はじめに
『秋葉原ロボット部 理論グループ Advent Calendar 2025』の投稿です
線形代数のなかでは特に射影が大好きですが、量子力学を学び始めてから興味の中心はとにかく回転です！
この記事では、量子力学に登場するスピンとも深い関係のある、パウリ行列が四元数と密接にかかわっていることを直観的に説明したいと思います
本来、量子力学におこけるスピン$1/2$の話に発展すべきですが、ここではパウリ行列と四元数の話にとどめています（実力を付けていつかつなげます）
概要
量子力学の書籍でしばしば登場するパウリ行列が、四元数と仲間であるを、四元数の振る舞いと対応させることで説明します
- パウリ行列とは
- 四元数のおさらいと振る舞い
- パウリ行列での振る舞い
- なるほど、仲間だ
パウリ行列
天下り的ですが、パウリ行列は以下のような複素数を要素に持つ$(2 \times 2)$行列です
$$
\begin{alignat}{3}
\sigma_1 = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \
\sigma_2 = \begin{bmatrix}0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix},\
\sigma_3 = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}
\end{alignat}
$$
$$
\sigma_0 = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I \ \ (単位行列)
$$
パウリ行列は四元数っぽく振舞う
四元数のおさらい
四元数$q$は、実数$q_0$に虚数単位{$i,j,k$}のそれぞれの係数$q_1,q_2,q_3$を合わせた以下のように表現されます、実部＋虚部の構造は複素数と同じですね
q = \underbrace{q_0}_{実部} + \underbrace{q_1 i + q_2 j + q_3 k}_{虚部}
虚数単位${i,j,k}$のルールは以下です
\begin{aligned}
i^2 = j^2 = k^2 = -1 & \ \ (同じ虚数単位の積は-1)\\
ij = k , jk = i, ki = j & \ \ (循環置換:隣合う虚数単位の積は次の虚数単位)\\
ji = -k, kj = -i, ik = -j & \ \ (半交換性:順序を変えると符号は変わる)
\end{aligned}
パウリ行列を虚部のようにあつかう
四元数の{$i,j,k$}に対して、パウリ行列{$\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$}を四元数の虚部のように振る舞いさせるために、複素数の虚数単位$i$を乗じたものとを以下のように対応付けてます
| 四元数 | $i$ | $j$ | $k$ |
|---|---|---|---|
| パウリ行列 | $-i\sigma_1$ | $-i\sigma_2$ | $-i\sigma_3$ |
{$-i\sigma_1, -i\sigma_2, -i\sigma_3$}が四元数の振る舞いと同じになるかを見てみましょう
同じ虚数単位の積は-1
$$
\begin{aligned}
i^2 = j^2 = k^2 = -1 & \ \ (同じ虚数単位の積は-1)\\
\\
(-i\sigma_1)(-i\sigma_1) & =(-i)^2\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = -\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = -I \\
(-i\sigma_2)(-i\sigma_2) &=(-i)^2\begin{bmatrix}0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix} = -\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = -I \\
(-i\sigma_3)(-i\sigma_3) &=(-i)^2\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = -\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = -I\\
\end{aligned}
$$
循環置換:隣合う虚数単位の積は次の虚数単位
$$
\begin{aligned}
ij = k , jk = i, ki = j & \ \ (循環置換:隣合う虚数単位の積は次の虚数単位) \\
\\
(-i\sigma_1)(-i\sigma_2) &=(-i)^2\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix} = -\begin{bmatrix}i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix} = (-i\sigma_3) \\
(-i\sigma_2)(-i\sigma_3) &=(-i)^2\begin{bmatrix}0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = -\begin{bmatrix}0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix} = (-i\sigma_1) \\
(-i\sigma_3)(-i\sigma_1) &=(-i)^2\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = -\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} = (-i\sigma_2)\\
\end{aligned}
$$
半交換性:順序を変えると符号は変わる
$$
\begin{aligned}
ji = -k, kj = -i, ik = -j & \ \ (半交換性:順序を変えると符号は変わる) \\
\\
(-i\sigma_2)(-i\sigma_1) &= (-i)^2\begin{bmatrix}0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}= -\begin{bmatrix}-i & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix} = -(-i\sigma_3) \\
(-i\sigma_3)(-i\sigma_2) &= (-i)^2\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}= -\begin{bmatrix}0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix} = -(-i\sigma_1) \\
(-i\sigma_1)(-i\sigma_3) &= (-i)^2\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = -\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = -(-i\sigma_2)\\
\end{aligned}
$$
パウリ行列による回転演算子
パウリ行列による回転の演算子も、四元数によるものと同じくなります
\begin{aligned}
q &= \underbrace{\cos \frac{\theta}{2}}_{実部} + \underbrace{ (\hat{n}_x i + \hat{n}_y j + \hat{n}_z k)\sin \frac{\theta}{2}}_{虚部}, \ \ \ ||\hat{n}|| =1 \ (単位方向ベクトル) \\ \\
U &= \underbrace{\sigma_0\cos \frac{\theta}{2}}_{実部} - \underbrace{i(\hat{n}_x\sigma_1 + \hat{n}_y\sigma_2 + \hat{n}_z\sigma_3)\sin \frac{\theta}{2}}_{虚部} \ \ \ ||\hat{n}|| =1 \ (単位方向ベクトル)
\end{aligned}
パウリ行列による回転の計算
- 座標$P:(x,y,z)$の四元数での表現は$P=xi+yj+zk$ですが
- 座標$P:(x,y,z)$のパウリ行列の表現は$X=x(-i\sigma_1)+y(-i\sigma_2)+z(-i\sigma_3)$となります
また、回転の計算は以下です
\begin{aligned}
P' &= q P q^{\dagger} \\
X' &= U X U^{\dagger}
\end{aligned}
まとめ
本記事では、パウリ行列が四元数と非常に近い振る舞いを持つことを、実際の計算から見ました
四元数の虚数単位 $(i,j,k)$ は、
$$
i,j,k ;\longleftrightarrow; -i\sigma_1,-i\sigma_2,-i\sigma_3
$$
と対応付けることで、パウリ行列の組と同じ乗法構造を持ちます。
この対応のもとでは、単位四元数による回転
$$
P' = q P q^\dagger
$$
と、パウリ行列を用いた回転
$$
X' = U X U^\dagger
$$
は、どちらも同じ 3 次元回転を表しています。
このことは、
- 単位四元数の集合
- SU(2) の回転演算子
が、3 次元回転を表すという点で同じ構造を持っていることを意味します。
SU(2) は SO(3) を二重に被覆する回転の表現であり、
この構造が量子力学におけるスピンやパウリ行列の自然な登場につながっています。
今後、この投稿をアップデートしながら、
そのあたりの話題にもつなげていければと思います。
コメントなどいただけると、ありがたいです（お手柔らかに）
参考文献
-『ストラング線形代数イントロダクション』
-『3次元回転: パラメータ計算とリー代数による最適化』