cargo new でgitを使わない（バージョン管理システムを指定する）方法

vcsオプション

※ cargo version 1.57.0時点です

通常、cargo newでプロジェクトを作成すると、.gitと.gitignoreが生成されます。（デフォルトでgitを使用するようになっています。）
--vcsオプションで使用するバージョン管理システムを変更することができます

cargo new {PROJECT_NAME}　--vcs {VCS}

--vcsで指定する値	バージョン管理システム
fossil	fossil
git	git
hg	Mercurial (Hg)
pijul	Pijul
none	未使用

以下のようにnoneを指定すると、.gitと.gitignoreは生成されません。

cargo new {PROJECT_NAME} --vcs none

デフォルト設定

ちなみに、~/.cargo/configファイルを編集することで、デフォルトで使用するバージョン管理システムを設定できるようです。
設定値は--vcsオプションで指定するものと同様で、以下のように設定すると、デフォルトでバージョン管理システムを使用しないようになります。

~/.cargo/config

[cargo-new]
vcs = "none"