ChatGPT-3.5先生へ(???間違っています。???)

2回微分可能な関数f(x)が，すべての実数xについて次の等式を満たしている．
f(x)=2+integrate(sin(x-t)*f(t),(t,0,x))
このとき，f''(x)が定数であることを示せ．また，f(0)およびf'(x)の値から，
f''(x)とf(x)をそれぞれ求めよ．

？？？　したがって、結論として、f(x) は定数であり、f ′′(x) も定数です。

sympyで

sympyのソースコードあり。(省略) 　　？？？　私は、修正、対応できませんでした。

Mathematicaで

いつの日か、実行してみたい。

(参考)

WolframAlphaで(できませんでした。)

＞次をお試しください：
でした。

sympyで(数学入試問題様の方法を参考に)

以下は、プログラムでは、ありません。数学入試問題様の解答を転写です。

# プログラムでは、ありません。数学入試問題 様の解答を転写です。
from sympy import *
var('x,t'  ,real=True)
var('C1,C2',real=True)
f,f0,f1,f2=map( Function,('f','f0','f1','f2'))
fx=2+Integral(       sin(x-t)           *f(t),(t,0,x))               ;print("# f  =",fx)
f0=2+Integral(expand(sin(x-t),trig=True)*f(t),(t,0,x))               ;print("#    =",f0)
f0=2+sin(x)*Integral(f(t)*cos(t),(t,0,x))  \
    -cos(x)*Integral(f(t)*sin(t),(t,0,x))                            ;print("#    =",f0)
print()
f1=f0.diff()                                                         ;print("# f1 =",f1)
print()
f2=f1.diff()                                                         ;print("# f2 =",f2)
f2=-sin(x)*Integral(f(t)*cos(t),(t,0,x))+cos(x)*f(x)*cos(x) \
   +cos(x)*Integral(f(t)*sin(t),(t,0,x))+sin(x)*f(x)*sin(x  )        ;print("#    =",f2)
f2=f2.simplify()                                                     ;print("#    =",f2)
print()
f2 =f2.subs({f0:f(x)})                                               ;print("# f2 =",f2)
print()
f1s=f2*x+C1                                                          ;print("# f1 =",f1s)
f1s=f1s.subs({C1:solve( Eq(f1.subs({x:0}),f1s.subs({x:0}) ),C1)[0]}) ;print("#    =",f1s)
f0s=integrate( f1s,x )+C2                                            ;print("# f0 =",f0s)
f0s=f0s.subs({C2:solve( Eq(f0.subs({x:0}),f0s.subs({x:0}) ),C2)[0]}) ;print("#    =",f0s)
# f  = Integral(-f(t)*sin(t - x), (t, 0, x)) + 2
#    = Integral((-sin(t)*cos(x) + sin(x)*cos(t))*f(t), (t, 0, x)) + 2
#    = sin(x)*Integral(f(t)*cos(t), (t, 0, x)) - cos(x)*Integral(f(t)*sin(t), (t, 0, x)) + 2

# f1 = sin(x)*Integral(f(t)*sin(t), (t, 0, x)) + cos(x)*Integral(f(t)*cos(t), (t, 0, x))

# f2 = f(x)*sin(x)**2 + f(x)*cos(x)**2 - sin(x)*Integral(f(t)*cos(t), (t, 0, x)) + cos(x)*Integral(f(t)*sin(t), (t, 0, x))
#    = f(x)*sin(x)**2 + f(x)*cos(x)**2 - sin(x)*Integral(f(t)*cos(t), (t, 0, x)) + cos(x)*Integral(f(t)*sin(t), (t, 0, x))
#    = f(x) - sin(x)*Integral(f(t)*cos(t), (t, 0, x)) + cos(x)*Integral(f(t)*sin(t), (t, 0, x))

# f2 = 2
# f1 = C1 + 2*x
#    = 2*x
# f0 = C2 + x**2
#    = x**2 + 2

sympyで(Laplace_transform風で)

途中、ウソをついてます。申し訳ありません。 ？？？ｘ→ｔ→ｘｔ単体だと、動くはずです。
　アドバイスいただけると助かります。
　???そのため、2.00000000000000　がでるのかもしれません。
sympy.integrals.transforms.laplace_transform(f, t, s, legacy_matrix=True, **hints)
https://docs.sympy.org/latest/modules/integrals/integrals.html#sympy.integrals.transforms.laplace_transform
sympy.integrals.transforms.inverse_laplace_transform(F, s, t, plane=None, **hints)
https://docs.sympy.org/latest/modules/integrals/integrals.html#sympy.integrals.transforms.inverse_laplace_transform

# 途中、ウソをついてます。申し訳ありません。
from sympy import *
var('x,s',real=True)
var('t'  ,real=True,positive=True)
Y,y,f=map( Function,('y','Y','f'))
def myLap  (g):
     if g==y(t): return Y(s)
     else:       return laplace_transform(g,t,s)[0]
def myLapInv(g):
     return inverse_laplace_transform(g,s,t).evalf().simplify()
def myMain(myEq):
     myEq=myEq.subs({f(x):y(t)})                                     #;print(myEq)
     myEq=myEq.subs({sin(x-t)*f(t):sin(s-t)*y(s)})                   #;print(myEq)
     myEq=myEq.subs({x:t})                                           #;print(myEq)
     myEq=Eq(myLap(myEq.lhs),myLap(2)+ myLap(sin(t)) *myLap(y(t))  ) #;print(myEq)
     return myLapInv(solve(myEq,Y(s))[0]).subs({t:x})
myEq=Eq(f(x),2 +Integral(sin(x-t)*f(t),(s,0,x)))                     ;print("#",myEq ) 
fx  =myMain(myEq)                                                    ;print("#",fx       ,",",fx .subs({x:0}) )
fx1 =fx.diff(x,1)                                                    ;print("#",fx1,6*" ",",",fx1.subs({x:0}) )
fx2 =fx.diff(x,2)                                                    ;print("#",fx2  )
# Eq(f(x), Integral(-f(t)*sin(t - x), (s, 0, x)) + 2)
# x**2 + 2.0 , 2.00000000000000
# 2*x        , 0
# 2

いつもの? sympyの実行環境と参考のおすすめです。

(テンプレート)

いつもと違うおすすめです。

wikipedia
＞A linear Volterra equation of the second kind is

Qiita内