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LT版> 重力プログラミング入門「第2回：重力波を解析する」　～2nd Edition～

Last updated at 2018-05-20Posted at 2018-01-19

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本スライドは、重力プログラミング入門「第2回：重力波を解析する」の登壇向けスライドです

はじめに

100年間、その存在を確認できなかったのに、2015年9月以降、立て続けに5回も観測された
「重力波」をプログラムで解析してみたいと思います

タイトルが「第2回」となっているのは、2017/9の福岡数学イベントで登壇した、
重力プログラミング入門「第1回：地球の重力下で人工衛星を公転軌道に乗せる」の続編（？）のためです

なお、今回の続編として、「第3回：太陽フレアをディープラーニングで予測する」なんてのもあります

Twitterでは、ハッシュタグ#QuaUnivFukuoka にて、重力や宇宙、数学・物理学関連のネタをつぶやいてますので、フォローいただけたら幸いです

重力波とは？

重力波は、巨大質量の天体（ブラックホール、中性子星など）が運動することで、天体の「時空の歪み」が波として伝わる現象を指します

天体の運動の例として、2つのブラックホールが合体する様でイメージを掴んでください

https://www.youtube.com/watch?v=I_88S8DWbcU

「一般相対性理論」を提唱したアインシュタインが、1916年に重力波を予言した100年後、初観測しました

「重力」＝メカニズム不明の「万有引力」だった頃

重力波の元である「重力」は、紀元前350年頃の古代ギリシャ初期から議論されており、天動説から地動説への変遷と共に、様々なパラダイムが移り変わっていきました

その中でも最もメジャーなのが、ニュートンが1687年にまとめた「万有引力の法則」と、ホイヘンスが発見した「遠心力の公式」で導出される「自転の遠心力」を引いた合力を「重力」とする考え方です（なお、天文学や宇宙開発では、「重力」≒「万有引力」として扱っており、自転による遠心力は省略されるようです）

「万有引力」の数式は、以下の通りです　　　※Qiita数式機能、SymPyより書きやすい

F=G\frac{Mm}{r^2}

（この数式の内容は、第1回重力プログラミング入門のP26で解説しています）

「重力」＝「時空の歪み」であると分かった頃

「万有引力の法則」は、1687年の発見から300年以上、支持されましたが、実はそのメカニズムは証明されないままでした

その後、1916年、アインシュタインにより「一般相対性理論」が発表され、「万有引力」のメカニズムも、ある物体が質量により時空（≒3次元空間に時間を加えた概念）を歪めたことで、もう一方の物体が、歪んだ方向に転がっていく現象であると分かりました

これを数式で表したのが、「重力場の方程式」、別名「アインシュタイン方程式」と呼ばれるものです

G_{μν}=\frac{8πG}{c^4}T_{μν}

数式の各項は以下の通りです

Gμν：「アインシュタイン・テンソル」と呼ばれる、時空の曲がり具合
G：「重力定数」と呼ばれる、重力の大きさを表すもの ※万有引力の法則のGと同じ
c：光の速度
Tμν：「エネルギー・運動量テンソル」と呼ばれる、質量・エネルギーの密度と流れを表すもの

この数式から、「時空の歪み」が「エネルギー場」と釣り合うことが分かります

重力波の正体

重力波とは、重力場の方程式で出てきた、「時空の歪み」が、波として伝わっていく現象であり、イメージにすると、以下のような感じになります

この波の規模は、「10のマイナス21乗」とかなり小さく、これは「地球から太陽の距離で、水素原子1つ分が歪む」程度の微小な変化でしかありません

100年間、重力波を観測できなかったのは、このような微小な変化を捉えるための技術が無かったことが、主な要因だと考えられています

おまけ：ブラックホールの重力と量子力学

「重力」＝「時空の歪み」と説明しましたが、この時空が「量子もつれ」から生まれるという仮説が2015年に計算実証されています（量子テレポーテーションやトンネル効果の元なので、量子コンピュータにも関係深い）

この100年近く、「一般相対性理論」と「量子力学」を統合した理論は、うまく開発できていない一方、赤色巨星や白色矮星、ブラックホールといった恒星が、内部の核融合反応を終え、新たな熱を作り出すのを止め、徐々に冷えてゆくにも関わらず、高いエネルギーを保ち、プラズマ状態を維持できるのかについては、量子力学によって説明できるようになっています（「フェルミ縮退」という状態）

更にこの理論を用いて、恒星の質量が、太陽の1.44倍以上ある場合、重力に負けて潰れてしまい、白色矮星にはならず、ブラックホールや中性子星になるという「チャンドラセカール限界」という閾値も分かり、ブラックホールが発生するメカニズムが、量子力学によって解明されている部分があります

重力波を観測するための技術

この100年でコンピュータと科学技術が発展し、重力波のような微小変化も検出可能となりました

レーザー干渉計

2本のパイプにレーザーを流し、跳ね返りを拾う際、重力波で空間が歪むと到達がずれることで検出します

LIGOレーザー干渉計重力波天文台

重力波による歪みは、前述の通り、とても小さいため、非常に大きなレーザー干渉計装置が必要となります

今回、初めて重力波を検出したのは、LIGO（Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory：レーザー干渉計重力波観測所）と呼ばれる、ワシントン州ハンフォード（アメリカ東海岸側）と、ルイジアナ州リビングストン（アメリカ西海岸側）の2ヵ所にある施設です

パイプ1本の長さが4Kmもある、巨大な観測施設によって、初めて観測可能となった訳です

ワシントン州ハンフォード観測所

ルイジアナ州リビングストン観測所

重力波から分かったこと

LIGOの2つの観測所で、重力波はほぼ同時に観測され、振幅の大きさや波形が、似たような形をしていたため、ノイズでは無く、重力波の影響であることが特定できました

キャッチした波形は、研究チームが予測した、2つのブラックホールが徐々に近づき、近づくにつれて重力波の周期も狭まり、合体する際には大きな振幅と周期の短縮が起こり、合体後は運動が無くなることで振幅も無くなる、という予測通りの観測結果でした（太陽の35倍と29倍の質量を持つブラックホールが合体した、ということまで分かっています）

重力波解析のための開発環境準備

それでは実際に、LIGO観測所で計測されたデータを手元で解析するために開発環境を揃えます

事前準備①：Python 3.xのインストール

Anacondaを使うと、Pythonおよび関連ライブラリのインストールが簡単になります

Anacondaのインストール方法は、AI入門「第3回：数学が苦手でも作って使えるKerasディープラーニング」という別シリーズでも扱っており、こちらのP13～P16をご参考ください

事前準備②：必要ライブラリのインストール

スライドP16の手順で起動したターミナル上で、以下コマンドを入力していきます

pip install numpy
pip install scipy
pip install matplotlib
pip install h5py

各ライブラリは、Pythonで科学計算をする際に、比較的メジャーなライブラリなので、ググれば何者かは調べられます

事前準備③：Jupyter Notebookの起動

「Jupyter Notebook」と呼ぶ、ブラウザ上での開発環境をターミナルから起動できます

mkdir -p 【任意の場所で、任意のフォルダ名】
cd 【上記の場所・フォルダ名】
jupyter notebook

ここでは、「/piacere/code/ligo」というフォルダ名を使います

mkdir -p /piacere/code/ligo
cd /piacere/code/ligo
jupyter notebook

重力波を解析してみる

2ヵ所のLIGO観測所が計測したデータを使い、重力波が予測通りだったのかを、セットアップしたJupyter Notebookにて解析していきます

今回、解析対象とするのは、LIGOでオープンになっているデータのうち、最も最新の2017年1月に観測されたデータ「GW170104」という、地球から最も離れた場所で発生した、3例目の重力波です

LIGOから観測データと解析プログラムを入手する

LIGOが公開しているデータは、解析過程を全て記述したJupyter Notebookおよび解析プログラムのPythonコードがセットになって配布されているため、これを入手します

以下URLを別タブでクリックし、「Download the data on a computer with a python installation」というセクションにあるリンク「LOSC_Event_tutorial.zip」をクリックして、手元にダウンロードしてください

これを、先ほど作成したフォルダ内に展開します（展開後のJupyter Notebookは以下のようになります）

なお、展開した中身のファイルを作成フォルダ直下に置いていない場合、この後Jupyter Notebookで実行する際に、以下のエラーが出ますので、エラーが出た際は、作成フォルダ直下にファイルを展開するようにしてください

AttributeError: module 'readligo' has no attribute 'loaddata'

Jupyter Notebookの起動が、作成フォルダ直下で無い場合も、同じエラーが出るので、その際は、作成フォルダに移動し直して、Jupyter Notebookを起動してください

ちなみに、このエラーの原因は、import時にreadligo.pyが見つからないことが原因で、ターミナルでは以下エラーで判別できるものの、Jupyter Notebookでは、いずれのケースでもimport時では無く、利用時に上記エラーでしか表示されないため、パッと見ではエラー判別できません

import readligo as rl
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
ModuleNotFoundError: No module named 'readligo'

Python 3.xで動かない箇所の修正

展開した解析プログラムは、Python 2.xでの動作を想定したプログラムのため、一部、Python 3.xで以下エラーが発生し、動かないため、修正が必要です

TabError: inconsistent use of tabs and spaces in indentation

「readligo.py」というファイルを開き、412行目に行くと、タブ文字が混入しており、Python 2.xでは無視される一方、Python 3.xではエラーとなるため、半角スペースに書き換えます

測定データの読み込み

「LOSC_Event_tutorial.ipynb」をクリックし、下の方にスクロールしていくと、データ入力が可能な、灰色背景のブロックが出てきますが、こちらが解析プログラムです

今回、「観測した重力波が予測通りか？」のみ確認するため、そこに該当しない解析は省略しますが、早速、変数定義とimportの2ブロックは省略し、その後の観測データ設定読込から解説します

# Read the event properties from a local json file
fnjson = "BBH_events_v3.json"
try:
    events = json.load(open(fnjson,"r"))
except IOError:
    print("Cannot find resource file "+fnjson)
    print("You can download it from https://losc.ligo.org/s/events/"+fnjson)
    print("Quitting.")
    quit()

# did the user select the eventname ?
try: 
    events[eventname]
except:
    print('You must select an eventname that is in '+fnjson+'! Quitting.')
    quit()

「BBH_events_v3.json」には、過去4回分の観測データ設定が入っており、今回の「GW170104」は、以下の通りです

{
  "GW170104":{
      "name":"GW170104",
      "fn_H1"       : "H-H1_LOSC_4_V1-1167559920-32.hdf5",
      "fn_L1"       : "L-L1_LOSC_4_V1-1167559920-32.hdf5",
      "fn_template" : "GW170104_4_template.hdf5",
      "fs"          : 4096,
      "tevent"      : 1167559936.6,
      "utcevent"    : "2017-01-04T10:11:58.60",
      "m1"          : 33.64,
      "m2"          : 24.82,
      "a1"          : -0.236,
      "a2"          : 0.024,
      "approx"      : "lalsim.SEOBNRv2",
      "fband"       : [43.0,800.0],
      "f_min"       : 10.0
  }
}

「GW170104_4_template.hdf5」は、予測波形データが、HDF5フォーマットで格納されており、「H-H1_LOSC_4_V1-1167559920-32.hdf5」「L-L1_LOSC_4_V1-1167559920-32.hdf5」には、それぞれはハンフォード観測所分、リビングストン観測所分のデータが入っています

「fs」はサンプリングレート、「tevent」は発生日時、「fband」はバンドパス周波数帯です

# Extract the parameters for the desired event:
event = events[eventname]
fn_H1 = event['fn_H1']              # File name for H1 data
fn_L1 = event['fn_L1']              # File name for L1 data
fn_template = event['fn_template']  # File name for template waveform
fs = event['fs']                    # Set sampling rate
tevent = event['tevent']            # Set approximate event GPS time
fband = event['fband']              # frequency band for bandpassing signal
print("Reading in parameters for event " + event["name"])
print(event)

ハンフォード観測所のデータと、リビングストン観測所のデータを読み込みます

#----------------------------------------------------------------
# Load LIGO data from a single file.
# FIRST, define the filenames fn_H1 and fn_L1, above.
#----------------------------------------------------------------
try:
    # read in data from H1 and L1, if available:
    strain_H1, time_H1, chan_dict_H1 = rl.loaddata(fn_H1, 'H1')
    strain_L1, time_L1, chan_dict_L1 = rl.loaddata(fn_L1, 'L1')
except:
    print("Cannot find data files!")
    print("You can download them from https://losc.ligo.org/s/events/"+eventname)
    print("Quitting.")
    quit()

各データの件数、最小、平均、最大を表示します

# both H1 and L1 will have the same time vector, so:
time = time_H1
# the time sample interval (uniformly sampled!)
dt = time[1] - time[0]

# Let's look at the data and print out some stuff:

print('time_H1: len, min, mean, max = ', \
    len(time_H1), time_H1.min(), time_H1.mean(), time_H1.max() )
print('strain_H1: len, min, mean, max = ', \
    len(strain_H1), strain_H1.min(),strain_H1.mean(),strain_H1.max())
print( 'strain_L1: len, min, mean, max = ', \
    len(strain_L1), strain_L1.min(),strain_L1.mean(),strain_L1.max())

#What's in chan_dict?  (See also https://losc.ligo.org/tutorials/)
bits = chan_dict_H1['DATA']
print("For H1, {0} out of {1} seconds contain usable DATA".format(bits.sum(), len(bits)))
bits = chan_dict_L1['DATA']
print("For L1, {0} out of {1} seconds contain usable DATA".format(bits.sum(), len(bits)))

測定データ（ノイズ入り）のプロット

各データをグラフ表示します

# plot +- deltat seconds around the event:
# index into the strain time series for this time interval:
deltat = 5
indxt = np.where((time >= tevent-deltat) & (time < tevent+deltat))
print(tevent)

if make_plots:
    plt.figure()
    plt.plot(time[indxt]-tevent,strain_H1[indxt],'r',label='H1 strain')
    plt.plot(time[indxt]-tevent,strain_L1[indxt],'g',label='L1 strain')
    plt.xlabel('time (s) since '+str(tevent))
    plt.ylabel('strain')
    plt.legend(loc='lower right')
    plt.title('Advanced LIGO strain data near '+eventname)
    plt.savefig(eventname+'_strain.'+plottype)

赤線がハンフォード観測所、緑線がリビングストン観測所のデータを表します

この波形は、予測波形と似ても似つかないのですが、これは多くのノイズを含んでいるためです

測定データから重力波のみを取り出す

重力波のデータから読み取るべきことは、「一瞬の変化」であるため、データ全体にまんべんなく入っているようなノイズを除外する必要があります

そのために、「白色化」という、各周波数成分への分解と正規化によるノイズ除去手法を用います

また、そもそもノイズと見なせる特定周波数帯も除外します

データを各周波数成分に分解する

まず、各周波数成分の分布をビジュアル化してみますが、これには、振幅スペクトル密度（ASD：Amplitude Spectral Density）をプロットしてみます

振幅スペクトル密度は、パワースペクトル密度（mlab.psd()）のルートで計算できます

またプロットの際、下限周波数を20Hz、上限周波数を2,000Hzとします

20Hzの方は、LIGOが、20Hz未満の検出にてノイズが非常に高いためです

2,000Hzの方については、「ナイキスト周波数」と呼ばれる、サンプリングレートの半分を超える周波数成分が折り返す現象により、元の信号として再現されないため、fs＝4,096Hzの半分である2,048Hzより少し下でカットします

make_psds = 1
if make_psds:
    # number of sample for the fast fourier transform:
    NFFT = 4*fs
    Pxx_H1, freqs = mlab.psd(strain_H1, Fs = fs, NFFT = NFFT)
    Pxx_L1, freqs = mlab.psd(strain_L1, Fs = fs, NFFT = NFFT)

    # We will use interpolations of the ASDs computed above for whitening:
    psd_H1 = interp1d(freqs, Pxx_H1)
    psd_L1 = interp1d(freqs, Pxx_L1)

    # Here is an approximate, smoothed PSD for H1 during O1, with no lines. We'll use it later.    
    Pxx = (1.e-22*(18./(0.1+freqs))**2)**2+0.7e-23**2+((freqs/2000.)*4.e-23)**2
    psd_smooth = interp1d(freqs, Pxx)

if make_plots:
    # plot the ASDs, with the template overlaid:
    f_min = 20.
    f_max = 2000. 
    plt.figure(figsize=(10,8))
    plt.loglog(freqs, np.sqrt(Pxx_L1),'g',label='L1 strain')
    plt.loglog(freqs, np.sqrt(Pxx_H1),'r',label='H1 strain')
    plt.loglog(freqs, np.sqrt(Pxx),'k',label='H1 strain, O1 smooth model')
    plt.axis([f_min, f_max, 1e-24, 1e-19])
    plt.grid('on')
    plt.ylabel('ASD (strain/rtHz)')
    plt.xlabel('Freq (Hz)')
    plt.legend(loc='upper center')
    plt.title('Advanced LIGO strain data near '+eventname)
    plt.savefig(eventname+'_ASDs.'+plottype)

赤線がハンフォード観測所分、緑線がリビングストン観測所分、黒線がハンフォード観測所分を平滑化したものとなります

白色化とバンドパスフィルタ

「Binary Neutron Star (BNS) detection range」のブロックを読み飛ばし（中性子星とか面白そうではありますが…）、「Whitening」というタイトルの、データを白色化するコードに進みます

白色化の処理としては、フーリエ変換（np.fft.rfft()）で元データを各周波数成分に分解し、振幅スペクトル密度で除算することで正規化し、その後、逆フーリエ変換（np.fft.irfft()）で元に戻すことで、データ全体にまんべんなく入っている波ほど目立たなくなり、「一瞬の変化」の波が強調されるようになります

白色化の後、高周波ノイズが残っているので、バンドパスフィルタで除去します

def whiten(strain, interp_psd, dt):
    Nt = len(strain)
    freqs = np.fft.rfftfreq(Nt, dt)
    freqs1 = np.linspace(0,2048.,Nt/2+1)

    # whitening: transform to freq domain, divide by asd, then transform back, 
    # taking care to get normalization right.
    hf = np.fft.rfft(strain)
    norm = 1./np.sqrt(1./(dt*2))
    white_hf = hf / np.sqrt(interp_psd(freqs)) * norm
    white_ht = np.fft.irfft(white_hf, n=Nt)
    return white_ht

whiten_data = 1
if whiten_data:
    # now whiten the data from H1 and L1, and the template (use H1 PSD):
    strain_H1_whiten = whiten(strain_H1,psd_H1,dt)
    strain_L1_whiten = whiten(strain_L1,psd_L1,dt)
    
    # We need to suppress the high frequency noise (no signal!) with some bandpassing:
    bb, ab = butter(4, [fband[0]*2./fs, fband[1]*2./fs], btype='band')
    normalization = np.sqrt((fband[1]-fband[0])/(fs/2))
    strain_H1_whitenbp = filtfilt(bb, ab, strain_H1_whiten) / normalization
    strain_L1_whitenbp = filtfilt(bb, ab, strain_L1_whiten) / normalization

観測データと予測波形のプロット

「Spectrograms」の2ブロックは飛ばして、「Waveform Template」というタイトルが付いた、予測波形（コード中はtemplateというキーワードを使用）の読み込みを行います

# read in the template (plus and cross) and parameters for the theoretical waveform
try:
    f_template = h5py.File(fn_template, "r")
except:
    print("Cannot find template file!")
    print("You can download it from https://losc.ligo.org/s/events/"+eventname+'/'+fn_template)
    print("Quitting.")
    quit()

その次のブロックの「extract metadata from the template file」で始まるコードは、ほぼ実行不要なので、以下のみ手入力して実行します

# extract metadata from the template file:
template_p, template_c = f_template["template"][...]

# the template extends to roughly 16s, zero-padded to the 32s data length. The merger will be roughly 16s in.
template_offset = 16.

タイトルが「Matched filtering to find the signal」のブロックで、観測された重力波と予測波形をプロットしていますが、その2つ以外のプロットが多くあるので、こちらも以下のみ手入力して実行します

ちなみに、予測波形には、各観測波形に合わせるためのシフトを行い、白色化とバンドパスフィルタによる高周波ノイズ除去を行っています

# -- To calculate the PSD of the data, choose an overlap and a window (common to all detectors)
#   that minimizes "spectral leakage" https://en.wikipedia.org/wiki/Spectral_leakage
NFFT = 4*fs
psd_window = np.blackman(NFFT)
NOVL = NFFT/2    # and a 50% overlap:

# define the complex template, common to both detectors:
template = (template_p + template_c*1.j) 
# We will record the time where the data match the END of the template.
etime = time+template_offset
# the length and sampling rate of the template MUST match that of the data.
datafreq = np.fft.fftfreq(template.size)*fs
df = np.abs(datafreq[1] - datafreq[0])

# to remove effects at the beginning and end of the data stretch, window the data
# https://en.wikipedia.org/wiki/Window_function#Tukey_window
try:   dwindow = signal.tukey(template.size, alpha=1./8)  # Tukey window preferred, but requires recent scipy version 
except: dwindow = signal.blackman(template.size)          # Blackman window OK if Tukey is not available

# prepare the template fft.
template_fft = np.fft.fft(template*dwindow) / fs

# loop over the detectors
dets = ['H1', 'L1']
for det in dets:

    if det is 'L1': data = strain_L1.copy()
    else:           data = strain_H1.copy()

    # -- Calculate the PSD of the data.  Also use an overlap, and window:
    data_psd, freqs = mlab.psd(data, Fs = fs, NFFT = NFFT, window=psd_window, noverlap=NOVL)

    # Take the Fourier Transform (FFT) of the data and the template (with dwindow)
    data_fft = np.fft.fft(data*dwindow) / fs

    # -- Interpolate to get the PSD values at the needed frequencies
    power_vec = np.interp(np.abs(datafreq), freqs, data_psd)

    # -- Calculate the matched filter output in the time domain:
    # Multiply the Fourier Space template and data, and divide by the noise power in each frequency bin.
    # Taking the Inverse Fourier Transform (IFFT) of the filter output puts it back in the time domain,
    # so the result will be plotted as a function of time off-set between the template and the data:
    optimal = data_fft * template_fft.conjugate() / power_vec
    optimal_time = 2*np.fft.ifft(optimal)*fs

    # -- Normalize the matched filter output:
    # Normalize the matched filter output so that we expect a value of 1 at times of just noise.
    # Then, the peak of the matched filter output will tell us the signal-to-noise ratio (SNR) of the signal.
    sigmasq = 1*(template_fft * template_fft.conjugate() / power_vec).sum() * df
    sigma = np.sqrt(np.abs(sigmasq))
    SNR_complex = optimal_time/sigma

    # shift the SNR vector by the template length so that the peak is at the END of the template
    peaksample = int(data.size / 2)  # location of peak in the template
    SNR_complex = np.roll(SNR_complex,peaksample)
    SNR = abs(SNR_complex)

    # find the time and SNR value at maximum:
    indmax = np.argmax(SNR)
    timemax = time[indmax]
    SNRmax = SNR[indmax]

    # Calculate the "effective distance" (see FINDCHIRP paper for definition)
    # d_eff = (8. / SNRmax)*D_thresh
    d_eff = sigma / SNRmax
    # -- Calculate optimal horizon distnace
    horizon = sigma/8

    # Extract time offset and phase at peak
    phase = np.angle(SNR_complex[indmax])
    offset = (indmax-peaksample)

    # apply time offset, phase, and d_eff to template 
    template_phaseshifted = np.real(template*np.exp(1j*phase))    # phase shift the template
    template_rolled = np.roll(template_phaseshifted,offset) / d_eff  # Apply time offset and scale amplitude
    
    # Whiten and band-pass the template for plotting
    template_whitened = whiten(template_rolled,interp1d(freqs, data_psd),dt)  # whiten the template
    template_match = filtfilt(bb, ab, template_whitened) / normalization # Band-pass the template
    print('For detector {0}, maximum at {1:.4f} with SNR = {2:.1f}, D_eff = {3:.2f}, horizon = {4:0.1f} Mpc' 
          .format(det,timemax,SNRmax,d_eff,horizon))

    if make_plots:

        # plotting changes for the detectors:
        if det is 'L1': 
            pcolor='g'
            strain_whitenbp = strain_L1_whitenbp
            template_L1 = template_match.copy()
        else:
            pcolor='r'
            strain_whitenbp = strain_H1_whitenbp
            template_H1 = template_match.copy()

        plt.figure(figsize=(10,8))
        plt.subplot(2,1,1)
        plt.plot(time-tevent,strain_whitenbp,pcolor,label=det+' whitened h(t)')
        plt.plot(time-tevent,template_match,'k',label='Template(t)')
        plt.ylim([-10,10])
        plt.xlim([-0.15,0.05])
        plt.grid('on')
        plt.xlabel('Time since {0:.4f}'.format(timemax))
        plt.ylabel('whitened strain (units of noise stdev)')
        plt.legend(loc='upper left')
        plt.title(det+' whitened data around event')