双曲線とは

双曲線の方程式は次の式で与えられる．
$$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}= 1$$

焦点は$F = (\pm \sqrt{a^2 + b^2}, 0)$で与えられ，漸近線は $ y = \pm \frac{b}{a} x$ で与えられる．

図示すると以下のようになります．

双曲線の接線の方程式の導出

まず双曲線の方程式を次のように変形する．
$$ y^2 = b^2 + \frac{b^2}{a^2}x^2 $$

次に上式の両辺を x で微分する．
$$ 2y \frac{dy}{dx} = 2 \frac{b^2}{a^2} x$$

よって，
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{b^2}{a^2} \frac{x}{y}$$

さて，接線の方程式は$x$の一次式なので
$$ y - y_0 = m (x - x_0) $$
で与えられる．

ここで，$m$は接線の傾きであり，$(x_0, y_0)$は接線と楕円の接点の座標である．
接点にて接線の傾きは $m = \frac{b^2}{a^2} \frac{x_0}{y_0}$ である．
あくまで「接点での傾き」なので$\frac{b^2}{a^2} \frac{x}{y}$ではなく$\frac{b^2}{a^2} \frac{x_0}{y_0}$である．

この傾きを接線の方程式に代入すると
$$ y - y_0 = \frac{b^2}{a^2} \frac{x_0}{y_0} (x - x_0) $$
この式を展開していくと，

$$ y = \frac{b^2}{a^2} \frac{x_0}{y_0} (x - x_0) + y_0 $$

$$ y_0 y = \frac{b^2}{a^2} x_0 (x - x_0) + {y_0}^2 $$

$$ y_0 y = \frac{b^2}{a^2} x_0 x - \frac{b^2}{a^2} {x_0}^2 + {y_0}^2 $$

$$ \frac{y_0 y}{b^2} = \frac{x_0 x}{a^2} - \frac{{x_0}^2}{a^2} + \frac{{y_0}^2}{b^2} $$

$\frac{{x_0}^2}{a^2} - \frac{{y_0}^2}{b^2} = 1$ なので

$$ \frac{x_0 x}{a^2} - \frac{y_0 y}{b^2} = 1 $$

以上，接線の方程式が求められました．