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@mrrclb48z

中高校生のみなさまへ。<1/2>「高校入試問題。円の難問2023千葉県数学3(3)」をsympyとFreeCADで作図しました。

Last updated at Posted at 2023-10-11

・問題文は2次元ですが、３次元FreeCADのマクロで、XY平面上に作図しました。

みなさまへ

◎お忙しい中高校生の方には、ムダに?私の長文なので、
さらっと,<2/2>も見てもらえると助かります。

◎大人の方には、解答へのオススメの手順です。
①問題文だけを見て、さらっとわかるかも。
②問題文の前ページを見て。さらっとわかるかも
③qiitaの<1/2>本ページ内のリンクyoutubeを見て、確認されるかも。
④qiitaの<1/2>本ページを見て、変な事やって作図しているなあ。です。
⑤qiitaの<2/2>次ページを見て、類題過去問ありますか?

以上、くどくて、申し訳ありません。それでは、どうぞ。

問題文3(3)

ページP8の下半分です。

＜URL
https://homepage1.canvas.ne.jp/ynaka/R5PDF/12chiba.pdf#page=12
12千葉県＜●R5全問＜数学苦手な中学生，応援します
http://homepage1.canvas.ne.jp/ynaka/

解答3(3)

(0:00~5:43)

(47:25~55:00)

sympy風に(数学を数楽に 様の方法を参考に)

＞相似が見えますよね。(数学を数楽に 様 3:15)
＞90度。いっぱいあるよね。(東大合格請負人 様 48:31)
点Eに、直角(90度)が3つ、見えます。
＞長さを求めなさい。中学校3年生です。三平方の定理と相似(1:50)
＞半弦の弧に対する円周角(3:14)
＞共通している部分があるよね(3:28)

プログラムは、次節です。
以下は,大人も小人もマネしないで下さい。
以下は、プログラムでは、ありません。数学を数楽に 様のyoutubeを転写です。

# 以下は,大人も小人もマネしないで下さい。プログラムではありません。。
# 右端の　＃(xx.xx)　は、数学を数楽に 様のyoutubeの時間です。
from sympy import *
var('AB'           ,real=True,positive=True)
var('BF'           ,real=True,positive=True)
var('degBEC,degBEF',real=True,positive=True)
var('degCEF,degAEB',real=True,positive=True)
var('degFEC,degDEC',real=True,positive=True)
var('degDBC'       ,real=True,positive=True)
var('maru,batu'    ,real=True,positive=True)
var('x'            ,real=True,positive=True)
(EG,GF)        =(1,2)   ;print("# EG,GF        =",EG,GF)            #(0:35)
(degAEF,degEAF)=(90,30) ;print("# degAEF,degAEF=",degAEF,degEAF)    #(0:35)
# 
EF=EG+GF                         ;print("# EF=",EF  )               #(0:40)
AE=EF*sqrt(3)                    ;print("# AE=",AE  )               #(1:06)
AF=EF*2                          ;print("# AF=",AF  )               #(1:10)
eq01=Eq(AB,AF-BF)                ;print("# 01" ,eq01)               #(1:16)
eq02=Eq(degBEC,90)               ;print("# 02" ,eq02)               #(1:54)
eq03=Eq(degBEF,maru)             ;print("# 03" ,eq03)               #(2:04)
eq04=Eq(degAEB,batu)             ;print("# 04" ,eq04)               #(2:08)
eq05=Eq(maru+batu,90)            ;print("# 05" ,eq05)               #(2:09)
# 
eq06=Eq(degBEF+degFEC,90)        ;print("# 06" ,eq06)               #(2:15)
eq07=Eq(eq03.rhs+degCEF,eq05.lhs);print("# 07" ,eq07)               #(2:15)
degCEF=solve(eq07,degCEF)[0]     ;print("#   ∠CEF",degCEF)         #(2:16)
# 
eq08=Eq(degCEF+degDEC,90)        ;print("# 08" ,eq08)               #(2:28)
degDEC=solve( eq08.lhs-eq05.lhs,degDEC)[0] \
                                 ;print("#   ∠DEC",degDEC)          #(2:30)
# 
eq09=Eq(degDEC,degDBC)           ;print("# 09" ,eq09)               #(2:40)      
degDBC=solve( eq09,degDBC)[0]    ;print("#   ∠DBC",degDBC)          #(2:40)
# △EBFに注目
eq10=Eq(degDEC,degDBC)           ;print("# 10"     ,eq10)           #(3:10) 
# △EFB∽△BFG
eq11=Eq(BF,x)                    ;print("# 11"     ,eq11)           #(3:10)
eq12=Eq(EF/x,x/GF)               ;print("# 12"     ,eq12)           #(4:17)
ans=solve(eq12)[0]               ;print("#    BF=" ,ans )           #(4:20)
AB=solve(eq01)[0][AB]            ;print("#    AB=" ,AB  )           #(4:30)
AB=AB.subs({BF:ans})             ;print("#    AB=" ,AB  )           #(4:44)
# EG,GF        = 1 2
# degAEF,degAEF= 90 30
# EF= 3
# AE= 3*sqrt(3)
# AF= 6
# 01 Eq(AB, 6 - BF)
# 02 Eq(degBEC, 90)
# 03 Eq(degBEF, maru)
# 04 Eq(degAEB, batu)
# 05 Eq(batu + maru, 90)
# 06 Eq(degBEF + degFEC, 90)
# 07 Eq(degCEF + maru, batu + maru)
#   ∠CEF batu
# 08 Eq(batu + degDEC, 90)
#   ∠DEC maru
# 09 Eq(maru, degDBC)
#   ∠DBC maru
# 10 True
# 11 Eq(BF, x)
# 12 Eq(3/x, x/2)
#    BF= sqrt(6)
#    AB= 6 - BF
#    AB= 6 - sqrt(6)

sympyで(いつものスタイルで)

・求める値は、ABの長さと円の半径です。solveで連立方程式です。
・全点座標計算を目標です。具体的な値は、次節のFreecad作図でしました。
・角度チェック計算を追加しました。∠FBGと∠BEFの角度です。

from sympy import *
var('AB,r',real=True,positive=True)
A=Point(0   ,0)
B=Point(AB  ,0)
F=Point(6   ,0)
O=Point(AB+r,0)
E=Point(3/2*sqrt(3)*sqrt(3),3/2*sqrt(3))
G=E+Rational(1,3)*(F-E)
D=Line(A,E).intersection(Line(B,G))[0]
ABr=solve( [Eq(O.distance(E),r),Eq(O.distance(D),r) ],[AB,r] )
print("#",sqrtdenest(ABr[0][0]),",",ABr[0][1])
# 6 - sqrt(6) , 3/5 + 7*sqrt(6)/5

print() #角度チェック計算
mySubs={AB:sqrtdenest(ABr[0][0]),r:ABr[0][1]}
O=O.subs(mySubs)
B=B.subs(mySubs)
C=(O+Point(2*r,0)).subs(mySubs)
D=D.subs(mySubs)
FBG=Line(B,F).angle_between(Line(B,G))
BEF=Line(E,B).angle_between(Line(E,F))
print("#",float(FBG*180/pi),FBG)
print("#",float(BEF*180/pi),BEF)
# 50.07527421903285 acos((-1 + sqrt(6))/sqrt((1 - sqrt(6))**2 + 3))
# 50.07527421903285 acos((9 - 3*sqrt(6)/2)/(3*sqrt((-3/2 + sqrt(6))**2 + 27/4)))

(参考)上のプログラムで使用した関数のDOCの抜粋

・sqrtdenest関数を使うと思いませんでした。???ソレナリ の計算みたいです。???
・The intersection with another geometrical entity.
https://docs.sympy.org/latest/modules/geometry/lines.html#sympy.geometry.line.LinearEntity.intersection
・sympy.simplify.sqrtdenest.sqrtdenest(expr, max_iter=3)
https://docs.sympy.org/latest/modules/simplify/simplify.html#sympy.simplify.sqrtdenest.sqrtdenest
・angle_between(l2)
https://docs.sympy.org/latest/modules/geometry/lines.html#sympy.geometry.line.LinearEntity.angle_between

FreeCADのマクロで作図

・問題文は2次元ですが、３次元FreeCADのマクロで、XY平面上に作図しました。
・マクロプログラムの計算部分は、上記をそのままコピーしています。
・マクロプログラムの途中で、
　全点座標計算をしています。作図用でABの長さと円の半径を代入しています。
・点Aを、原点のままです。
　点Oを原点にすると、座標値が複雑？になるので移動はしていません。

import FreeCAD
import Part
import DraftTools
import Draft
import Mesh
############################################################################
# 計算
from sympy import *
var('AB,r',real=True,positive=True)
A=Point(0   ,0)
B=Point(AB  ,0)
F=Point(6   ,0)
O=Point(AB+r,0)
E=Point(3/2*sqrt(3)*sqrt(3),3/2*sqrt(3))
G=E+Rational(1,3)*(F-E)
D=Line(A,E).intersection(Line(B,G))[0]
ABr=solve( [Eq(O.distance(E),r),Eq(O.distance(D),r) ],[AB,r] )
print("#",sqrtdenest(ABr[0][0]),",",ABr[0][1])
############################################################################
# 作図用
mySubs={AB:sqrtdenest(ABr[0][0]),r:ABr[0][1]}
O=O.subs(mySubs)
B=B.subs(mySubs)
C=(O+Point(2*r,0)).subs(mySubs)
D=D.subs(mySubs)
#
ci=Circle(O,O.distance(B))
############################################################################
# 3D作図 z=0 XY平面に作図しました。
############################################################################
############################################################################
# 円の作図　FrecCADのdocより
# https://wiki.freecad.org/Macro_Circle
def Freecad3D_circle(x=0.0,y=0.0,z=0.0,radius=0.0,diameter=0.0,circumference=0.0,area=0.0,startangle=0.0,endangle=0.0,arc=0.0,anglecenter=0.0,cord=0.0,arrow=0.0,center=0,placemObject=""):
    from math import sqrt, pi
    if placemObject == "":
        pl = FreeCAD.Placement()
        pl.Rotation = FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveView.getCameraOrientation()   
        pl.Base = FreeCAD.Vector(x,y,z)
    else:
        pl = FreeCAD.Placement()
        pl = placemObject                                  # placement imposted
    if diameter != 0:                                      # with diameter
        radius = diameter / 2.0
    elif circumference != 0:                               # with circumference
        radius = (circumference / pi) / 2.0
    elif area != 0:                                        # with area
        radius =  sqrt((area / pi))
    elif (cord != 0) and (arrow != 0):                     # with cord and arrow
        radius = ((arrow**2) + (cord**2) / 4.0) / (arrow*2) 
    elif (arc != 0) and (anglecenter != 0):                # with arc and anglecenter central in degrees
        radius = ((360/anglecenter)*arc) / pi/2.0
        if endangle != 0:
            startangle  = endangle - anglecenter
        endangle   = anglecenter + startangle
        startangle  = endangle - anglecenter
    if radius != 0:
        try:
            Draft.makeCircle(radius,placement=pl,face=False,startangle=startangle,endangle=endangle,support=None)
            if center != 0:
                x=pl.Base.x
                y=pl.Base.y
                z=pl.Base.z
                Draft.makePoint(x,y,z)
        except Exception:
            App.Console.PrintError("Unexpected keyword argument" + "\n")
        App.ActiveDocument.recompute()
    else:
        App.Console.PrintMessage("Unexpected keyword argument" + "\n")
        App.Console.PrintMessage("circle(x,y,z,radius,diameter,circumference,area,startangle,endangle,[arc,anglecenter],[cord,arrow],center,placemObject)" + "\n")
        App.Console.PrintMessage("circle(radius=10.0,placemObject=App.Placement(App.Vector(11,20,30), App.Rotation(30,40,0), App.Vector(0,0,0)))" + "\n")
    return
def myCircle_2D(myCi):
    x=myCi.center.x
    y=myCi.center.y
    r=myCi.radius
    Freecad3D_circle(
           x=float(x),y=float(y),z=0.0,
           radius=float(abs(r)),
           center=1,
           placemObject=App.Placement(App.Vector(float(x),float(y),0),
           App.Rotation(0,0,0),App.Vector(0,0,0)))
    return
############################################################################
def myXYZ2Txt_2D(A):
    return '(' + str(A.x) + ',' + str(A.y) +  ')'
    #return ""
def myTxtXYZ_2D(A,myWedgei):
    P5x=float(A.x)
    P5y=float(A.y)
    P5z=0.0
    p5 = FreeCAD.Vector(P5x, P5y, P5z)
    myText = Draft.makeText(myWedgei, p5)
    myText.Label = myWedgei
    FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveObject.FontSize = '0.4 mm'
    return
def myTxtXYZ_S_2D(*xy_tx):
    for i in range(1,int(len(xy_tx)/2)+1):
        myTxtXYZ_2D(xy_tx[2*i-2],xy_tx[2*i-1]+myXYZ2Txt_2D(xy_tx[2*i-2]) )
    return
def myLine_2D(A,B):
    Ax,Ay,Az=float(A.x),float(A.y),0.0
    Bx,By,Bz=float(B.x),float(B.y),0.0
    pl = FreeCAD.Placement()
    pl.Rotation.Q = (0.4247081540122249, 0.17592004639554645, 0.33985110062924484, 0.8204732460821097)
    pl.Base = FreeCAD.Vector(-3.9166066876399563, -2.1670824762243774, 1.7495260956243028)
    points = [FreeCAD.Vector(Ax,Ay,Az), FreeCAD.Vector(Bx,By,Bz)]
    line = Draft.make_wire(points, placement=pl, closed=False, face=True, support=None)
    Draft.autogroup(line)
    return
def myLine_S_2D(*args):
    for i in range(1,len(args)):
        myLine_2D(args[i-1],args[i])
    return
def myLine_C_2D(*args):
    for i in range(1,len(args)):
        myLine_2D(args[i-1],args[i])
    myLine_2D(args[i],args[0])
    return
#######################################################################################
myCircle_2D  ( ci )
myLine_C_2D  ( A,C,D )
myLine_S_2D  ( B,E )
myLine_S_2D  ( B,D )
myLine_S_2D  ( E,F )
myLine_S_2D  ( E,C )
myTxtXYZ_S_2D( O,"O",A,"A",B,"B",C,"C")
myTxtXYZ_S_2D( D,"D",E,"E",F,"F",G,"G" )
#######################################################################################
doc = App.activeDocument()
App.ActiveDocument.addObject("App::Origin", "Origin")
App.ActiveDocument.getObject('Origin').Visibility = True
App.ActiveDocument.recompute()
Gui.activeDocument().activeView().viewAxonometric()
Gui.SendMsgToActiveView("ViewFit")

・角度の寸法表示は勉強中です。
・isometric方向?です。

0png.png

・上空から?です。Originは、CAD操作で非表示です。
1png.png

いつもの? sympyの実行環境と 参考のおすすめです。

(テンプレート)

お疲れ様です。

ここまで来て、
④qiitaの<1/2>本ページを見て、変な事やって作図しているなあ。 です。
と、思われたと思います。

<2/2>へ続く

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