(2021年7月30日)同心環Tagに移行。

子供の頃から「円周や円の面積や球の表面積や体積を求める式」と半径(Radius)と直径(Diameter)が裏側でどう繋がっているか気になって仕方がありませんでした。そして、とうとう…

微積分概念導入による部分的解決

【Python演算処理】半径・直径・円周長・円の面積・球の表面積・球の体積の計算上の往復

やがて微積分概念を知り、以下を連続的に考えられる様になりました。まぁ面倒な検算は全てコンピューターにやらせてしまえばいいのです。

半径rの円の面積πr^2 ⇄ 円周長2πr

import sympy as sp
r,f,g,h = sp.symbols('r,f,g,h')

# 元関数
f=sp.pi*r**2

# 半径rの円の面積（pi*r^2）をrで微分すると
# 円周の長さ（2*pi*r）となる。
g=sp.diff(f,r,1)

# 逆に円周の長さ（2*pi*r）をrで積分すると
# 半径rの円の面積（pi*r^2）になる。
h=sp.integrate(g,r)

# 画面表示
sp.init_printing()
display(f) 
print(sp.latex(f))
display(g) 
print(sp.latex(g))
display(h) 
print(sp.latex(h))

元関数

\pi r^{2}

微分結果

2 \pi r

再積分結果

\pi r^{2}

半径rの球の体積（4/3pir^3） ⇄ 球の表面積（4pir^2）

import sympy as sp
r,f,g,h = sp.symbols('r,f,g,h')

# 元関数
f=sp.Rational(4,3)*sp.pi*r**3

# 半径rの球の体積（4/3*pi*r^3）をrで微分すると
# 球の表面積（4*pi*r^2）となる。
g=sp.diff(f,r,1)

# 逆に球の表面積（4*pi*r^2）をrで積分すると
# 半径rの球の体積（4/3*pi*r^3）となる。
h=sp.integrate(g,r)

# 画面表示
sp.init_printing()
display(f) 
print(sp.latex(f))
display(g) 
print(sp.latex(g))
display(h) 
print(sp.latex(h))

元関数

\frac{4 \pi r^{3}}{3}

微分結果

4 \pi r^{2}

再積分結果

\frac{4 \pi r^{3}}{3}

ちなみに引数の変遷は所謂「微積分における冪乗算の不定積分公式」通り。

\int x^b dx=\frac{1}{β+1} x^{β+1}

ただしこの計算式にはβ=-1の時に分母が0になる問題があり、実際には別の計算方法で代用されています。この話も別途奥が深い…
【数理考古学】冪乗算(Exponentiation)の微積分

import sympy as sp
a,x,f,g,h = sp.symbols('a,x,f,g,h,i,j')

# 元関数
f=a**x

# f'(x)一階微分
g=sp.diff(f,r,1)

# f''(x)二階微分
h=sp.diff(f,r,2)

# f'(x)一階積分
i=sp.integrate(g,r)

# f''(x)二階積分
j=sp.integrate(i,r)

# 画面表示
sp.init_printing()
display(f) 
print(sp.latex(f))
display(g) 
print(sp.latex(g))
display(h) 
print(sp.latex(h))
display(i) 
print(sp.latex(i))
display(j) 
print(sp.latex(j))

元関数

a^{x}

一階微分

a^{x} \log{\left(a \right)}

二階微分

a^{x} \log{\left(a \right)}^{2}

一階積分

\begin{cases} \frac{a^{x}}{\log{\left(a \right)}} & \text{for}\: \log{\left(a \right)} \neq 0 \\x & \text{otherwise} \end{cases}

二階積分

\begin{cases} \begin{cases} \frac{a^{x}}{\log{\left(a \right)}^{2}} & \text{for}\: \log{\left(a \right)}^{2} \neq 0 \\\frac{x}{\log{\left(a \right)}} & \text{otherwise} \end{cases} & \text{for}\: \left(a \geq 0 \wedge a < 1\right) \vee a > 1 \\\frac{x^{2}}{2} & \text{otherwise} \end{cases}

さらには球の表面積4πr^2をもう１回微分すると得られる8πrなる式に邂逅して困惑が広がります。え、どういう事、それ…

面積の微分はどこの長さ？ - Biglobe
球の体積を微分すると、球の表面積になりますが…

N次元球概念導入による完全解決

そしてとうとう今月(2021年3月)になって辿り着いたのがこの概念。調べた限りでは、どうやら大学数学では「つまらない一般教養」の範囲に過ぎないらしい？

【Python演算処理】半径・直径・円周長・円の面積・球の表面積・球の体積の計算上の往復

①式$c_n = \frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}$に従って、半径rのn次元球の体積は $c_n r^n$、表面積は$n c_nr^{n−1}$と規約される。

②$n=1$の時は$C_n=\frac{\pi^{\frac{1}{2}}}{\Gamma(\frac{1}{2}+1)}=2$なので、1次元球の体積(直径)は2rと規約される。

import math as m

def f0(n):
    return m.pi**(n/2)/m.gamma(n/2+1)

print(f0(1))

# 出力結果
1.9999999999999998

③$n=2$の時は$C_n=\frac{\pi^{\frac{2}{2}}}{\Gamma(\frac{2}{2}+1)}=\pi$なので、2次元球の体積(面積)は$\pi r^2$、表面積(円周長)は$2 \pi r$と規約される。

import math as m

def f0(n):
    return m.pi**(n/2)/m.gamma(n/2+1)

print(f0(2))
print(m.pi)

# 出力結果
3.141592653589793
3.141592653589793

④$n=3$の時は$C_n=\frac{\pi^{\frac{3}{2}}}{\Gamma(\frac{3}{2}+1)}=\frac{3}{4} \pi$なので、3次元球の体積は$\frac{3}{4} \pi r^3$、表面積は$4 \pi r^2$と規約される。

import math as m

def f0(n):
    return m.pi**(n/2)/m.gamma(n/2+1)

print(f0(3))
print(4/3*m.pi)

# 出力結果
4.1887902047863905
4.1887902047863905

⑤$n=4$の時は$C_n=\frac{\pi^{\frac{4}{2}}}{\Gamma(\frac{4}{2}+1)}=\frac{1}{2} \pi^2$なので、4次元球の体積は$\frac{1}{2} r^4$、表面積は$2 \pi^2 r^3$と規約される。

import math as m

def f0(n):
    return m.pi**(n/2)/m.gamma(n/2+1)

print(f0(4))
print(1/2*m.pi**2)

# 出力結果
4.934802200544679
4.934802200544679

確かに、こう考えれば何もかもスッキリしますね（棒読み）。
ガンマ関数 - Wikipedia

互いに同値となるいくつかの定義が存在するが、1729年、数学者レオンハルト・オイラーが無限乗積の形で、最初に導入した。

なんとこの概念の発端は18世紀まで遡り、例によって例の如くオイラーが先鞭をつけていたとは。本当にオイラーはブルバキみたいな集団ペンネームじゃなかったの？　そんな感じで以下続報…