表題の通り、
VSCodeとその拡張機能である「Live Server」を使っていて、
ある日突然
『拡張機能のホストが予期せずに終了しました。』
というメッセージが表示されるようになって、
「Live Server」が機能しなくなる現象について
現状、検索しても直接的な解決策が出てこない状況のようですので
こちらで解決策を残しておきたい思います。

ただし、
わたしもほかの方も書いておられるいろいろな方策を試しましたが完全解決に至らず、
結局、
【VSCode自体をインストールしなおす】
で最終的に解決に至りました。

したがって、
現時点で根本的に解決する現実的な解決策として
【VSCode自体をインストールしなおす】
しかないと考えてよいと思います。
（ふんだんに時間/手間をかけて他の方法を探ることができる方は除きます）

ここで注意しなければならないのは
「インストールしなおす」といっても
VSCodeを単純にアンインストールして再度インストールしなおすだけではダメであり、
VSCodeをいったん「あとかたもなく」削除しなければならないということです。
具体的にはVSCodeのアンインストール後に、
『関連するユーザー設定や拡張機能の保存フォルダを削除』
することにより完全にVSCodeの痕跡を消し去ることが必要になります。
（新たにVSCodeインストールした後には、まっさらな状態＝デフォルト状態　で起動できるようにする。
→ 後述する他サイトの記事を参照）

この完全なアンインストールを行うための一連の手順が以下の記事に
非常にていねいに解説されていますのでこちらを参照されるとよいと思います。

『VS Codeをアンインストールするには』
https://www.atmarkit.co.jp/ait/articles/1810/12/news026.html
（＠IT様、かわさきしんじ様および関係される各位に心から感謝いたします）

わたしはこの完全アンインストール後→再インストールの手順で完全解決に至りました。
ただ、どんな状況にも有効かどうかは保証の限りではありません。

この記事が同現象でお困りの方のお役に立てばうれしく思います。

※この記事を記した目的
「拡張機能のホストが予期せずに終了しました。」というエラーメッセージで検索される場合に
上のアンインストール方法の記事がヒットしない（同エラーメッセージがそのページ内に書かれていない）ため、
この記事にたどり着ける方が多くなるよう、ラッパー的な形で入口になればよいと考えました。