磁気双極子

　微小な半径の円電流が作る磁場を十分に離れた地点において求めるときに，磁気双極子の考えがよく用いられる．(または，近似の結果で最終的に磁気双極子による計算と値が等しくなる．)
　電気双極子は，符号の異なる電荷の対のことであったが，磁気双極子は，微小な円電流により生じた磁場の式の形が電気双極子の作る電場の式の形と似ているため，磁荷を仮想的に導入したものとして捉えることができる．

磁場の計算

　上の回路図が作る磁場を求める．また，位置$\boldsymbol{r}$に作る磁場を求めるが，このとき，$a\ll|\boldsymbol{r}$|であるとする．また，回路は各辺の長さが$a$の正方形で，正方形の中心を原点とする．回路には電流$I$が流れており，図に書いたようにベクトルを定める．
　この閉回路に流れる電流について以下のように書ける($\boldsymbol{t}$は電流の向き)．

  \rm{AB}\,:\,\boldsymbol{r}'=\frac{a}{2}\boldsymbol{e}_1\, , \, \boldsymbol{t}=\boldsymbol{e}_2

  \rm{BC}\,:\,\boldsymbol{r}'=\frac{a}{2}\boldsymbol{e}_2\, , \, \boldsymbol{t}=-\boldsymbol{e}_1

  \rm{CD}\,:\,\boldsymbol{r}'=-\frac{a}{2}\boldsymbol{e}_1\, , \, \boldsymbol{t}=-\boldsymbol{e}_2

  \rm{DA}\,:\,\boldsymbol{r}'=-\frac{a}{2}\boldsymbol{e}_2\, , \, \boldsymbol{t}=\boldsymbol{e}_1

　これを用いてBiot-Savartの法則より，辺それぞれの作る磁場は，

\rm{AB}\,:\, \frac{\mu_0aI}{4\pi}\frac{\boldsymbol{e}_2\times\{\boldsymbol{r}-\frac{a}{2}\boldsymbol{e}_1\}}{|\boldsymbol{r}-\frac{a}{2}\boldsymbol{e}_1|^3}

\rm{BC}\,:\, \frac{\mu_0aI}{4\pi}\frac{(-\boldsymbol{e}_1)\times\{\boldsymbol{r}-\frac{a}{2}\boldsymbol{e}_2\}}{|\boldsymbol{r}-\frac{a}{2}\boldsymbol{e}_2|^3}

\rm{CD}\,:\, \frac{\mu_0aI}{4\pi}\frac{(-\boldsymbol{e}_2)\times\{\boldsymbol{r}+\frac{a}{2}\boldsymbol{e}_1\}}{|\boldsymbol{r}+\frac{a}{2}\boldsymbol{e}_1|^3}

\rm{DA}\,:\, \frac{\mu_0aI}{4\pi}\frac{\boldsymbol{e}_1\times\{\boldsymbol{r}+\frac{a}{2}\boldsymbol{e}_2\}}{|\boldsymbol{r}+\frac{a}{2}\boldsymbol{e}_2|^3}

となる．ここで，各辺について$\frac{\mu_0aI}{4\pi}$にかかっている部分について計算する．$\rm{AB}$では($a\ll r$としているので，$a^2$は無視できる．)，

|\boldsymbol{r}-\frac{a}{2}\boldsymbol{e}_1|^2=(\boldsymbol{r}-\frac{a}{2}\boldsymbol{e}_1)\cdot(\boldsymbol{r}-\frac{a}{2}\boldsymbol{e}_1)\approx r^2-a(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e}_1)

となるので，

|\boldsymbol{r}-\frac{a}{2}\boldsymbol{e}_1|^{-3}=\{r^2-a(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e}_1)\}^{-3/2}=\frac{1}{r^3}\{1-\frac{a(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e}_1)}{r^2}\}^{-3/2}\approx\frac{1}{r^3}\{1+\frac{3a}{2}\frac{\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e}_1}{r^2}\}

同様にして，$\rm{BC}$は，

|\boldsymbol{r}-\frac{a}{2}\boldsymbol{e}_2|^{-3}\approx\frac{1}{r^3}\{1+\frac{3a}{2}\frac{\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e}_2}{r^2}\}

$\rm{CD}$は，

|\boldsymbol{r}+\frac{a}{2}\boldsymbol{e}_1|^{-3}\approx\frac{1}{r^3}\{1-\frac{3a}{2}\frac{\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e}_1}{r^2}\}

$\rm{DA}$は，

|\boldsymbol{r}+\frac{a}{2}\boldsymbol{e}_2|^{-3}\approx\frac{1}{r^3}\{1-\frac{3a}{2}\frac{\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e}_2}{r^2}\}

となる．次に外積部分も含めて計算する．ひとまずこの部分を$C$と置いておく．

\begin{align}
C&=\boldsymbol{e}_2\times\{\boldsymbol{r}-\frac{a}{2}\boldsymbol{e}_1\}\{1+\frac{3a}{2}\frac{\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e}_1}{r^2}\}

-\boldsymbol{e}_1\times\{\boldsymbol{r}-\frac{a}{2}\boldsymbol{e}_2\}\{1+\frac{3a}{2}\frac{\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e}_2}{r^2}\}

-\boldsymbol{e}_2\times\{\boldsymbol{r}+\frac{a}{2}\boldsymbol{e}_1\}\{1-\frac{3a}{2}\frac{\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e}_1}{r^2}\}

+\boldsymbol{e}_1\times\{\boldsymbol{r}+\frac{a}{2}\boldsymbol{e}_2\}\{1-\frac{3a}{2}\frac{\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e}_2}{r^2}\}\\


&=\boldsymbol{e}_2\times\boldsymbol{r}\{1+\frac{3a}{2}\frac{\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e}_1}{r^2}\}+\frac{a}{2}\boldsymbol{n}\{1+\frac{3a}{2}\frac{\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e}_1}{r^2}\}

-\boldsymbol{e}_1\times\boldsymbol{r}\{1+\frac{3a}{2}\frac{\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e}_2}{r^2}\}+\frac{a}{2}\boldsymbol{n}\{1+\frac{3a}{2}\frac{\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e}_2}{r^2}\}

-\boldsymbol{e}_2\times\boldsymbol{r}\{1-\frac{3a}{2}\frac{\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e}_1}{r^2}\}+\frac{a}{2}\boldsymbol{n}\{1-\frac{3a}{2}\frac{\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e}_1}{r^2}\}

+\boldsymbol{e}_1\times\boldsymbol{r}\{1-\frac{3a}{2}\frac{\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e}_2}{r^2}\}+\frac{a}{2}\boldsymbol{n}\{1-\frac{3a}{2}\frac{\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e}_2}{r^2}\}\\


&=\boldsymbol{e}_2\times\boldsymbol{r}\frac{3a}{r^2}(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e}_1)+\boldsymbol{e}_1\times\boldsymbol{r}\frac{-3a}{r^2}(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e}_2)+2a\boldsymbol{n}\\

&=\frac{3a}{r^2}\{(\boldsymbol{e}_2\times\boldsymbol{r})(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e}_1)-(\boldsymbol{e}_1\times\boldsymbol{r})(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e}_2)\}+2a\boldsymbol{n}\\

&=2a\boldsymbol{n}+\frac{3a}{r^2}\{(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_2-(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e}_2)\boldsymbol{e}_1\}\times\boldsymbol{r}\\

&=2a\boldsymbol{n}+\frac{3a}{r^2}(\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{n})\times\boldsymbol{r}\\

&=2a\boldsymbol{n}+\frac{3a}{r^2}\{(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{n})\boldsymbol{r}-\boldsymbol{n}r^2\}\\

&=2a\boldsymbol{n}-3a\boldsymbol{n}+\frac{3a(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{n})\boldsymbol{r}}{r^2}\\

&=-a\boldsymbol{n}+\frac{3a}{r^2}(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{n})\boldsymbol{r}
\end{align}

これで$C$が求まった．よって，求めるべき磁気双極子による磁場は，

\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})=-\frac{\mu_0Ia}{4\pi}\{\boldsymbol{n}-\frac{3(\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{r})\boldsymbol{r}}{r^2}\}

である．一次までの項のTaylor展開の近似によって出てきた$3/2$の$3$が最後まで現れているのがなんとなく印象的な気がする．これは求められるのもかなり大切だとは思うが，結果として覚えておきたい．