hom関手
hom関手を体系的に説明する。その後、既存のhom関手の説明が難解な理由を説明する。
\newcommand\↑{\uparrow} % 関数
\newcommand\→{\rightarrow} % 関数
\newcommand\↓{\downarrow} % 関数
\newcommand\←{\leftarrow} % 関数
\newcommand\↗{\nearrow}
\newcommand\➘{\setarrow}
\newcommand\↖{\nwarrow}
\newcommand\↙{\swarrow}
\newcommand\↔{\leftrightarrow}
\newcommand\↕{\updownarrow}
\newcommand\⇆{\leftrightarrows}
\newcommand\⇄{\rightleftarrows}
\newcommand\⇅{\Updownarrow}
\newcommand\⊥{\bot}
\newcommand\⊤{\top}
\newcommand\⊣{\dashv}
\newcommand\⊢{\vdash}
\newcommand\⇈{\upuparrows}
\newcommand\⇉{\Rightarrow} % コンマ圏
\newcommand\⇊{\downdownarrows}
\newcommand\⇇{\leftleftarrows}
\newcommand\⇒{\implies}
\newcommand\⇐{\impliedby}
\newcommand\⇔{\iff}
\newcommand\⇑{\text{⇑}}
\newcommand\⇓{\text{⇓}}
\newcommand\◎{\circlearrowleft}
\newcommand\⦿{\circlearrowright}
\newcommand\∅{\emptyset}
\newcommand\∀{\forall}
\newcommand\∃{\exists}
\newcommand\∴{\therefore}
\newcommand\∵{\because}
\newcommand\∈{\in}
\newcommand\∋{\ni}
\newcommand\∉{\not\in}
\newcommand\∉{\not\ni}
\newcommand\⊂{\subset}
\newcommand\⊃{\supset}
\newcommand\∩{\cap}
\newcommand\∪{\cup}
\newcommand\∘{\circ}
\newcommand\・{\cdot}
\newcommand\‥{\cdots}
\newcommand\≅{\cong}
\newcommand\〜{\sim}
\newcommand\≃{\simeq}
\newcommand\≡{\equiv}
\newcommand\≠{\ne}
\newcommand\×{\times}
\newcommand\≦{\le}
\newcommand\≧{\ge}
\newcommand\↦{\mapsto}
\newcommand\∐{\sqcup}
\newcommand\◁{\triangleleft}
\newcommand\Δ{\Delta}
\newcommand\ε{\epsilon}
\newcommand\η{\eta}
\newcommand\dom{\mathrm{dom}}
\newcommand\cod{\mathrm{cod}}
\newcommand\qvr{\mathrm{Qvr}}
\newcommand\par{\mathrm{Par}}
\newcommand\sets{\mathrm{Set}}
\newcommand\cone{\mathrm{Cone}}
\newcommand\cocone{\mathrm{Cocone}}
\newcommand\colim{\mathrm{colim}}
\newcommand\op{^{\mathrm{op}}}
\newcommand\iv{^{-1}}
\newcommand\Ｐ{\mathbb{P}}
\newcommand\Ｕ{\mathbb{U}}
\newcommand\and{\quad\mathrm{and}\quad}
\newcommand\tild{\text{\textasciitilde}}
\newcommand\st{\text{ s.t. }} % such that
\newcommand\st{\text{ i.e. }}
\newcommand\lra[1]{\langle #1 \rangle}
\newcommand\【{\text{【}}
\newcommand\】{\text{】}}
\newcommand\⇧{\text{⇧}} % 関手
\newcommand\⇨{\text{⇨}} % 関手
\newcommand\⇩{\text{⇩}} % 関手
\newcommand\⇦{\text{⇦}} % 関手
\newcommand\⬆{\text{⬆}} % 自然変換
\newcommand\➡{\text{➡}} % 自然変換
\newcommand\⬇{\text{⬇}} % 自然変換
\newcommand\⬅{\text{⬅}} % 自然変換
\newcommand\○{\text{○}} % 対象
\newcommand\●{\text{●}}
\newcommand\◇{\text{◇}}
\newcommand\◆{\text{◆}}
\newcommand\□{\text{□}}
\newcommand\■{\text{■}}
\newcommand\★{\text{★}}
\newcommand\─{\text{─}}
\newcommand\│{\text{│}}
\newcommand\┌{\text{┌}}
\newcommand\└{\text{└}}
\newcommand\┐{\text{┐}}
\newcommand\┘{\text{┘}}
\newcommand\┬{\text{┬}}
\newcommand\┴{\text{┴}}
\newcommand\┤{\text{┤}}
\newcommand\├{\text{├}}
\newcommand\┼{\text{┼}}
\newcommand{\arDefComHomA}[5]{&{#5}\∈&[{#1},[{#2},{#3}]]_0& &{#4}}
\newcommand{\arDefComHomB}[9]{\∀{#4}\∈{#1}_0\st&{#6}\∈&[{#2},{#3}]_0&{#5}&\text{関手(関手圏の対象)}}
\newcommand{\arDefComHomC}[9]{\∀{#4}\∈{#1}_0,\∀{#5}\∈{#2}_0\st&{#8}\∈&{#3}_0& &\text{関手の対象}}
\newcommand{\arDefComHomD}[9]{\∀{#4}\∈{#1}_0,\∀{#5}\∈{#2}_1\st&{#7}\∈&{#3}_1&({#8},{#9})&\text{関手の射}}
\newcommand{\arDefComHomE}[7]{\∀{#4}\∈{#1}_1\st&{#5}\∈&[{#2},{#3}]_1&({#6},{#7})&\text{自然変換(関手圏の射)}}
\newcommand{\arDefComHomF}[8]{\∀{#4}\∈{#1}_1,\∀{#5}\∈{#2}_0\st&{#6}\∈&{#3}_1&({#7},{#8})&\text{自然変換の}{#5}\text{成分}}
\newcommand{\cdComHomAR}[7]{{#1} @>{#7}>手> {#2} @. {#3} @. {#4} @>{#5}>> {#6}}
\newcommand{\cdComHomAL}[7]{{#1} @>{#7}>手> {#2} @. {#3} @. {#4} @<{#5}<< {#6}}
\newcommand{\cdComHomB} {@. @. @V\★V\text{手}V @. @.}
\newcommand{\cdComHomC}[6] {{#1} @. {#3}_\★ @. {#2} @. {#5} @>{#4}>> {#6}}
\newcommand{\cdComHomDD}[4]{@V{#1}VV @V{#2}V\text{然}V @. @V{#3}VV @V{#4}VV}
\newcommand{\cdComHomDU}[4]{@A{#1}AA @V{#2}V\text{然}V @. @V{#3}VV @V{#4}VV}
\newcommand{\arComHomB}[1]{\□ &\⇨ &\□ &{#1}&_\★\⇩& &\⇩_0 &\⇩_1&\⇩_0}
\newcommand{\arComHomC}[7]{{#1}{#2}&\⇨_0&{#2}_\★&{#4}&{#3} &{#6}&{#2}\─&{#5} &\→\○&{#7}}
\newcommand{\arComHomD}[5]{{#1} &\⇨_1&\⬇ &{#3}&{#2} &{#4}&\↓ & \◎ & \↓&{#5}}
\newcommand{\mulHom}[6]{\displaylines{
\begin{array}{lrrll}
\arDefComHomA{C\op}{C}{\sets}{\text{反変関手}}#1 \\
\arDefComHomB{C\op}{C}{\sets}{a}{\text{(hom共変関手)}}#2 \\
\arDefComHomC{C\op}{C}{\sets}{a}{b}#2 \\
\arDefComHomD{C\op}{C}{\sets}{a}{g}#2 \\
\arDefComHomE{C\op}{C}{\sets}{f}#5 \\
\arDefComHomF{C\op}{C}{\sets}{f}{b}#6
\end{array}
\\ \\
\begin{CD}
\cdComHomAR{C\op}{[C,\sets]}{C}{b}{g}{b'}#1 \\
\cdComHomB \\
\cdComHomC {a}{\sets}#2 \\
\cdComHomDU{f}#3 \\
\cdComHomC {a'}{}#4
\end{CD}
\\ \\
\begin{array}{rllrrrlcrl}
C\op& &[C,&\sets]&C\□&b&\●\─&g&\→\○&b'\\
\arComHomB#1\\
\arComHomC{a}{\●}{\□}#2\\
\arComHomD{f\↑}{\sets}#3\\
\arComHomC{a'}{\○}{}#4
\end{array}
}}
\newcommand{\mulCoHom}[6]{\displaylines{
\begin{array}{lrrll}
\arDefComHomA{C}{C\op}{\sets}{\text{共変関手}}#1 \\
\arDefComHomB{C}{C\op}{\sets}{b}{\text{(hom反変関手)}}#2 \\
\arDefComHomC{C}{C\op}{\sets}{b}{a}#2 \\
\arDefComHomD{C}{C\op}{\sets}{b}{f}#2 \\
\arDefComHomE{C}{C\op}{\sets}{g}#5 \\
\arDefComHomF{C}{C\op}{\sets}{g}{a}#6
\end{array}
\\ \\
\begin{CD}
\cdComHomAL{C}{[C\op,\sets]}{C\op}{a}{g}{a'}#1 \\
\cdComHomB \\
\cdComHomC {b}{\sets}#2 \\
\cdComHomDD{g}#3 \\
\cdComHomC {b'}{}#4
\end{CD}
\\ \\
\begin{array}{rllrrrlcrl}
C& &[C\op,&\sets]&C\op\□&a&\●\←&f&\─\○&a'\\
\arComHomB#1\\
\arComHomC{b}{\●}{\□}#2\\
\arComHomD{g\↓}{\sets}#3\\
\arComHomC{b'}{\○}{}#4
\end{array}
}}
\newcommand{\mulDiag}[6]{\displaylines{
\begin{array}{lrrll}
\arDefComHomA{C}{I}{C}{\text{対角関手}}#1 \\
\arDefComHomB{C}{I}{C}{a}{\text{定関手}}#2 \\
\arDefComHomC{C}{I}{C}{a}{i}#2 \\
\arDefComHomD{C}{I}{C}{a}{u}#2 \\
\arDefComHomE{C}{I}{C}{f}#5 \\
\arDefComHomF{C}{I}{C}{f}{i}#6
\end{array}
\\ \\
\begin{CD}
\cdComHomAR{C}{[I,C]}{I}{i}{u}{j}#1 \\
\cdComHomB \\
\cdComHomC {a}{C}#2 \\
\cdComHomDD{f}#3 \\
\cdComHomC {b}{}#4
\end{CD}
\\ \\
\begin{array}{rllrrrlcrl}
C& &[I,&C]&C\□&i&\●\─&u&\→\○&j\\
\arComHomB#1\\
\arComHomC{a}{\●}{\□}#2\\
\arComHomD{f\↓}{C}#3\\
\arComHomC{b}{\○}{}#4
\end{array}
}}
凡例:(数学・圏論の標準以外)
| 記号 | 意味 |
|---|---|
| → | 射 |
| ⇨ | 関手。$F:A$⇨$B$ |
| ⇨$_0$ | 関手の対象間の写像。$F_0:A_0$⇨$_0B_0$ |
| ⇨$_1$ | 関手の射間の写像。$F_1:A_1$⇨$_1B_1$ |
| ➡ | 自然変換 |
| ○□◇ | 対象 |
| ● | 強調する対象 |
| ★ | 図式内で、関連する箇所を表す印 |
| 【...】 | サブ記法 |
| $(a;\≡;b)$ | $C(a,b)$(対象$a,b$間に射が複数あるイメージ) |
説明:関数を直積の部分集合として表示
$C(a, g:b\→ b') :={(x, x;g\【=g\∘ x\】)|x\∈ C(a,b)}\⊂ C(a,b)\× C(a ,b')$
$C(f:a'\→ a, b) :={(x, f;x\【=x\∘ f\】)|x\∈ C(a,b)}\⊂ C(a,b)\× C(a',b )$
hom共変関手
定義:hom共変関手【hom関手, hom functor】
(自然性公理・関手の準同型などが成り立つように定める)
\mulHom{{C(?,-)}}
{{C(a,-)}{C(a,g)}{C(a,b)}{C(a,b')}}
{{C(f,-)}{C(f,b)}{C(f,b')}}
{{C(a',-)}{C(a',g)}{C(a',b)}{C(a',b')}}
{{C(f,-)}{C(a,-)}{C(a',-)}}
{{C(f,b)}{C(a,b)}{C(a',b)}}
別記号体系での図式
\mulHom{{H^-}}
{{H^{a}}{H^a(g)}{H^a(b)}{H^a(b')}}
{{H^f}{H^f(b)}{H^f(b')}}
{{H^{a'}}{H^{a'}(g)}{H^{a'}(b)}{H^{a'}(b')}}
{{H^f}{H^a}{H^{a'}}}
{{H^f(b)}{H^a(b)}{H^{a'}(b)}}
別記号体系での図式((西郷-道案内))
\mulHom{{h_-}}
{{h_{a}}{h_a(g)}{h_a(b)}{h_a(b')}}
{{h_f}{h_f(b)}{h_f(b')}}
{{h_{a'}}{h_{a'}(g)}{h_{a'}(b)}{h_{a'}(b')}}
{{h_f}{h_a}{h_{a'}}}
{{h_f(b)}{h_a(b)}{h_{a'}(b)}}
別記号体系での図式(独自、実験的、文章逆順合成記号 $\∘$ から類推)
補足説明:圏論標準での $-\∘ f$ 記号はこの図式の $b\∘ f$ 相当でも使用されるので、知らずにいると理解を妨げるかもしれない。
\mulHom{{-\∘ ?}}
{{-\∘ a}{g\∘ a}{b\∘ a}{b'\∘ a}}
{{-\∘ f}{b\∘ f}{b'\∘ f}}
{{-\∘ a'}{g\∘ a'}{b\∘ a'}{b'\∘ a'}}
{{-\∘ f}{-\∘ a}{-\∘ a'}}
{{b\∘ f}{b\∘ a}{b\∘ a'}}
別記号体系での図式(独自、実験的、文章順合成記号を使用)
\mulHom{{?;-}}
{{a;-}{a;g}{a;b}{a;b'}}
{{f;-}{f;b}{f;b'}}
{{a';-}{a';g}{a';b}{a';b'}}
{{f;-}{a;-}{a';-}}
{{f;b}{a;b}{a';b}}
文章順合成記号による図式で、homの内部を見える化
\mulHom{{?;-}}
{{a;-}{(a;\≡;b;g)}{a;b=(a;\≡;b)}{(a;\≡;b;g;b')\⊂ a ;b'}}
{{f;-}{(f;a;\≡;b)}{(f;a;\≡;b;g;b')}}
{{a';-}{(a';f;a;\≡;b;g)}{a';b\⊃(a'f;a;\≡;b)}{(a'f;a;\≡;b;g;b')\⊂ a';b'}}
{{f;-}{a;-}{a';-}}
{{f;b}{a;b}{a';b}}
hom反変関手
定義:hom反変関手【hom contravariant functor】米田埋め込み【Yoneda embedding】
(自然性公理・関手の準同型などが成り立つように定める)
\mulCoHom{{C(-,?)}}
{{C(-,b)}{C(f,b)}{C(a,b)}{C(a',b)}}
{{C(-,g)}{C(a,g )}{C(a',g)}}
{{C(-,b')}{C(f,b')}{C(a,b')}{C(a',b')}}
{{C(-,g)}{C(-,b)}{C(-,b')}}
{{C(a,g)}{C(a,b)}{C(a,b')}}
別記号体系での図式
\mulCoHom{{H_-}}
{{H_b}{H_b(f)}{H_b(a)}{H_b(a')}}
{{H_g}{H_g(a)}{H_g(a')}}
{{H_{b'}}{H_{b'}(f)}{H_{b'}(a)}{H_{b'}(a')}}
{{H_g}{H_b}{H_{b'}}}
{{H_g(a)}{H_b(a)}{H_{b'}(a)}}
別記号体系での図式((西郷-道案内))
\mulCoHom{{^-h}}
{{^bh}{^bh(f)}{^bh(a)}{^bh(a')}}
{{^gh}{^gh(a)}{^gh(a')}}
{{^-{b'}h}{^{b'}h(f)}{^{b'}h(a)}{^{b'}h(a')}}
{{^gh}{^bh}{^{b'}h}}
{{^gh(a)}{^bh(a)}{^{b'}h(a)}}
別記号体系での図式(独自、実験的、文章逆順合成記号 $\∘$ から類推)
補足説明:圏論標準での $g\∘-$ 記号はこの図式の $g\∘ a$ 相当でも使用されるので、知らずにいると理解を妨げるかもしれない。
\mulCoHom{{?\∘ -}}
{{b\∘ -}{b\∘ f}{b\∘ a}{b\∘ a'}}
{{g\∘ -}{g\∘ a}{g\∘ a'}}
{{b'\∘ -}{b'\∘ f}{b'\∘ a}{b'\∘ a'}}
{{g\∘ -}{b\∘ -}{b'\∘ -}}
{{g\∘ a}{b\∘ a}{b'\∘ a}}
別記号体系での図式(独自、実験的、文章順合成記号を使用)
\mulCoHom{{-;?}}
{{-;b}{f;b}{a;b}{a';b}}
{{-;g}{a;g}{a';g}}
{{-;b'}{f;b'}{a;b'}{a';b'}}
{{-;g}{a;b}{-;b'}}
{{a;g}{a;b}{a;b'}}
文章順合成記号による図式で、homの内部を見える化
\mulCoHom{{-;?}}
{{-;b}{(f;a;\≡;b)}{a;b=(a;\≡;b)}{(a';f;a;\≡;b)\⊂ a';b}}
{{-;g}{(a;\≡;b;g)}{(a';f;a;\≡;b;g)}}
{{-;b'}{(f;a;\≡;b;g;b')}{a;b'\⊃(a;\≡;b;g;b')}{(a';f;a;\≡;b;g;b')\⊂ a';b'}}
{{-;g}{a;b}{-;b'}}
{{a;g}{a;b}{a;b'}}
対角関手
定義:I型図式【diagram of shape/type/index I 】部分圏【subcategory】
前提: $C$ は圏
前提: $I$は 小圏
$D$ は $I$ 型図式
$:\⇔ D : I\⇨C$ は関手、すなわち $D : I\⇨ C\∈ [I,C]\【= C^I\】$
$I$ を固定し、$D(I)\⊂ C$を改めて $D\⊂ C$ とすると次を満たすので、部分圏とも呼ぶ
$i,j,k\∈ I_0, u : i\→ j, v : j\→ k\∈ I_1$ とすると
$Di\【=D(i)\】\∈ D_0$ :表記、独自
$Dj, Dk\∈ D_0$
$u\【=D(u)\】: Di\→ Dj\∈ D_1$ :記号の再定義、独自
$v : Dj\→ Dk\∈ D_1$
$1_Di : Di\→ Di\∈ D_1$
$u;v\【= v\∘ u】= D(u);D(v)\【= D(v)\∘ D(u)\】= D(u;v)\【= D(v\∘ u)\】\∈ D_1$
用語: $I$ 型図式の $I$ をインデックス圏【添字圏, index category】と呼ぶ
補足説明:添字集合【index set】の一般化
\begin{array}{rrcll}
I\□&∀ i\○&\─\∀ u\→&\○\∀ j&\∈I\text{型}\\
D\⇩& \⇩_0& \⇩_1 &\⇩_0 &D : I\⇨C\∈[I,C]_0\【= C^I\】\text{は}I\text{型図式}\\
C\□& Di\○&\─ u\→&\○Dj &\∈\text{部分圏}D
\end{array}
定義:対角関手【diagonal functor】
前提: $C$ は圏
前提: $I$ は小圏
(自然性公理・関手の準同型などが成り立つように定める)
用語:$\Δa$ は定関手【constant functor, 定数関手】
\mulDiag{{\Δ}}
{{\Δ a}{\Δ a(u)=1_a}{\Δ a(i)=a}{a=\Δ a(j)}}
{{\Δ f} {\Δ f(i)=f}{f=\Δ f(j)}}
{{\Δ b}{\Δ b(u)=1_b}{\Δ b(i)=b}{b=\Δ b(j)}}
{{\Δ f}{\Δ a}{\Δ b}}
{{\Δ f(i)=f}{\Δ a(i)}{\Δ b(i)}}
$I$ が2つの対象からなる離散圏の場合、①の等式が成り立つと圏論のいくつかの本に記載されている。
②の等式が成り立つと筆者は誤解してしまったので、念の為注意喚起。
\newcommand\Dt{D\tild}
\begin{array}{lcl}
(a,a)&\∈&C\×C\\
|| & &||\text{①}\\
\Δa &\∈&[I,C]\\
\neg || & &\neg ||\text{②}\\
a\×a &\∈&C
\end{array}
補足説明: $a\× a$ は極限の一つで、コンマ圏 $(\Δ\⇉ I)$ ( $I$ は離散圏)の終対象として、$\Δ$ も使用して改めて定義されるもの。
補足説明:①の等式はこの後明示的には使用しないため、忘れて構わない。
既存のhom関手の説明が難解な理由
- 関手圏への関手、関手圏、関手(関手圏の対象)、関手の対象の対応、関手の射の対応、自然変換(関手圏の射)、自然変換の成分、これらの関係を一気に端的に表示していない。数学業界では不用意に説明を述語論理記号($\∀\∃$)で表現してはいけないルールがあるらしい。世の中の解説資料が、例外なく文章によって表しているため、学習者に脳内で関係をまとめる負荷を強いている。
- 射や圏を改めて対象とみなすのが圏論の醍醐味だが、図式はこの用途には不適である。本稿では各記号体系毎にCD環境による図式を1段目に示した。配置により関係付けを示したが表現力に限界を感じた。array環境による図を2段目に示した。矢印を記号として自由に配置することで、hom関手の理解に必要な情報を一通り入れ込めた。
- 数学業界の大半では、作用の順番が文章とは逆順に合成させるため、学習者に脳内変換の負荷を強いている。世の中には同じ問題意識を持つ方もおり、文章順に作用させる「;」記号を導入する資料がいくつかある。
- hom関手を表現する記号体系がいくつかあり、学習者に負荷を強いている。本稿では世の中の一通りの記号体系と、文章順合成記号による追加の記号体系による同じ意味の図式と図を示した。特にhomの内部を文章順合成記号で示したものは、hom-setの理解を促進するものと自負している。
補足情報
本資料内では、Markdown中に $\TeX$ コマンドを使用していますが、newcommandでマクロを使用し共通化しています。ソースを表示することで、各記号体系間の関係を $\TeX$ として理解することもできます。