
\end{bmatrix}
$|0⟩$ は変化させず、$|1⟩$ は、$|-1⟩$ に変換します
\begin{align}
Z \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
\\
Z \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}
\end{align}
それでは、ElixirでTDDしていきましょう
…
@doc """
Z gate.
## Examples
iex> Q.z( Q.q0 )
[ 1, 0 ]
iex> Q.z( Q.q1 )
[ 0, -1 ]
"""
def z( qubit ), do: ""
…
今回も、テスト失敗します（失敗ログは省略します）ので、テスト成功する、最低限の実装をします
…
@doc """
Z gate.
## Examples
iex> Q.z( Q.q0 )
[ 1, 0 ]
iex> Q.z( Q.q1 )
[ 0, -1 ]
"""
def z( [ 1, 0 ] ), do: [ 1, 0 ]
def z( [ 0, 1 ] ), do: [ 0, -1 ]
…
Z行列も内積は取らず、Elixirのパターンマッチで最低限の実装をしています
Zゲートにより、返却パターンが1つ増えた…
Zゲートが返却する、[ 0, -1 ]により、Xゲートが返さなければならないパターンが1つ、増えました
しかし、Xゲートは対応していないため、エラーとなります
iex> Q.z( Q.q1 ) |> Q.x
** (FunctionClauseError) no function clause matching in Q.x/1
The following arguments were given to Q.x/1:
# 1
[0, -1]
Attempted function clauses (showing 2 out of 2):
def x(-[1, 0]-)
def x(-[0, 1]-)
(quantex) lib/q.ex:33: Q.x/1
まず、Xゲートのテストを2件、追加します
…
@doc """
X gate.
## Examples
iex> Q.x( Q.q0 )
[ 0, 1 ]
iex> Q.x( Q.q1 )
[ 1, 0 ]
iex> Q.z( Q.q1 ) |> Q.x
[ -1, 0 ]
iex> Q.z( Q.q1 ) |> Q.x |> Q.x
[ 0, -1 ]
"""
def x( [ 1, 0 ] ), do: [ 0, 1 ]
def x( [ 0, 1 ] ), do: [ 1, 0 ]
…
テストは当然、失敗しますが、次に、Xゲートをリファクタリングします
…
@doc """
X gate.
## Examples
iex> Q.x( Q.q0 )
[ 0, 1 ]
iex> Q.x( Q.q1 )
[ 1, 0 ]
iex> Q.z( Q.q1 ) |> Q.x
[ -1, 0 ]
iex> Q.z( Q.q1 ) |> Q.x |> Q.x
[ 0, -1 ]
"""
def x( [ 1, 0 ] ), do: [ 0, 1 ]
def x( [ 0, 1 ] ), do: [ 1, 0 ]
def x( [ 0, -1 ] ), do: [ -1, 0 ]
def x( [ -1, 0 ] ), do: [ 0, -1 ]
…
テスト成功します
Hゲートを実装する
Hゲートの定義は以下の通りです
H =
\dfrac{1}{\sqrt{2}}
\begin{bmatrix}
1 & 1
\\
1 & -1
\end{bmatrix}
以下のような変換を行います
\begin{align}
H \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
\\
H \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}
\end{align}
それでは、ElixirでTDDしていきましょう
…
@doc """
Hadamard gate.
## Examples
iex> Q.h( Q.q0 )
[ 1 / Math.sqrt( 2 ) * 1, 1 / Math.sqrt( 2 ) * 1 ]
iex> Q.h( Q.q1 )
[ 1 / Math.sqrt( 2 ) * 1, 1 / Math.sqrt( 2 ) * -1 ]
"""
def h( qubit ), do: ""
…
テスト失敗しますので、テスト成功する、最低限の実装をします
…
@doc """
Hadamard gate.
## Examples
iex> Q.h( Q.q0 )
[ 1 / Math.sqrt( 2 ) * 1, 1 / Math.sqrt( 2 ) * 1 ]
iex> Q.h( Q.q1 )
[ 1 / Math.sqrt( 2 ) * 1, 1 / Math.sqrt( 2 ) * -1 ]
"""
def h( [ 1, 0 ] ), do: [ 1 / Math.sqrt( 2 ) * 1, 1 / Math.sqrt( 2 ) * 1 ]
def h( [ 0, 1 ] ), do: [ 1 / Math.sqrt( 2 ) * 1, 1 / Math.sqrt( 2 ) * -1 ]
…
Hゲートにより、返却パターンが色々増えた…
Hゲートの返却により、XゲートやZゲートが返さなければならないパターンが、色々増えました（当然、対応していないためエラーとなります）
テストを追加していきます
…
@doc """
X gate.
## Examples
iex> Q.x( Q.q0 )
[ 0, 1 ]
iex> Q.x( Q.q1 )
[ 1, 0 ]
iex> Q.z( Q.q1 ) |> Q.x
[ -1, 0 ]
iex> Q.z( Q.q1 ) |> Q.x |> Q.x
[ 0, -1 ]
iex> Q.h( Q.q0() ) |> Q.x
[ 1 / Math.sqrt( 2 ) * 1, 1 / Math.sqrt( 2 ) * 1 ]
iex> Q.h( Q.q1 ) |> Q.x
[ 1 / Math.sqrt( 2 ) * -1, 1 / Math.sqrt( 2 ) * 1 ]
"""
def x( [ 1, 0 ] ), do: [ 0, 1 ]
def x( [ 0, 1 ] ), do: [ 1, 0 ]
def x( [ 0, -1 ] ), do: [ -1, 0 ]
def x( [ -1, 0 ] ), do: [ 0, -1 ]
@doc """
Z gate.
## Examples
iex> Q.z( Q.q0 )
[ 1, 0 ]
iex> Q.z( Q.q1 )
[ 0, -1 ]
iex> ( Q.h( Q.q0 ) |> Q.z ).array
[ 1 / Math.sqrt( 2 ) * 1, 1 / Math.sqrt( 2 ) * -1 ]
iex> ( Q.h( Q.q1 ) |> Q.z ).array
[ 1 / Math.sqrt( 2 ) * 1, 1 / Math.sqrt( 2 ) * 1 ]
"""
def z( [ 1, 0 ] ), do: [ 1, 0 ]
def z( [ 0, 1 ] ), do: [ 0, -1 ]
…
そろそろ、しんどくなってきたので、ロジックに行列演算を導入していきましょう
…
def x( qbit ), do: Numexy.dot( x_matrix(), qbit )
def x_matrix(), do: Numexy.new( [ [ 0, 1 ], [ 1, 0 ] ] )
…
def z( qbit ), do: Numexy.dot( z_matrix(), qbit )
def z_matrix(), do: Numexy.new( [ [ 1, 0 ], [ 0, -1 ] ] )
…
def h( qbit ), do: Numexy.dot( h_matrix(), qbit )
def h_matrix(), do: 1 / Math.sqrt( 2 ) |> Numexy.mul( Numexy.new( [ [ 1, 1 ], [ 1, -1 ] ] ) )
…
これらを実装した全体は、こんな感じになります
テストは、末尾に.arrayを付けた以外、変更はありません
defmodule Q do
@doc """
|0> qubit = ( 1, 0 )
## Examples
iex> Q.q0.array
[ 1, 0 ]
"""
def q0, do: Numexy.new( [ 1, 0 ] )
@doc """
|1> qubit = ( 0, 1 )
## Examples
iex> Q.q1.array
[ 0, 1 ]
"""
def q1, do: Numexy.new( [ 0, 1 ] )
@doc """
X gate.
## Examples
iex> Q.x( Q.q0 ).array
[ 0, 1 ]
iex> Q.x( Q.q1 ).array
[ 1, 0 ]
iex> ( Q.z( Q.q1 ) |> Q.x ).array
[ -1, 0 ]
iex> ( Q.z( Q.q1 ) |> Q.x |> Q.x ).array
[ 0, -1 ]
iex> ( Q.h( Q.q0 ) |> Q.x ).array
[ 1 / Math.sqrt( 2 ) * 1, 1 / Math.sqrt( 2 ) * 1 ]
iex> ( Q.h( Q.q1 ) |> Q.x ).array
[ 1 / Math.sqrt( 2 ) * -1, 1 / Math.sqrt( 2 ) * 1 ]
"""
def x( qbit ), do: Numexy.dot( x_matrix(), qbit )
def x_matrix(), do: Numexy.new( [ [ 0, 1 ], [ 1, 0 ] ] )
@doc """
Z gate.
## Examples
iex> Q.z( Q.q0 ).array
[ 1, 0 ]
iex> Q.z( Q.q1 ).array
[ 0, -1 ]
iex> ( Q.h( Q.q0 ) |> Q.z ).array
[ 1 / Math.sqrt( 2 ) * 1, 1 / Math.sqrt( 2 ) * -1 ]
iex> ( Q.h( Q.q1 ) |> Q.z ).array
[ 1 / Math.sqrt( 2 ) * 1, 1 / Math.sqrt( 2 ) * 1 ]
"""
def z( qbit ), do: Numexy.dot( z_matrix(), qbit )
def z_matrix(), do: Numexy.new( [ [ 1, 0 ], [ 0, -1 ] ] )
@doc """
Hadamard gate.
## Examples
iex> Q.h( Q.q0 ).array
[ 1 / Math.sqrt( 2 ) * 1, 1 / Math.sqrt( 2 ) * 1 ]
iex> Q.h( Q.q1 ).array
[ 1 / Math.sqrt( 2 ) * 1, 1 / Math.sqrt( 2 ) * -1 ]
"""
def h( qbit ), do: Numexy.dot( h_matrix(), qbit )
def h_matrix(), do: 1 / Math.sqrt( 2 ) |> Numexy.mul( Numexy.new( [ [ 1, 1 ], [ 1, -1 ] ] ) )
end
テスト結果は、全てのテストが成功しました
Hゲートを2回、適用した場合のテストを追加
Hゲートを2回、適用すると、元の行列に戻るため、これをテスト追加します
…
@doc """
Hadamard gate.
## Examples
iex> Q.h( Q.q0 ).array
[ 1 / Math.sqrt( 2 ) * 1, 1 / Math.sqrt( 2 ) * 1 ]
iex> Q.h( Q.q1 ).array
[ 1 / Math.sqrt( 2 ) * 1, 1 / Math.sqrt( 2 ) * -1 ]
iex> ( Q.h( Q.q0 ) |> Q.h ).array
[ 1, 0 ]
iex> ( Q.h( Q.q1 ) |> Q.h ).array
[ 0, 1 ]
"""
def h( qbit ), do: Numexy.dot( h_matrix(), qbit )
def h_matrix(), do: 1 / Math.sqrt( 2 ) |> Numexy.mul( Numexy.new( [ [ 1, 1 ], [ 1, -1 ] ] ) )
…
すると、テスト失敗しました
Running tests...
Compiling 1 file (.ex)
1) doctest Q.h/1 (2) (QDocTest)
test/q_doc_test.exs:3
Doctest failed
code: ( Q.h( Q.q0 ) |> Q.h ).array === [ 1, 0 ]
left: [0.9999999999999998, 0.0]
right: [1, 0]
stacktrace:
lib/q.ex:72: Q (module)
.........
Finished in 0.1 seconds
9 doctests, 1 test, 1 failure
中身を見てみると、値が近似していますが、微妙にズレています
これを補正するために、以下の修正を追加します
…
@doc """
Hadamard gate.
## Examples
iex> Q.h( Q.q0 ).array
[ 1 / Math.sqrt( 2 ) * 1, 1 / Math.sqrt( 2 ) * 1 ]
iex> Q.h( Q.q1 ).array
[ 1 / Math.sqrt( 2 ) * 1, 1 / Math.sqrt( 2 ) * -1 ]
iex> ( Q.h( Q.q0 ) |> Q.h ).array
[ 1, 0 ]
iex> ( Q.h( Q.q1 ) |> Q.h ).array
[ 0, 1 ]
"""
def h( qbit ), do: Numexy.dot( h_matrix(), qbit ) |> to_bit
def h_matrix(), do: 1 / Math.sqrt( 2 ) |> Numexy.mul( Numexy.new( [ [ 1, 1 ], [ 1, -1 ] ] ) )
def to_bit( 0.9999999999999998 ), do: 1
def to_bit( -0.9999999999999998 ), do: -1
def to_bit( 0.0 ), do: 0
def to_bit( value ) when is_list( value ) do
case value |> List.first |> is_list do
true -> value |> Enum.map( &( &1 |> Enum.map( fn n -> to_bit( n ) end ) ) )
false -> value |> Enum.map( &( to_bit( &1 ) ) )
end
end
def to_bit( %Array{ array: list, shape: _ } ), do: list |> to_bit |> Numexy.new
def to_bit( others ), do: others
…
これで、微妙なズレも吸収できるようになりました
CNOTゲートを実装する
CNOTゲートの定義は以下の通りです
CNOT =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0
\\
0 & 1 & 0 & 0
\\
0 & 0 & 0 & 1
\\
0 & 0 & 1 & 0
\end{bmatrix}
これまでのゲートは、１つの量子ビットを対象としていましたが、CNOTは、2つの量子ビットを対象として、以下のような変換を行います
第1ビットが1のとき、第2ビットを反転させ、第1ビットが0のときは変化させないゲートです
なお、$\otimes$ はテンソル積を表します
\begin{align}
CNOT | 0 0 \rangle =
CNOT \begin{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
\otimes
\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
\end{pmatrix}
=
CNOT \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} =
| 0 0 \rangle
\end{align}
\begin{align}
CNOT | 0 1 \rangle =
CNOT \begin{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
\otimes
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{pmatrix}
=
CNOT \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} =
| 0 1 \rangle
\end{align}
\begin{align}
CNOT | 1 0 \rangle =
CNOT \begin{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
\otimes
\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
\end{pmatrix}
=
CNOT \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} =
| 1 1 \rangle
\end{align}
\begin{align}
CNOT | 1 1 \rangle =
CNOT \begin{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
\otimes
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{pmatrix}
=
CNOT \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} =
| 1 0 \rangle
\end{align}
それでは、ElixirでTDDしていきましょう
…
@doc """
Controlled NOT gate.
## Examples
iex> Q.cnot( Q.q0, Q.q0 ).array # |00>
[ [ 1, 0 ], [ 0, 0 ] ]
iex> Q.cnot( Q.q0, Q.q1 ).array # |01>
[ [ 0, 1 ], [ 0, 0 ] ]
iex> Q.cnot( Q.q1, Q.q0 ).array # |11>
[ [ 0, 0 ], [ 0, 1 ] ]
iex> Q.cnot( Q.q1, Q.q1 ).array # |10>
[ [ 0, 0 ], [ 1, 0 ] ]
"""
def cnot( qbit1, qbit2 ), do: ""
…
テスト失敗しますので、テスト成功する実装をします
CNOTは、最初から、行列計算で実装していきましょう
…
@doc """
Controlled NOT gate.
## Examples
iex> Q.cnot( Q.q0, Q.q0 ).array # |00>
[ [ 1, 0 ], [ 0, 0 ] ]
iex> Q.cnot( Q.q0, Q.q1 ).array # |01>
[ [ 0, 1 ], [ 0, 0 ] ]
iex> Q.cnot( Q.q1, Q.q0 ).array # |11>
[ [ 0, 0 ], [ 0, 1 ] ]
iex> Q.cnot( Q.q1, Q.q1 ).array # |10>
[ [ 0, 0 ], [ 1, 0 ] ]
"""
def cnot( qbit1, qbit2 ), do: ( Numexy.dot( cnot_matrix(), tensordot( qbit1, qbit2 ) ) ).array |> Numexy.reshape( 2 )
def cnot_matrix() do
Numexy.new(
[
[ 1, 0, 0, 0 ],
[ 0, 1, 0, 0 ],
[ 0, 0, 0, 1 ],
[ 0, 0, 1, 0 ],
]
)
end
def tensordot( %Array{ array: xm, shape: _xm_shape }, %Array{ array: ym, shape: _ym_shape } ) do
xv = List.flatten( xm )
yv = List.flatten( ym )
xv
|> Enum.map( fn x -> yv |> Enum.map( fn y -> x * y end ) end )
|> List.flatten
|> Numexy.new
end
…
テンソル積が、Numexyに実装されていないため、ここでローカル実装しました
Yゲートを実装する
Yゲートの定義は以下の通りです
Xゲートと異なり、複素数が出てきます
Y= \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}
以下のような変換を行います
\begin{align}
Y \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 0 \\ i \end{pmatrix}
\\
Y \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} -i \\ 0 \end{pmatrix}
\end{align}
次に実装ですが、まずComplexNumを使った複素数は、ComplexNum.newの第一引数に実数、第二引数に虚数という構成となります
また、ComplexNum.newで生成された、実数＋虚数は、.realで実数、.imaginaryで虚数が取得できます
iex> a = ComplexNum.new( 1, 2 )
#ComplexNum (Cartesian) <1 + 2·𝑖>
iex> a.real
1
iex> a.a.imaginary
2
また、虚数を2乗すると、ちゃんと実数の-1になります
iex> b = ComplexNum.new( 0, 1 )
#ComplexNum (Cartesian) <1·𝑖>
iex> ComplexNum.mult( b, b )
#ComplexNum (Cartesian) <-1>
さて複素数の説明は、これくらいにして、ElixirでTDDしていきましょう
…
@doc """
Y gate.
## Examples
iex> Q.y( Q.q0 ).array
[ 0, ComplexNum.new( 0, 1 ) ]
iex> Q.y( Q.q1 ).array
[ ComplexNum.new( 0, -1 ), 0 ]
"""
def y( qubit ), do: ""
…
テスト失敗しますので、テスト成功する実装をします
…
@doc """
Y gate.
## Examples
iex> Q.y( Q.q0 ).array
[ 0, ComplexNum.new( 0, 1 ) ]
iex> Q.y( Q.q1 ).array
[ ComplexNum.new( 0, -1 ), 0 ]
"""
def y( qbit ), do: complex_dot( y_matrix(), qbit )
def y_matrix(), do: Numexy.new( [ [ 0, ComplexNum.new( 0, -1 ) ], [ ComplexNum.new( 0, 1 ), 0 ] ] )
def complex_dot( %Array{ array: xm, shape: { xm_row, nil } }, %Array{ array: ym, shape: { ym_row, nil } } ) when xm_row == ym_row do
complex_dot_vector( xm, ym ) |> Numexy.new
end
def complex_dot( %Array{ array: xm, shape: { _, xm_col } }, %Array{ array: ym, shape: { ym_row, nil } } ) when xm_col == ym_row do
( for x <- xm, y <- [ ym ], do: [ x, y ] )
|> Enum.map( fn [ x, y ] -> complex_dot_vector( x, y ) end )
|> Numexy.new
end
def complex_dot_vector( xm, ym ) do
result = Enum.zip( xm, ym )
|> Enum.reduce( 0, fn { a, b }, acc -> complex_mult( a, b ) |> complex_add( acc ) end )
if result == ComplexNum.new( 0, 0 ), do: 0, else: result
end
def complex_mult( a, b ) when is_map( a ) or is_map( b ), do: ComplexNum.mult( a, b )
def complex_mult( a, b ), do: a * b
def complex_add( a, b ) when is_map( a ) or is_map( b ), do: ComplexNum.add( a, b )
def complex_add( a, b ), do: a + b
…
複素数に対応した内積が、Numexyに実装されていないため、ここでローカル実装しました
ComplexNum.multとComplexNum.addが、実数同士の演算に対応していなかったので、これらも関数パターンマッチで切り替わるようラップしました
複素数0+0$i$は、実数0に変換する対応も入れました
更に、Yゲートも2回、適用するテストを追加します（こちらは1発でテスト成功します）
defmodule Q do
…
@doc """
Y gate.
## Examples
iex> Q.y( Q.q0 ).array
[ 0, ComplexNum.new( 0, 1 ) ]
iex> Q.y( Q.q1 ).array
[ ComplexNum.new( 0, -1 ), 0 ]
iex> ( Q.y( Q.q0 ) |> Q.y ).array
[ 1, 0 ]
iex> ( Q.y( Q.q1 ) |> Q.y ).array
[ 0, 1 ]
"""
def y( qbit ), do: complex_dot( y_matrix(), qbit )
…
最終的なテスト結果は、このようになりました
Running tests...
Compiling 1 file (.ex)
..............
Finished in 0.2 seconds
13 doctests, 1 test, 0 failures
下記コマンドで、ここまでのdoctestからリファレンスを生成できます
mix hex.publish
リファレンスは、下記URLとなります
https://hexdocs.pm/quantex/Q.html
量子ゲートを組み合わせる
さて、量子ゲートが一通り揃ったので、ゲートを組み合わせて、何らかのアルゴリズムを作れるようになっています
最もお手軽な、グローバーのアルゴリズムを作ってみましょう
グローバーのアルゴリズムの解説は、一緒にOpenQLを主催する、@kyamaz さんの下記コラムが、分かりやすいです
Grover アルゴリズムについて
https://qiita.com/kyamaz/items/37973effe783197291bc
グローバーのアルゴリズムを作ってみる
Ctrl+Cを2回押して、mix test.watchを終了した後、iexを起動します
iex -S mix
この部分を書きます
CNOTした後の、上の線／下の線だけを取り出せるよう、以下関数を追加します
…
@doc """
Cut qbit.
## Examples
iex> Q.cut( Numexy.new( [ Q.q0.array, Q.q1.array ] ), 0 ).array
[ 1, 0 ]
iex> Q.cut( Numexy.new( [ Q.q0.array, Q.q1.array ] ), 1 ).array
[ 0, 1 ]
"""
def cut( qbit, no ), do: qbit.array |> Enum.at( no ) |> Numexy.new
…
上の線をq0a、下の線をq1aとします
iex> q0a = Q.q0 |> Q.h
iex> q1a = Q.q0 |> Q.h |> Q.h |> Q.cnot( q0a ) |> Q.cut( 1 ) |> Q.h
次に、この部分です
上の線をq0b、下の線をq1bとします
iex> q0b = q0a |> Q.h |> Q.x
iex> q1b = q1a |> Q.h |> Q.x |> Q.h |> Q.cnot( q0b ) |> Q.cut( 1 ) |> Q.h
最後に、この部分です
上の線をq0c、下の線をq1cとします
iex> q0c = q0b |> Q.x |> Q.h
iex> q1c = q1b |> Q.x |> Q.h
終わり
Elixir＋TDDで、非常にシンプルな、量子コンピュータシミュレータを作ってみました
量子コンピュータに慣れていない方からすると、「なんじゃこりゃ？」という感じかも知れませんが、シミュレータの開発が、思ったよりも身近に感じていただけたら幸いです
今回は、実機では存在する「観測」や「量子テレポーテーション」が未実装ですが、確率的回答もシミュレートできるようにしていきたいと思います
そうそう、昨年から、Advent Calendarも設けられていますので、以下も読んでいくと、更にディープな量子コンピュータの世界を楽しめると思います
https://qiita.com/advent-calendar/2018/quantum
https://qiita.com/advent-calendar/2018/quantum2
https://qiita.com/advent-calendar/2017/quantum
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