原因

Windowsのユーザ名に2バイト文字(日本語)が使われている

解決

Tempファイルの位置を移動させる。
コマンドプロンプトで以下を実行

mkdir C:\temp
set TEMP=C:\temp
set TMP=C:\temp

日本語が使われていなければどのディレクトリでも大丈夫です。
あとはコマンドプロンプトでも良いのでgem install sqlite3 --platform rubyを実行します。

エラー内容

"pkg-config --exists sqlite3"
| pkg-config --libs sqlite3
=> "-LC:/msys64/mingw64/lib lsqlite3\n"
"x86_64-w64-mingw32-gcc -o conftest.exe -IC:/Ruby26-x64/include/ruby-2.6.0/x64-mingw32 -IC:/Ruby26-x64/include/ruby-2.6.0/ruby/backward -IC:/Ruby26-x64/include/ruby-2.6.0 -I. -D__USE_MINGW_ANSI_STDIO=1 -DFD_SETSIZE=2048 -D_WIN32_WINNT=0x0600 -D__MINGW_USE_VC2005_COMPAT -D_FILE_OFFSET_BITS=64  -O3 -fno-fast-math -fstack-protector-strong conftest.c  -L. -LC:/Ruby26-x64/lib -L. -pipe -s -fstack-protector-strong     -lx64-msvcrt-ruby260  -lshell32 -lws2_32 -liphlpapi -limagehlp -lshlwapi  "
Cannot create temporary file in C:\Users\??????\AppData\Local\Temp\: Invalid argument
checked program was:
/* begin */
1: #include "ruby.h"
2:
3: #include <winsock2.h>
4: #include <windows.h>
5: int main(int argc, char **argv)
6: {
7:   return 0;
8: }
/* end */