「テンソル場の第1、第2の定義の違いを教えて下さい。」をAI先生へ。sympyで教えて下さい。

(本日の)ChatGPT先生へ

テンソル場の第1、第2の定義の違いを教えて下さい。

(以下抜粋) 小見出しを表示。何となくわかった部分のみ表示。

テンソル場の「第1の定義」「第2の定義」という言い方は、文脈によって少し流派差がありますが、普通は次の2つを指します。
第1の定義
「座標変換則」で定義する方法...
第2の定義
「多重線形写像」で定義する方法...

(続けて)ChatGPT先生へ

sympy で説明お願いします。

第1の定義

「座標変換則」で見る

from sympy import *
from sympy.diffgeom import *

# 座標
x, y = symbols('x y')

# 回転角
theta = symbols('theta')

# ベクトル成分
V = Matrix([x, y])

# 回転行列
R = Matrix([
    [cos(theta), -sin(theta)],
    [sin(theta),  cos(theta)]
])

# 新座標系での成分
V_new = simplify(R * V)

print(V_new)

2階テンソルの場合

a,b,c,d = symbols('a b c d')

T = Matrix([
    [a,b],
    [c,d]
])

T_new = simplify(R * T * R.T)

pprint(T_new)

第2の定義

「多重線形写像」で見る
例：内積

from sympy import *

# ベクトル
u1,u2 = symbols('u1 u2')
v1,v2 = symbols('v1 v2')

u = Matrix([u1,u2])
v = Matrix([v1,v2])

# 計量テンソル（単位行列）
g = Matrix([
    [1,0],
    [0,1]
])

# 双線形写像
inner = (u.T * g * v)[0]

print(inner)

線形性を確認
SymPyで確認

a,b = symbols('a b')

w1,w2 = symbols('w1 w2')
w = Matrix([w1,w2])

lhs = ((a*u + b*w).T * g * v)[0]

rhs = a*(u.T*g*v)[0] + b*(w.T*g*v)[0]

print(simplify(lhs-rhs))

違いをSymPy的に言うと
第1の定義
第2の定義
...

次に進むなら、
・共変・反変の意味
・双対空間
・テンソル積
・添字が上下になる理由
・diffgeom モジュール
・Einstein記法
・Christoffel記号
・リーマンテンソル
あたりが自然につながります。

???

いつもと違うおすすめです。

Qiita内