制作をしている中で気づいたのでメモがわりに残しておきます。
同じ事象になっている人がいたら参考になるかもしれません。
test.jsx
<React.Strict>
<BrowserRouter>
</BrowserRouter>
</React.Strict>
上記のようにReact.StrictでBrowserRouterをラップするとURLは正常に変更されていても、画面遷移が行われない事象が起きました。公式ページを確認すると、Strictタグは使用しても、移動してもよいみたいなので、タグを削除するかBrowserRouter内に移動するかで解消できました。
具体的な原因まではまだ不明ですが、本番環境ではStrcitモードは特に関わりないのでStrictモードを使用せずの開発を行うのがひとまずの対応。
Strictモードに関しては参考リンクはこちら