はじめに
垂直な直線の傾きの積が-1になる理由が分からなかったのでまとめました。
理由
直線上の任意の座標 $(x, y)$ を $90^\circ$ 回転させると、移動後の座標は $(-y, x)$ または $(y, -x)$ になります。
- 回転前の直線の傾き： $\frac{y}{x}$
- $90^\circ$ 回転後の直線の傾き： $\frac{-x}{y}$
この2つの傾きを掛け合わせると、
$$\frac{y}{x} \times \left(-\frac{x}{y}\right) = -1$$
となり、積が $-1$ になることが分かります。
応用：方程式の係数を入れ替えて垂直な直線を作る
この性質を利用すると、一般的な直線の方程式から、一瞬で垂直な直線を作ることができます。
元の直線を
$$ax + by + c = 0$$
（この直線の傾きは $-\frac{a}{b}$）
としたとき、 $x$ と $y$ の係数 $(a, b)$ を入れ替えて、片方の符号を反転させた $(b, -a)$ を使うと、
$$bx - ay + d = 0$$
（この直線の傾きは $\frac{b}{a}$）
となり、元の直線に対して垂直な直線へ簡単に変換できます。
（傾きの積が $-\frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = -1$ になるため）
おわりに
中学数学からやり直します。