【Rで球面幾何学】オイラーの公式とは、そもそも何か？

ある意味、円描画関数の基本中の基本ともいうべきオイラーの公式（Euler's formula）」e^Θ=cos(Θ)+sin(Θ)i…
【初心者向け】「円そのもの」の近似から派生した角度概念の起源

#複素平面（球面）=Complex Plane
Complex_plane<-function(x){
#theta <- seq(-pi, pi, length=360) 
theta <- c(seq(0, pi, length=180),seq(-pi, 0, length=180))
dr<-seq(0,2*pi,length=360)

theta00<- seq(1, -1, length=360)
theta01 <- c(theta[x:360],theta[1:x-1]) 
theta_cos<-cos(theta01)
theta_sin<--sin(theta01)
#円描画
plot(cos(theta), -sin(theta),asp=1,xlim=c(-1,1), ylim=c(-1,1), type="l", main="Complex plane",xlab="Real Expanse", ylab="Imaginaly Expanse")
par(new=T)#上書き指定

#Cos波描画
plot(-theta_cos,-theta00,xlim=c(-1,1),asp=1,ylim=c(-1,1), type="l",col=rgb(0,1,1),lwd =4,main="",xlab="", ylab="")
par(new=T)#上書き指定

#Sin波描画
plot(-theta00,theta_sin,xlim=c(-1,1),asp=1,ylim=c(-1,1), type="l",col=rgb(0,0,1),lwd =4,main="",xlab="", ylab="")

#塗り潰し(Cos波)
polygon(-theta_cos, #x
-theta00, #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45),　 　　　#塗りつぶす斜線の角度
col=rgb(0,1,1)) 　#塗りつぶす色

#塗り潰し(Sin波)
polygon(-theta00, #x
theta_sin, #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45),　 　　　#塗りつぶす斜線の角度
col=rgb(0,0,1)) 　#塗りつぶす色

#segments(cos(dr[x]),-1,cos(dr[x]),1,col=rgb(0,1,0))
#segments(-1,sin(dr[x]),1,sin(dr[x]),col=rgb(0,0,1))
segments(cos(dr[x]),sin(dr[x]),0,0,col=rgb(1,0,0))
legend("bottomleft", legend=c("cos", "sin"), lty=c(1,1),col =c(rgb(0,1,1),rgb(0,0,1)))
 }
#アニメーションさせてみる。

library("animation")
#Time_Code=c(1,90,180,270)
Time_Code=c(1,15,30,45,60,75,90,105,120,135,150,165,180,195,210,225,240,255,270,285,300,315,330,345)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　　Complex_plane(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "CP01.gif")

一般にその導出には、当時登場したばかりだったマクローリン級数 (Maclaurin series) の概念を援用したと考えられています。
【Rで球面幾何学】オイラーの公式を導出したマクローリン級数

オイラーの公式(Euler's formula)遷移図

①複素平面（球面）上の0度/360度＝0/2πラジアンは、複素数1+0i（実数世界の１）に該当しx軸がCos(1)=1,y軸がSin(0)=0の状態。

Complex_plane(1)
#関連計算
cos(0)
[1] 1
sin(0)
[1] 0

②複素平面（球面）上の90度＝π/2ラジアンあるいは-270度＝-3π/2ラジアンは複素数0+1i（実数世界の０）に該当し、x軸がCos(π/2)=Cos(-3π/2)=0、y軸がSin(π/2)=Sin(-3π/2)=1の状態。次に述べる複素数_0-1i（-90度＝-π/2ラジアンあるいは270度＝3π/2）と共役関係にある。

Complex_plane(90)
#関連計算
cos(pi/2)
[1] 6.123234e-17
cos(-3*pi/2)
[1] -1.83697e-16
#これは「ほとんどゼロ」を意味する。
round(sqrt(2),digits=7)
[1] 1.414214
round(cos(pi/2),digits=7)
[1] 0
round(cos(-3*pi/2),digits=7)
[1] 0

sin(pi/2)
[1] 1
sin(-3*pi/2)
[1] 1

③複素平面（球面）上の-90度(270度)＝-π/2ラジアン（3π/2ラジアン）は複素数0-1i（実数世界の「０」）に該当し、x軸がCos(-π/2)=0,y軸がSin(3π/2)=Sin(-π/2)=1の状態。先に述べた複素数0+1i（90度＝π/2ラジアン）と共役関係にある。

Complex_plane(270)
#関連計算
cos(-pi/2)
[1] 6.123234e-17
cos(3*pi/2)
[1] -1.83697e-16
#これは「ほとんどゼロ」を意味する。
round(sqrt(2),digits=7)
[1] 1.414214
round(cos(-pi/2),digits=7)
[1] 0
round(cos(3*pi/2),digits=7)
[1] 0

sin(-pi/2)
[1] -1
sin(3*pi/2)
[1] -1

④複素平面（球面）上の180度＝πラジアン（3π/2ラジアン）は複素数-1+0i（実数にはない数字）」に該当し、x軸がCos(π)=-1,y軸がSin(π)=0の状態。

Complex_plane(180)
#関連計算
cos(pi)
[1] -1
sin(pi)
[1] 1.224647e-16
#これは「ほとんどゼロ」を意味する。
round(sqrt(2),digits=7)
[1] 1.414214
round(sin(pi/2),digits=7)
[1] 0

以下続報…