「Mac × Sourcetree × Azure DevOps (旧VSTS)」でGitを使っているデザイナーです。
Gitのpullもpushもできなくなったのですが、無事解決しました。

結論

Sourcetree側で、以下のようにGitのURLを書き換えると、再びGitが使えるようになりました。

変更前：  
<組織名>@vs-ssh.visualstudio.com:v3/<プロジェクト名>

変更後：
git@ssh.dev.azure.com:v3/<組織名>/<プロジェクト名>

原因 (推測です)

VSTS (Visual Studio Team Services) → Azure DevOps
というように、「MicrosoftのGitのサービス」の名称が変わり、合わせてURLも変更される移行期間のゴタゴタに巻き込まれたのでは、と推測します。
2019年5月9日時点で、Azure DevOps (旧VSTS) のURLは以下の2つが存在する状態のようです。

旧：https://<組織名>.visualstudio.com
新：https://dev.azure.com/<組織名>

まとめ

当記事は、Azure DevOps (旧VSTS) × Sourcetree を使用しているときに生じる問題だと認識しています。Macでしか確認していないので、Windowsで発生するかは確認していません。

GitLab、GitHub、BacklogのGitを使ってきましたが、GitのURLが変わるというのは初めて経験しました。GitのURLが変わるということは、よくあることなのでしょうか?

エンジニアは問題なくGitを使えていて、デザイナー側だけで「なぜかGitが使えない」問題が生じたときは、使っているSourcetreeなどのツールを調べてみるとよさそうですね。