vSphere 6.5 になってからvCenter ServerはC#のvsphere clientで接続できなくなったものの、ESXiについてはまだ接続できていました。

しかし、ESXi 6.5 Update 1 からはC#のvsphere clientで接続すると以下のポップアップが出力します。

ここで「インストーラを実行」や「インストーラを保存」をクリックすると以下のポップアップが出力します。

これについてはリリースノートに記載のとおり。

VMware ESXi 6.5 Update 1 リリースノート
https://docs.vmware.com/jp/VMware-vSphere/6.5/rn/vsphere-esxi-651-release-notes.html

Windows 用デスクトップ vSphere Client をインストールした後で ESXi ホストに接続すると、警告メッセージが表示される

デスクトップ vSphere Client は vSphere 6.5 で廃止され、サポートされていません。
ESXi 6.5 ホストに接続すると、次のような警告メッセージが表示されます。

必要なクライアントサポートファイルをサーバ「0.0.0.0」から取得して、
インストールする必要があります。「インストーラを実行」をクリックするか、
「インストーラを保存」をクリックします。

この場合は、VMware Host Client を使用してホスト管理操作を実行します。

ESXi 6.5 Update 1からはC#のvsphere clientはもう使えないみたいです。