$△PI_kQ$の内心は$∠P$の二等分線と$∠Q$の二等分線の交点なので、
$∠I_{k+1}PQ=\frac{1}{2}∠I_kPQ$ $…①$
$∠I_{k+1}QP=\frac{1}{2}∠I_kQP$ $…②$
が言えます。
$①+②$より
$∠I_{k+1}PQ+∠I_{k+1}QP=\frac{1}{2}(∠I_kPQ+∠I_kQP)$ $…③$
です。
また、三角形の内角の和は$180°$なので、$③$の両辺を変形して、
$180°-∠PI_{k+1}Q=\frac{1}{2}(180°-∠PI_kQ)$ $…④$
になります。
$④$の$180°-∠PI_□Q$は$∠PI_□Q$の外角です。
つまり$∠PI_kQ$の外角の半分の角度が$∠PI_{k+1}Q$の外角です。
$k=1,2,…$となると、$∠PI_kQ$の外角が半分、また半分と小さくなっていきます。
$∠PI_kQ$が整数なので、$∠PI_kQ$の外角、つまり$180°-∠PI_kQ$も整数にならないといけません。
ここから$N$を求めます。
$180°-∠PI_nQ$
$=\frac{1}{2}×(180°-∠PI_{n-1}Q)$ ($()$内は$2$の倍数)
$=\frac{1}{2^2}×(180°-∠PI_{n-2}Q)$ ($()$内は$2^2$の倍数)
$=\frac{1}{2^3}×(180°-∠PI_{n-3}Q)$ ($()$内は$2^3$の倍数) $…⑤$
$2^□$で$180$以下の最大値は$128(=2^7)$です。
$∠PI_1Q$の外角が$128°$のとき、$N=7$でこれが唯一$N=7$になるパターンです。
($0$〜$180$のうち、$128$で割り切れるのは$128$だけなので。)
$∠PI_1Q$の外角が$128°$(の倍数)なので、$180-128=52°$が解になります。