TwitterがGIFに対応していました。
厳密にはGIFのアップロードに対応していて、Twitter側でmp4のムービーファイル形式に変換されて表示されます。
クリックすると再生する。
さて、このmp4ファイルですがTwitterAPIで取れるのでしょうか？
結果は以下の通りです。
*サードパーティAPI
そもそもmeida情報が送られてこない
*twitter for iPhone API
同上
というわけで、APIから直接ファイルURLを取得する事はできないようです。（隠しパラメータはあるかも）
ファイルは
https://pbs.twimg.com/tweet_video/xxxxxxxx.mp4
というURLに存在するようです。
xxxxxxxの部分が動画固有のIDになるようですが、これを取得する方法が分かれば表示出来そうですね。
追記：
ちなみにvineとはまた別の扱いのようです。
vineは
https://mtc.cdn.vine.co/r/videos/x.mp4
にアップロードされる