Dockerイメージをレジストリに登録する作業を自動化したい場合、build-push-actionというワークフローを利用することが多いと思います。このワークフローを使って、2020/09/03にオープンベータになったGitHub Container Registryにイメージをpushしたい場合は、おおよそ以下のようにすればよいです。

name: Publish Docker image
on: push
jobs:
  publish_image:
    runs-on: ubuntu-latest
    steps:
      - name: Push to GitHub Container Registry
        uses: docker/build-push-action@v1
        with:
          username: ${{ github.actor }}
          password: ${{ secrets.ACCESS_TOKEN }}
          registry: ghcr.io
          repository: example/example

ポイントは次の通りです。

registryはghcr.ioを指定します。
usernameはレポジトリにアクセスできるユーザを指定してください。なおここではワークフロー実行ユーザ名を格納するgithub.actorを利用しています。
passwordには、レポジトリへの読み取り・書き込み権限を有するアクセストークン(★)を指定する必要があります。

(★) アクセストークンを作成し、Github Actions内で利用できるようになるまでの手順は以下の通りです。

https://github.com/settings/tokens/new へアクセス。認証が求められる場合がある。
アクセストークン作成画面では、write:packagesとread:packagesに最低限チェックを付けて、Genereate Tokenを押下する。必要な場合はほかの権限も付与すること。
作成したアクセストークンを控えておく
Github Actionsを使うレポジトリに移動。
Settings > Secrets > New Secretの順番に移動。
Secret作成画面では、Name="任意の名前"(上記のサンプルではACCESS_TOKEN)、VALUE="3.で控えておいたアクセストークン"を指定して、Add Secretを押下。
これでワークフロー内で${{ secrets.任意の名前 }}という変数が利用できるようになります。