Help us understand the problem. What is going on with this article?

エラトステネスの篩→素因数分解→二項係数 with mod (JavaScript)

篩を使えば素因数分解できるし、素因数分解できるなら、そこそこ大きい二項係数 with mod も溢れず計算できるね、というだけの記事。

まず単純な実装のエラトステネスの篩。

const sieve = max => {
    const m = Math.ceil(Math.sqrt(max));
    const s = [];
    for (let p = 2; p <= m; p++)
        if (!s[p])
            for (let q = p * p; q <= max; q += p)
                s[q] = p;
    return s;
};

false / true ではなく、素因数のうちどれか一つ / 無ければ undefined が入っている(0 で初期化してもいいけどサボり)。
つまり、n2 以上で sieve[n]undefined なら素数、と言うことになる。

こうしておくと次のようにして素因数分解ができる。

const factors = function* (n, s = sieve(n)) {
    if (n <= 1) return;
    for (; s[n]; n /= s[n]) yield s[n];
    yield n;
};
console.log([...factors(360)]); // [5, 3, 3, 2, 2, 2]

素因数分解ができたということは、競プロなんかでよく使うと噂の二項係数 with mod も書ける (特に速くはないけれど)。

とりあえず $ a^b \mod c $ を定義しまして...。

const modpow = (a, b, c) =>
    b < 1 ? 1 : b & 1 ?
        a * modpow(a, b - 1, c) % c :
        (modpow(a, b >> 1, c) ** 2) % c;

本題の $_nC_k\mod p$ はこんな感じ。

const nCkMp = (n, k, p, s = sieve(n)) => {
    k = Math.min(k, n - k);
    const a = [];
    for (let i = 0; i < k; i++) {
        for (const f of factors(n - i, s))
            a[f] = (a[f] | 0) + 1;
        for (const f of factors(k - i, s))
            a[f] = (a[f] | 0) - 1;
    }
    return a.reduce((n, v, k) => n * modpow(k % p, v, p) % p, 1);
};

$_nC_k$ が整数になることはわかりきってるので、素因数の多重集合 a で扱って重複度キャンセルして最後に乗算。

適当な値で測ってみる。

console.time();
let r = nCkMp(1000, 300, 1e9 + 7);
console.timeEnd();
console.log(r); // 626555557

手元の Node.js v12.13.1だと平均して 1.2 ms 前後。
割を食っているのは generator なんで、ここをインライン化すれば 0.7 ms くらい。
篩の実装頑張ればもう少し速くなるかも。
もっと値が大きい時は、篩を再利用したり foctors 内部をメモ化したりしないと悲しい感じになる気がする。

競プロ等だと逆元テーブル化とか使うだろうし出番はなさそうだけれど、法が素数に限定されない & 毎度変わっても大丈夫なのは割と便利かもしれない。

まあ、こんな方向でも求められるよね、とぬるいことを言ってお茶を濁しておしまい。

Why not register and get more from Qiita?
  1. We will deliver articles that match you
    By following users and tags, you can catch up information on technical fields that you are interested in as a whole
  2. you can read useful information later efficiently
    By "stocking" the articles you like, you can search right away
Comments
Sign up for free and join this conversation.
If you already have a Qiita account
Why do not you register as a user and use Qiita more conveniently?
You need to log in to use this function. Qiita can be used more conveniently after logging in.
You seem to be reading articles frequently this month. Qiita can be used more conveniently after logging in.
  1. We will deliver articles that match you
    By following users and tags, you can catch up information on technical fields that you are interested in as a whole
  2. you can read useful information later efficiently
    By "stocking" the articles you like, you can search right away