相対性理論の読書会
cf.,「相対性理論「一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する」石井俊全著 ベレ出版 私家版索引」
https://qiita.com/nanbuwks/items/24c5eb49b22c50cc5588
において、僕の担当が
「第3章 テンソルと直線座標のテンソル場」-「§2 基底の取り換えと成分の書き換え」
でした。
教科書を読んでいたのですが記述がとてもわかりづらかったので、僕なりにわかりやすい形に説明できないかと作った資料です。
今回の記事の執筆方法
新しい記事の書き方として、ダイアグラムのイメージに埋め込み png ( emb.png 形式 ) を使用し、Qiita に貼り付けています。ダイアグラムは LibreOffice Draw で作成していて、Qiita 記事内の png から元 odg ファイルを復元することができます。
埋め込み png の詳細はこちらをご覧ください。
「PNG に編集ソースファイルを埋め込んで再編集可能にする その1」
https://qiita.com/nanbuwks/items/1af5b5ec87ebbe2a7712
( 実は今回のような記事を書くために上記の一連の開発を行ってきたものです。)
今回は、図と数式の両方に埋め込み png を使用しています。
ご注意：埋め込み png から復元した時に、画面が白くなっていることがあります。
そのときは、画面外に描画があります。
これは、元の odg ファイルが巨大な A0 サイズのシートで作成しているためです。
基底の取り換え
2種類の元と赤いベクトル
デカルト座標系中に、2種類の元を考えます。
緑の元を e1,e2、 紫の元を e'1,e'2 とします。
そして、デカルト座標系で4,1 にあるベクトルを赤く描いて a とします。
これを、デカルト座標系ではなく、緑の元を元にした座標系を考え、a を 緑の座標系で表します。
同じく、紫の座標系で a を表してみます。直交してない座標系として、幾何的に考えると簡単ですね。
式で表すと以下のようになります。ベクトル a を、様々な座標系で表すことができます。
紫の単位元を緑の座標系で表す
さて、紫の単位元も、緑の座標系で表すことができます。
紫の単位元を、緑で表すと係数がつきますが、
式で表すと以下のようになります。
赤のベクトルを異なる元で表す
実際に数値で計算してみます。
成分の書き換え
基底の取り換え行列を使って2種類の元の間で変換する
赤い a のベクトルを基底の取り換え行列を使うと紫から緑に変換できます。
逆行列を用いて逆方向に変換する
基底の取り換え行列の逆行列を用いると、緑から紫に変換できます。
