はじめに

【お詫び】
前回に第2回で説明すると書いたフーリエ変換との関係性ですが、
第3回の間違いのため訂正します。(第1回側は更新済み)

第2回目では、第1回で求めた値の$\sum$の部分を一般化して、近似について深堀りしていきます。
第1回の内容を先に見ることを推奨します。
【第0回】目次と概要
 【第1回】単純なモデルを解いてなれる

本記事の対象

高校3年生までの知識がわかっている人
具体的には

級数・無限級数

前回のあらすじ

【問題】下の式が最小になる$a_k$を求めよ。($a_k$の値をいじって$x$を$\sin$の集合で近似せよ。)

\int^{\pi}_{-\pi}(x-\sum^{n}_{k=1}a_k\sin kx)^2 dx　(a = {a_1, a_2, \cdots , a_k})

【式の変形】

\int^{\pi}_{-\pi}(x-\sum^{n}_{k=1}a_k\sin kx)^2 dx=\frac{2}{3}\pi^3-\frac{1}{\pi}\sum^{n}_{k=1}{b_k}^2+\pi\sum^{n}_{k=1}(a_k-\frac{1}{\pi}b_k)^2\\
\left(b_k = \frac{-2\pi(-1)^k}{k}\right)

【方程式】1, 2項目が$a_k$によって変化しない定数部分のため, 3項目が0になるように方程式を立てました。

\pi\sum^{n}_{k=1}(a_k-\frac{1}{\pi}b_k)^2 = 0\\
\left(b_k = \frac{-2\pi(-1)^k}{k}\right)

【解】

a_k = -2\frac{(-1)^k}{k}

級数から無限級数へ

前回解いた問題は$\sum$が$k=1$から$n$の部分まででしたが, $n\rightarrow\infty$に一般化します。

\frac{2}{3}\pi^3-\frac{1}{\pi}\sum^{\infty}_{k=1}{b_k}^2+\pi\sum^{\infty}_{k=1}(a_k-\frac{1}{\pi}b_k)^2\\
\left(b_k = \frac{-2\pi(-1)^k}{k}\right)

さて, あらすじで__【方程式】__ の欄を太字にしました。$a_k$を最小にする時点で、方程式が満たされるので第3項目は確実に0になります。
また、1項目は完全な定数です。
2項目は$a_k$が変化しても値は変化しませんが, $n$の値が変わると値は変化します。
$n\rightarrow\infty$にすることによって、第1項目と第2項目の和がどのような値になるか
(これも0に近づくのか)を調べてみます。

とりあえずの式変形

1項目と2項目の和

\displaystyle\frac{2}{3}\pi^3-\frac{1}{\pi}\sum^{\infty}_{k=1}{b_k}^2

まず、$b_k$の値を代入します。

 = \displaystyle \frac{2}{3}\pi^3-\frac{1}{\pi}\sum^{\infty}_{k=1}\left(\frac{-2\pi(-1)^k}{k}\right)^2\\

2乗を展開します。

 = \displaystyle \frac{2}{3}\pi^3-\frac{1}{\pi}\sum^{\infty}_{k=1}\left(\frac{4\pi^2(-1)^{2k}}{k^2}\right)\\

-1の偶数乗は1なので$(-1)^{2k}$を消します。

= \displaystyle \frac{2}{3}\pi^3-\frac{1}{\pi}\sum^{\infty}_{k=1}\frac{4\pi^2}{k^2}\\

$4\pi^2$は定数なので$\sum$の外に出します。

= \displaystyle \frac{2}{3}\pi^3-\frac{4\pi^2}{\pi}\sum^{\infty}_{k=1}\frac{1}{k^2}\\
= \displaystyle \frac{2}{3}\pi^3-4\pi\sum^{\infty}_{k=1}\frac{1}{k^2}

式変形ができました。無限級数の中の値がわかればよさそうです。

無限級数の中身

この問題は__バーゼル問題__といって、このようになることが知られています。

\sum^{\infty}_{k=1}\frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}

この式は私はわからなかったので証明しません。
__バーゼル問題高校数学__とかで調べると方法がが出てくるので興味があれば調べてみてください。

結局、値はどうなるの？

代入するとすぐに結果がわかります。

\begin{align}
\begin{array}{rcl}
&=& \displaystyle \frac{2}{3}\pi^3-4\pi\cdot \frac{\pi^2}{6}\\
&=& \displaystyle \frac{2}{3}\pi^3-\frac{2}{3}\pi^3\\
&=& \displaystyle 0\\
\end{array}
\end{align}

0になりました。
ここから、$n\rightarrow\infty$にすることで、値を完全に近似できることがわかりました。

最後に

今回は一般化part1ということで, $\sum$を一般化していきました(果たしてこれは一般化といえるのだろうか)。
次回は近似する関数、される関数を一般化して, フーリエ変換の公式に少し足を踏み入れていきます。

今回は説明がけっこう短かった。

次回: 【第3回】連続フーリエ変換の導入part2