いろいろなところで解説されてる内容ですが、自分なりにできるだけ簡単にまとめました。関数の詳しい説明については「参考サイト」を参照してください。
なお、ここではtidyr::gatherとtidyr::spreadを使います（理由については後述）。
必要パッケージ
tidyrを使う。
install.packages("tidyr")
# あるいは
install.packages("tidyverse")
イメージ
横長→縦長変換
縦長→横長変換
例
データは気象庁 台風の発生数（2019年までの確定値と2020年の速報値）を使用。列名が日本語なのとエンコードがShift-JISである点に注意。
取り込み
d <- read.csv("https://www.data.jma.go.jp/fcd/yoho/typhoon/statistics/generation/generation.csv", fileEncoding = "shift-jis")
read.csvを使った場合、（上図と違って）各月の列名が「X」はじまりになるので注意。read_csvを使うと、各月の列名はバッククオートで囲われた形で格納される。
横長→縦長変換
d.gathered <- tidyr::gather(data = d, 2:14, key = Month, value = Number) # 列数指定
d.gathered <- tidyr::gather(data = d, X1月, X2月, X3月, X4月, X5月, X6月, X7月, X8月, X9月, X10月, X11月, X12月, 年間, key = Month, value = Number) # 列名指定
またtidyverseを使っている場合には、dplyr::selectと同様の選択方法も使用可能。選択方法はこちらのサイトに詳しい。
d.gathered <- tidyr::gather(data = d, -年, key = Month, value = Number) # 「年」以外の列を選択
d.gathered <- tidyr::gather(data = d, ends_with("月"), key = Month, value = Number) # 「月」がつく列を後方一致で選択。この場合「年間」は残る。
縦長→横長変換
d.spread <- tidyr::spread(data = d.gathered, key = Month, value = Number)
列名の順番は適宜訂正する必要あり。
gather/spreadとpivot_longer/pivot_wider
tidyr内の縦横変換関数としては、gather/spreadとtidyr ver.1.0.0以降で使えるpivot_longer/pivot_widerの2種類があるが、より互換性が高いのは前者だと思うのでここではそちらを使った（tidyverseの部分アップデートで依存関係が壊れるとめんどくさい）。
ただし後者のほうが改良版で良いとのことなので、tidyr ver.1.0.0以降を使用可能ならばそちらを使ったほうがいいかもしれない。（機会があればそちらで書き直します）
参考サイト
共通
gather/spread
Rstudio Data Import Cheat Sheet
縦横変換 - gather関数とspread関数