概要
maxと+の演算はmax-plus代数で記述すると結合法則とか単位元とか直感的(?)になって便利。
基本
$\mathbb{R}^{\rm max}=\mathbb{R}\cup\{-\infty\},\ \ a,b\in \mathbb{R}^{\rm max}$ に対して
- $a\oplus b=\max(a,b)$
- $a\otimes b=a+b$
例
${\rm f}(x)=\max(x+a,b)$, ${\rm g}(x)=\max(x+c,d)$ はmax-plus代数では
${\rm f}(x)=a\otimes x\oplus b$, ${\rm g}(x)=c\otimes x\oplus d$ となる。
${\rm f}({\rm g}(x))$を考えると $a\otimes c\otimes x\oplus a\otimes d\oplus b$ が得られるが、元の演算に戻すと
$\max(a+c+x, \max(a+d, b))$ となって一致する。