等比数列(Geometric Progression)または幾何数列(Geometric Sequence)の概念(Concept)は、原則として等差数列（Arithmetic Progression）あるいは算術数列（Arithmetic Sequence）の概念の応用です。
【Rで球面幾何学】等差数列(算術数列)① 数直線(Number Line)概念の導入(Introduction)について。
とりあえずWikipediaの記述に従って導入(Introduction)を進めます。
等比数列(geometric progression)または幾何数列(geometric sequence) - Wikipedia
等比数列(Geometric Progression)または幾何数列(Geometric Sequence)の定義
与えられた区間(interval)において隣接する二項の比が各項の添字(index)nに拠らず等しい数列(sequence of numbers with common ratio)を言う。
各項に共通する (common) その一定の比の事を公比（common ratio）という。公比rはその数列a[1],a[2],a[3],…a[n]（nは項(term)の総数(sum)）における各項の添字(index)nを用いてa[1]r^(n-1)。(nは0以外の任意の数）と表せる。かかるn番目の項a[n]の値をその等比数列における一般項(General Term)という。
すなわち一般に第n項a[n]と第m項a[m]の関係はa[n]=a[m]*r^(n-m)となる。
例えばa[n]=3, 6, 12…∞なる片側無限数列(one-sided infinite sequence)a[n](n=1~∞)は、各項が直前の項に2を掛けたものになっているから、初項3, 公比2の片側無限等比数列(One-Sided Geometric Sequence)であり、その7番目の項の値は192となる。
#等比数列=初項*公比^(数列の項数-1)
>gp01<-function(x,y,z){x*y^(z-1)}
#初項3,公比2,項数3の場合
>gp01(3,2,3)
12
>c0<-gp01(3,2,c(1,2,3))
>c0
[1] 3 6 12
>gp01(3,2,7)
[1] 192
#公比の検出=数列[N+1]/数列[N]
>c0[1+1]/c0[1]
[1] 2
>c0[2+1]/c0[2]
[1] 2
#公比の逆数の検出=数列[N]/数列[N+1]
>c0[1]/c0[1+1]
[1] 0.5
>c0[2]/c0[2+1]
[1] 0.5
#各項における係数と値の関係a[n]=a[m]*r^(n-m)
>c0[1]
[1] 3
>c0[2]
[1] 6
>c0[3]
[1] 12
>3*2^(2-1)
[1] 6
>6*2^(3-2)
[1] 12
>3*2^(3-1)
[1] 12
特に初項a+1,公比1の等比数列は初項a,公差0の等差数列と一致する。
【Rで球面幾何学】等差数列(算術数列)① 数直線(Number Line)概念の導入(Introduction)について。
>gp01(1,1,c(1:7))
[1] 1 1 1 1 1 1 1
有限幾何数列(Finite Geometric Sequence)の総和(Sum)としての幾何級数 (Geometric Series) の求め方。
#sum0(初項,公比,項数)
>sum0<-function(x,y,z){(x*y^z-x)/(y-1)}
>sum0(2,3,8)
[1] 6560
形式的に等比数列の一般項の対数をとるとlog(a[n])=log(a[1])+(n-1)log(r)となり、数列log(a[n])は初項log[a]、公差*log(r)の等差数列になる。
>gp01<-function(x,y,z){x*y^(z-1)}
>c0<-gp01(3,2,c(1,2,3))
>c0
[1] 3 6 12
>log(c0)
[1] 1.098612 1.791759 2.484907
>log(c0[1])
[1] 1.098612
>log(c0[2])
[1] 1.791759
>log(c0[2]+log(2))
[1] 1.901084
等比数列の連続する3項を小さい順からa,b,cとすると、常に2b=acが成り立つ。
>c0[2]*2==c0[1]+c0[3]
[1] TRUE
>c0[2]*2
[1] 10
>c0[1]+c0[3]
[1] 10
等比数列(Geometric Progression)または幾何数列(Geometric Sequence)の発散(Divergence)と収束(Convergence)の条件については、また項を改めて。
【Rで球面幾何学】等比数列(幾何数列)②同心円集合(Concentric Set)に射影(Projection)する準備
【Rで球面幾何学】等比数列(幾何数列)③振動関数を巡る収束と拡散。
