JumpアカウントにIAMユーザーでログインして、スイッチロール先のCodeCommitにアクセスする方法です。
JumpアカウントのIAMユーザーにはMFAを有効化しています。
このような状況だとGRC(git-remote-codecommit)を用いると簡単にCodeCommitからcloneできます。

前提

Gitはインストール済み
Pythonはインストール済み
AWS CLIはインストール済み
MFAを有効化したIAMユーザーとスイッチロール先のIAMロールは作成済み
CodeCommitリポジトリは作成済み(ここでは「sample」リポジトリにしています)

GRCのインストール

pipを利用してGRCをインストールします。

pip install git-remote-codecommit

詳細は以下のURLを参照してください。
https://docs.aws.amazon.com/ja_jp/codecommit/latest/userguide/setting-up-git-remote-codecommit.html

AWS CLIのプロファイル設定

プロファイル(configファイルとcredentialsファイル)を直接修正します。

config

[default]
region = ap-northeast-1
output = json

[profile codecommit-profile]
role_arn = arn:aws:iam::YYYYYYYYYYYY:role/codecommit-role
source_profile = default
mfa_serial = arn:aws:iam::XXXXXXXXXXXX:mfa/ninja-yuki

role_arnは、スイッチロール先のIAMロールのARNです。
mfa_serialは、マネジメントコンソールでIAMユーザーの「セキュリティ認証情報」から確認できます。

credentials

[default]
aws_access_key_id = AAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
aws_secret_access_key = BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

aws_access_key_idとaws_secret_access_keyは、自身の値に変更してください。

プロファイルの場所は以下のURLを参考にしてみてください。
https://docs.aws.amazon.com/sdkref/latest/guide/file-location.html

GRCコマンドの確認

マネジメントコンソールでCodeCommitを開き、「URLのクローン」から「HTTPSのクローン(GRC)」をクリックします。

すると、「codecommit::ap-northeast-1://sample」が表示されます。
スイッチロールをしなければあとは「git clone codecommit::ap-northeast-1://sample」で、cloneできます。

GRCでcloneの実行

スイッチロールを伴う場合、profileを指定する必要があります。

git clone codecommit::ap-northeast-1://codecommit-profile@sample

VSCodeのGUIでGitの操作をする

VSCodeのターミナルでgitコマンドを実行すると、MFAが求められます。
ターミナルでMFAを通すと、VSCodeのGUIを利用できます。
GUIで操作したら長時間固まって動かないことがあります。
そんなときはターミナル「git fetch」などを実行して、再認証すると動きます。
ただ、VSCodeを一度終了しないといけないです。

もしかしたら他にいい方法があるかもしれません。