(2)について。出題者のやさしさ?がでている問題文でした。
・勉強不足の人のためには、WolframAlphaの解説あり。
・オーソドックスな解法の勉強をしている優秀な受験生には、
正弦定理の隣の?正接定理がありました。
?＞ただ，全く役に立たないので高校数学では習いません。（高校数学の美しい物語)様参考より
(1)がわからなくても(2)で部分点がもらえるかも。
○○場の馬鹿力で、試験場で気づいた方がおられたかもしれません。
種明かしは、ページ終盤にあり。
オリジナル T氏の数学日記 様より
上と同じです。大学入試数学問題集成＞【1】テキスト
xxxx ChatGPT で(できませんでした。) xxx
入力文
x,yを実数とする．
sin(x)+sin(y)=(1+sqrt(3))/2,cos(x)+cos(y)=(-1+sqrt(3))/2
の時、tan((x+y)/2)の値を求めなさい．
...最終的に、tan((x + y)/2) の値を求めることができます。ただし、この式を解析的に解くことは難しいので、数値的な方法を用いる必要があります。
Mathematicaで
最近、Mathematicaの良さが、わかりつつあります。
≒起動方法の参考あり。以下の無料正式技あり。いつかやってみたい。
https://qiita.com/AKKYM/items/3517bd1b55522f4bfacd#mathematica
？？？結果の使い方を教えて下さい。？？？
https://reference.wolfram.com/language/tutorial/BuildingUpCalculations.html.ja
(1)αとβの順番が調子悪いです。
In
TrigExpand[Sin[\[Alpha] + \[Beta]] + Sin[\[Alpha] - \[Beta]]]
Out
2 Cos[\[Beta]] Sin[\[Alpha]]
(2)
In
Solve[{Sin[x] + Sin[y] == (1 + Sqrt[3])/2,
Cos[x] + Cos[y] == (-1 + Sqrt[3])/2},
{x, y}]
Tan[(\[Pi]/6 + (2 \[Pi])/3)/2]
Tan[((2 \[Pi])/3 + \[Pi]/6)/2]
Out
(一部省略)
2 + Sqrt[3]
2 + Sqrt[3]
sympyで(1)のみ(T氏の数学日記 様のやり方)
TR10 普通の?加法定理
＞TR10() - separate sin-cos arguments
https://docs.sympy.org/latest/modules/simplify/fu.html#sympy.simplify.fu.TR10
・分割不要でした。+で,連結してできました。
・最初のヤツが2個あって2倍、後ろのヤツが消える。でした。
from sympy import *
from sympy.simplify.fu import TR10
α,β=symbols('α,β',real=True)
f1=sin(α+β)
f2=sin(α-β)
print("#(1)"," ", f1 ," "*19, "+ " , f2 )
print("#(1)","=(",TR10(f1), ")+(",TR10(f2),")")
print("#(1)","= ",TR10(f1) + TR10(f2) )
print("#(1)"," ",TR10(f1+f2) )
#(1) sin(α + β) + sin(α - β)
#(1) =( sin(α)*cos(β) + sin(β)*cos(α) )+( sin(α)*cos(β) - sin(β)*cos(α) )
#(1) = 2*sin(α)*cos(β)
#(1) 2*sin(α)*cos(β)
sympyで(1)のみ(回転行列を使って)
上と同じ。sinは、行列の2行目1列目(sympy行列の配列位置は、[1,0]に該当します。)
WolframAlphaで。(2)のみ(出題者のやさしさ?がでている問題)
数字1,√3,2 怪しいデスね。
対照式? x,y 又はy,x の2パターン。割る2は、平均?
厳密な結果 2+sqrt(3)
(リンクだけです)「15° 角度」を調べてみたい。ChatGPT様へ 証明は、勉強中です。
FreeCADで作図
半径2の円を、３次元FreeCADのマクロで、XY平面上に作図しました。
isometric方向?です。
上空から?です。120°と30°の線です。75°の線は、まだです。
sin(x)+sin(y)=( 1+sqrt(3))/2 → =(sqrt(3)+1)/2
cos(x)+cos(y)=(-1+sqrt(3))/2
角度寸法表示の操作方法をChatGPTに問い合わせ必要です。
FreeCADのマクロです。
import FreeCAD
import Part
import DraftTools
import Draft
import Mesh
############################################################################
# 計算
from sympy import *
############################################################################
# 作図
def myXYZ2Txt_2D(A):
return '(' + str(A.x) + ',' + str(A.y) + ')'
# return ""
def myTxtXYZ_2D(A,myWedgei):
P5x=float(A.x)
P5y=float(A.y)
P5z=0.0
p5 = FreeCAD.Vector(P5x, P5y, P5z)
myText = Draft.makeText(myWedgei, p5)
myText.Label = myWedgei
FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveObject.FontSize = '0.3 mm'
return
def myTxtXYZ_S_2D(*xy_tx):
for i in range(1,int(len(xy_tx)/2)+1):
myTxtXYZ_2D(xy_tx[2*i-2],xy_tx[2*i-1]+myXYZ2Txt_2D(xy_tx[2*i-2]) )
return
def myLine_2D(A,B):
Ax,Ay,Az=float(A.x),float(A.y),0.0
Bx,By,Bz=float(B.x),float(B.y),0.0
pl = FreeCAD.Placement()
pl.Rotation.Q = (0.4247081540122249, 0.17592004639554645, 0.33985110062924484, 0.8204732460821097)
pl.Base = FreeCAD.Vector(-3.9166066876399563, -2.1670824762243774, 1.7495260956243028)
points = [FreeCAD.Vector(Ax,Ay,Az), FreeCAD.Vector(Bx,By,Bz)]
line = Draft.make_wire(points, placement=pl, closed=False, face=True, support=None)
Draft.autogroup(line)
return
def myLine_C_2D(*args):
for i in range(1,len(args)):
myLine_2D(args[i-1],args[i])
myLine_2D(args[i],args[0])
return
#############################################################
# 円の作図 FrecCADのdocより
# https://wiki.freecad.org/Macro_Circle
def circle(x=0.0,y=0.0,z=0.0,radius=0.0,diameter=0.0,circumference=0.0,area=0.0,startangle=0.0,endangle=0.0,arc=0.0,anglecenter=0.0,cord=0.0,arrow=0.0,center=0,placemObject=""):
from math import sqrt, pi
if placemObject == "":
pl = FreeCAD.Placement()
pl.Rotation = FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveView.getCameraOrientation()
pl.Base = FreeCAD.Vector(x,y,z)
else:
pl = FreeCAD.Placement()
pl = placemObject # placement imposted
if diameter != 0: # with diameter
radius = diameter / 2.0
elif circumference != 0: # with circumference
radius = (circumference / pi) / 2.0
elif area != 0: # with area
radius = sqrt((area / pi))
elif (cord != 0) and (arrow != 0): # with cord and arrow
radius = ((arrow**2) + (cord**2) / 4.0) / (arrow*2)
elif (arc != 0) and (anglecenter != 0): # with arc and anglecenter central in degrees
radius = ((360/anglecenter)*arc) / pi/2.0
if endangle != 0:
startangle = endangle - anglecenter
endangle = anglecenter + startangle
startangle = endangle - anglecenter
if radius != 0:
try:
Draft.makeCircle(radius,placement=pl,face=False,startangle=startangle,endangle=endangle,support=None)
if center != 0:
x=pl.Base.x
y=pl.Base.y
z=pl.Base.z
Draft.makePoint(x,y,z)
except Exception:
App.Console.PrintError("Unexpected keyword argument" + "\n")
App.ActiveDocument.recompute()
else:
App.Console.PrintMessage("Unexpected keyword argument" + "\n")
App.Console.PrintMessage("circle(x,y,z,radius,diameter,circumference,area,startangle,endangle,[arc,anglecenter],[cord,arrow],center,placemObject)" + "\n")
App.Console.PrintMessage("circle(radius=10.0,placemObject=App.Placement(App.Vector(11,20,30), App.Rotation(30,40,0), App.Vector(0,0,0)))" + "\n")
return
def myCircle_2D(x,y,r):
circle(x=float(x),y=float(y),z=0.0,
radius=float(r),
center=1,
placemObject=App.Placement(App.Vector(float(x),float(y),0),
App.Rotation(0,0,0),App.Vector(0,0,0)))
return
#############################################################
O =Point(0.0,0.0)
X1=Point(-2.5,0.0)
X2=Point( 2.5,0.0)
Y1=Point(0.0,-2.5)
Y2=Point(0.0, 2.5)
myLine_2D(X1,X2)
myLine_2D(Y1,Y2)
myCircle_2D( 0.0,0.0,2.0 )
P1=Point(-2.0,0.0)
P2=Point( 0.0,2.0)
myTxtXYZ_S_2D(P1,"",P2,"")
#
A1=Point(-1.0,sqrt(3))
A2=Point(-1.0,0.0 )
myLine_C_2D(O,A1,A2)
B1=Point(sqrt(3),1.0 )
B2=Point(sqrt(3),0.0 )
myLine_C_2D(O,B1,B2)
myTxtXYZ_S_2D(O,"O")
myTxtXYZ_S_2D(A1,"",A2,"")
myTxtXYZ_S_2D(B1,"",B2,"")
#############################################################
doc = App.activeDocument()
App.ActiveDocument.addObject("App::Origin", "Origin")
# App.ActiveDocument.getObject('Origin').Visibility = True
App.ActiveDocument.recompute()
Gui.activeDocument().activeView().viewAxonometric()
Gui.SendMsgToActiveView("ViewFit")
sympyで(2)のみ(正弦定理の隣の?正接定理で)
今さら感。wikipediaで誰も?見た事のない公式を見つけました。
https://qiita.com/mrrclb48z/items/769cf5305ffd2d07e5a6
Tangent half-angle formula
/2をRational(1,2)にしています。/2、は*0.5になります。
これも、(1)を(2)のオモテで使っていません。
from sympy import *
x,y=symbols('x,y',real=True)
mySub ={sin(x):Rational(1,2)*1 ,cos(x):Rational(1,2)*sqrt(3),
sin(y):Rational(1,2)*sqrt(3),cos(y):Rational(1,2)*(-1) }
myEqTan=Eq(tan((x+y)/2),(sin(x)+sin(y))/(cos(x)+cos(y)))
print("#(2)",mySub[sin(x)]+mySub[sin(y)],mySub[cos(x)]+mySub[cos(y)])
print("#(2)",myEqTan)
print("#(2)",myEqTan.subs(mySub).simplify())
#(2) 1/2 + sqrt(3)/2 -1/2 + sqrt(3)/2
#(2) Eq(tan(x/2 + y/2), (sin(x) + sin(y))/(cos(x) + cos(y)))
#(2) Eq(tan(x/2 + y/2), sqrt(3) + 2)
sympyで(2)のみ(T氏の数学日記 様のやり方)
①/②を実行しています。
from sympy import *
from sympy.simplify.fu import TR10
x,y=symbols('x,y',real=True)
α,β=symbols('α,β',real=True)
mySubs_sc={(sin(x)+sin(y)):(1+sqrt(3))/2, (cos(x)+cos(y)):(-1+sqrt(3))/2}
myEq_αβ =Eq(sin(α)*cos(β),Rational(1,2)*(sin(α+β)+sin(α-β)))
mySubs_αβ={α:(x+y)/2,β:(x-y)/2}
myEq2 =myEq_αβ.subs(mySubs_αβ)
maru1 =Eq(myEq2.lhs,factor(myEq2.rhs).subs(mySubs_sc))
print("# ①",maru1)
cc=cos(α+β)+cos(α-β)
myEq_αβ =Eq(TR10(cc)/2,cc/2)
myEq2 =myEq_αβ.subs(mySubs_αβ)
maru2 =Eq(myEq2.lhs,factor(myEq2.rhs).subs(mySubs_sc))
print("# ②",maru2)
print("#",Eq(maru1.lhs/maru2.lhs,maru1.rhs/maru2.rhs).simplify())
# ① Eq(sin(x/2 + y/2)*cos(x/2 - y/2), 1/4 + sqrt(3)/4)
# ② Eq(cos(x/2 - y/2)*cos(x/2 + y/2), -1/4 + sqrt(3)/4)
# Eq(tan(x/2 + y/2), sqrt(3) + 2)
sympyで(2)のみ(TR2を使って 分母と分子に分けて)
TR2() - tan-cot to sin-cos ratio
https://docs.sympy.org/latest/modules/simplify/fu.html#sympy.simplify.fu.TR2
from sympy import *
from sympy.simplify.fu import TR2
x,y=symbols('x,y',real=True)
α,β=symbols('α,β',real=True)
mySubs={sin((x+y)/2):(1+sqrt(3))/2, cos((x+y)/2):(-1+sqrt(3))/2}
f=tan((x+y)/2)
print("#",f)
Bunsi1Bunbo1=TR2(f)
Bunsi1=numer(Bunsi1Bunbo1)
Bunbo1=denom(Bunsi1Bunbo1)
Bunsi2=Bunsi1.subs(mySubs)
Bunbo2=Bunbo1.subs(mySubs)
Bunsi2Bunbo2=Bunsi2/Bunbo2
print("#",Bunsi1,Bunbo1)
print("#",Bunsi2,Bunbo2)
print("#",Bunsi2Bunbo2.simplify() )
# tan(x/2 + y/2)
# sin(x/2 + y/2) cos(x/2 + y/2)
# 1/2 + sqrt(3)/2 -1/2 + sqrt(3)/2
# sqrt(3) + 2
sympyで(2)のみ(TR2を使って,分母と分子にわける必要はありませんでした。)
subsとsymplify()でいけました。
from sympy import *
from sympy.simplify.fu import TR2
x,y=symbols('x,y',real=True)
α,β=symbols('α,β',real=True)
mySubs={sin((x+y)/2):(1+sqrt(3))/2, cos((x+y)/2):(-1+sqrt(3))/2}
f=tan((x+y)/2)
print("#", f )
print("#",TR2(f ) )
print("#",TR2(f ).subs( mySubs ).simplify())
print("#",TR2(tan((x+y)/2)).subs({sin((x+y)/2):(1+sqrt(3))/2, cos((x+y)/2):(-1+sqrt(3))/2}).simplify())
# tan(x/2 + y/2)
# sin(x/2 + y/2)/cos(x/2 + y/2)
# sqrt(3) + 2
# sqrt(3) + 2
sympyで(2)のみ(x,yの連立方程式を使って)
種明かし。 実は、(1)がわからなくて、最初にやったのが以下の(2)の連立方程式です。
x,yを求めてからtanに代入しようとしたら,あれ？解が2つ。75°。
from sympy import *
x,y=symbols('x,y',Real=True)
def Rad_Deg(myRad):
return myRad*180/pi
ans=solve([Eq(sin(x)+sin(y),( 1+sqrt(3))/2),
Eq(cos(x)+cos(y),(-1+sqrt(3))/2)
],[x,y])
print("#",Rad_Deg(ans[0][0]),Rad_Deg(ans[0][1]),Rad_Deg((ans[0][0]+ans[0][1])/2) )
print("#",Rad_Deg(ans[1][0]),Rad_Deg(ans[1][1]),Rad_Deg((ans[1][0]+ans[1][1])/2) )
print("#",tan((x+y)/2).subs({x:ans[0][0],y:ans[0][1]}))
print("#",tan((x+y)/2).subs({x:ans[1][0],y:ans[1][1]}))
# 30 120 75
# 120 30 75
# sqrt(3) + 2
# sqrt(3) + 2
sympyの実行環境
①私の環境は,pycharmです。
②よく聞くのは、Jupyterです。
③web上で、上記のソースを「SymPy Live shell」に、コピー貼り付けでもできました。
黒背景の右上に、マウスを移動すると、コピーマークが発生します。
??? タブレット環境で、コピー貼り付けが実行できませんでした。???
感想
・おすすめの過去問の類題を教えて下さい。
「(1)は、わからないけど、(2)ならわかる。」です。
例えば、共通テスト2022自転車君の問題以来?。またかの,ゆうどうです。
・優秀な受験生さんには、点検用だよね。
試験時間内に「自信が確信に変わりました」?でしょうか。
・今から、赤本が楽しみです。いつの日か、赤本ChatGPTも。
・2023/07/24現在、数少ない中の一番勉強した問題。2023年度、私のNO.1です。
＞この三角関数の加法定理から派生する２０個近くの公式たち..
あといくつあるか、わかっていません。勉強中。
参考
＞ =2+√3
＞2023 数学I・II・A・B入試問題集(文理系)
当問題が載っていなかったと思います。
以下、いつもの?おすすめです。