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@mrrclb48z

平面図形「【高校入試数学 円の難問】...～大分県公立入試数学 解法3通り～」をsympyとFreeCADでやってみたい。

Last updated at Posted at 2025-01-08

・長文です。以下、中学数学の範囲外が含まれています。
・問題文は2次元ですが、３次元FreeCADのマクロで、XY平面上に作図しました。
・AI先生に画像の丸投げ?教えてもらえませんでした。

オリジナル

Youtube

MAスカッと塾 様 (0:00〜12:09)　赤の長さは?
https://youtu.be/t2w040-0M1I

sympyのweb上での実行方法

SymPy Live Shellで。FreeCADのマクロは、以下で実行できません。
https://qiita.com/mrrclb48z/items/00dd08b0317069be9342#web%E4%B8%8A%E3%81%AE%E5%AE%9F%E8%A1%8C%E6%96%B9%E6%B3%95sympy-live-shell%E3%81%A7
　

sympyで(オリジナル 様の方法を参考に)

・ver0.1　>相似ですね。...
　??? 途中だんだんわからなくなってきました。

# ver0.1　>相似ですね。...
from sympy import *    
var('EC,GF,GC,EG',nonnegative=True) 
AD,DE,BC=5,3,2
EC=solve(Eq((AD+DE)/EC,(EC+BC)/DE))[0]                 #;print(EC)
AC=sqrt((AD+DE)**2-EC**2)                              #;print(AC)
trACE=Triangle(sss=(AC,EC,(AD+DE)))                    #;print(trACE)
dgEAC=trACE.angles[trACE.args[0]]*180/pi               #;print(dgEAC) 
trDAF=Triangle(asa=(90,AD,dgEAC))                      #;print(trADF)
DF   =trDAF.args[2].distance(trDAF.args[0])            #;print(DF)
trBCF=Triangle(asa=(dgEAC,BC,90))                      #;print(trBCF)
FC   =trBCF.args[1].distance(trBCF.args[2])            #;print(FC)
trFCE=Triangle(sas=(FC,90,EC))                         #;print(trBCF)
EF   =trFCE.args[1].distance(trFCE.args[2])            #;print(EF)
# ??? だんだんわからなくなってきました。
# AtoI  =Eq(GF/GC,DF/EC)                                #;print(AtoI)
# UtoE  =Eq(GC/EG,FC/DE)                                #;print(AtoI)
FGwGE_numer=DF      *sqrt(3)
FGwGE_denom=EC*DE/FC*sqrt(3)                            # ;print(FGwGE_numer,FGwGE_denom)
print("#",EF*(FGwGE_denom/(FGwGE_numer+FGwGE_denom)))
# 12*sqrt(39)/23

・ver0.2 ＞EG,GFを間接的に求める。

# ver0.2 ＞EG,GFを間接的に求める。
from sympy import *    
var('EC,GF,GC,EG,DH,dgEDH,EH,IF',nonnegative=True) 
AD,DE,BC=5,3,2
EC=solve(Eq((AD+DE)/EC,(EC+BC)/DE))[0]           #;print(EC)
AC=sqrt((AD+DE)**2-EC**2)                        #;print(AC)
trACE=Triangle(sss=(AC,EC,(AD+DE)))              #;print(trACE)
dgEAC=trACE.angles[trACE.args[0]]*180/pi         #;print(dgEAC) # 三角定規の角
trDAF=Triangle(asa=(90,AD,dgEAC))                #;print(trADF)
DF   =trDAF.args[2].distance(trDAF.args[0])      #;print(DF)
trBCF=Triangle(asa=(dgEAC,BC,90))                #;print(trBCF)
FC   =trBCF.args[1].distance(trBCF.args[2])      #;print(FC)
trFCE=Triangle(sas=(FC,90,EC))                   #;print(trBCF)
EF   =trFCE.args[1].distance(trFCE.args[2])      #;print(EF)
# ＞今回...垂線をおろす。
# trDHE=Triangle(asa=(dgEDH,DH,90))
# trFCE=Triangle(asa=(dgEDH,FC,90))
EH=solve(Eq(DE/EH,EF/EC),EH)[0]                  #;print(EH)
# trCIF=Triangle(asa=(dgFCI,CI,90))
# trEDF=Triangle(asa=(dgFCI,DE,90))
IF=solve(Eq(FC/IF,EF/DF),IF)[0]                  #;print(IF)
EG=solve(Eq(EG/GF,EH/IF),EG)[0]                  #;print(EG)
sol_GF=solve(Eq(EG+GF,EF),GF)[0]                 #;print(sol_GF)
print("#",solve(Eq(EG+sol_GF,EF),EG)[0])
# 12*sqrt(39)/23

・ver0.3 メネラウスの定理の利用　＞頂点、分点、頂点...
・私は、メネラウスの定理を勉強中です。

# ver0.3 メネラウスの定理の利用　＞頂点、分点、頂点...
from sympy import *    
var('EC,GF,GC,EG,DH,dgEDH,EH,IF,FGwGE',nonnegative=True) 
AD,DE,BC=5,3,2
EC=solve(Eq((AD+DE)/EC,(EC+BC)/DE))[0]                   #;print(EC)
AC=sqrt((AD+DE)**2-EC**2)                                #;print(AC)
trACE=Triangle(sss=(AC,EC,(AD+DE)))                      #;print(trACE)
dgEAC=trACE.angles[trACE.args[0]]*180/pi                 #;print(dgEAC) # 三角定規の角
trDAF=Triangle(asa=(90,AD,dgEAC))                        #;print(trADF)
DF   =trDAF.args[2].distance(trDAF.args[0])              #;print(DF)
trBCF=Triangle(asa=(dgEAC,BC,90))                        #;print(trBCF)
FC   =trBCF.args[1].distance(trBCF.args[2])              #;print(FC)
BF   =trBCF.args[2].distance(trBCF.args[0])              #;print(FC)
trFCE=Triangle(sas=(FC,90,EC))                           #;print(trBCF)
EF   =trFCE.args[1].distance(trFCE.args[2])              #;print(EF)
# ここから メネラウスの定理の利用　＞頂点、分点、頂点...
BD=BF+DF
FGwGE=solve(Eq(EC/BC*BD/DF*FGwGE,1),FGwGE)[0]            #;print(FGwGE)
print("#",EF*(denom(FGwGE)/(numer(FGwGE)+denom(FGwGE))))
# 12*sqrt(39)/23

sympyで(いつもの方法で)

・ver0.4　AB,CEの連立方程式です。ソージのたいへんさが わかりました。
・＞ここで紹介した解法は、あくまでも一例ということでご覧ください。
　高校数学。直角2つ。内積=0 の連立方程式です。
　??? 長さを計算できるようになっていました。

# ver0.4　AB,CEの連立方程式です。  
from sympy import *
var('AB,CE')  #;とりあえず、符号のため。AB,CE=7,4 # intersectionの判定のため.ロジック調査中
AD,DE,BC=5,3,2
A,B=Point(0,0),Point(AB,0)
E=Circle(A,(AD+DE)).intersection(Circle(B,(BC+CE)))[1]   #;print(E)
C=B+BC*(E-B).unit
D=  AD*    E.unit
sol_AB,sol_CE=solve([Eq((A-E).dot(D-B),0),
                     Eq((A-C).dot(E-B),0)
                    ],[AB,CE])[3]                        #;print(sol_AB,sol_CE)
rep={AB:sol_AB,CE:sol_CE}
B=B.subs(rep)
C=C.subs(rep)
D=D.subs(rep)
E=E.subs(rep)
F=Line(A,C).intersection(Line(B,D))[0]
G=Line(C,D).intersection(Line(E,F))[0]
print("#",E.distance(G).simplify())
# 12*sqrt(39)/23

FreeCADのマクロで作図

・問題文は2次元ですが、３次元FreeCADのマクロで、XY平面に作図しました。
・計算部分は、Ver.0.4 の コピー貼り付けです。

import FreeCAD
import Part
import DraftTools
import Draft
import Mesh
############################################################################
# ver0.4
from sympy import *
var('AB,CE')  #;AB,CE=7,4 # intersectionの判定のため.ロジック調査中
AD,DE,BC=5,3,2
# tr=Triangle(sss=(AB,BC+CE,AD+DE)) ;print(tr)
A,B=Point(0,0),Point(AB,0)
E=Circle(A,(AD+DE)).intersection(Circle(B,(BC+CE)))[1]   #;print(E)
C=B+BC*(E-B).unit
D=  AD*    E.unit
sol_AB,sol_CE=solve([Eq((A-E).dot(D-B),0),
                     Eq((A-C).dot(E-B),0)
                    ],[AB,CE])[3]                        #;print(sol_AB,sol_CE)
rep={AB:sol_AB,CE:sol_CE}
B=B.subs(rep)
C=C.subs(rep)
D=D.subs(rep)
E=E.subs(rep)
F=Line(A,C).intersection(Line(B,D))[0]
G=Line(C,D).intersection(Line(E,F))[0]
print("#",E.distance(G).simplify())
# 12*sqrt(39)/23
###########################################################################
# 全体の半径分の移動です。点Aを原点としていたため。
r=A.distance(B)/2
O=Point(0,0)
A,B,C,D,E,F,G = (x - Point(r,0) for x in (A,B,C,D,E,F,G))
############################################################################
# 3D作図 z=0 XY平面に作図しました。
# 2024-10-08 fontsize 追加しました。従来と互換性がありません。 
# 2024-10-20 HR 
############################################################################
def myDimension(fontsize,myExtOvershoot,start_point, end_point,HVP):
    x1, y1 = start_point.args
    x2, y2 = end_point.args
    myFlipText = True
    if HVP=="PL":
       myP1  =Point(float(x1),float(y1))
       myP2  =Point(float(x2),float(y2))
       myFlipText = False
       myExtOvershoot1=abs(myExtOvershoot)
    elif HVP=="PR":
       myP1  =Point(float(x1),float(y1))
       myP2  =Point(float(x2),float(y2))
       myFlipText = False
       myExtOvershoot1=-abs(myExtOvershoot)
    elif HVP=="VL":
       if x1<x2 and y1<y2:
          myP1  =Point(float(x1),float(y1))
          myP2  =Point(float(x1),float(y2))
          myExtOvershoot1= abs(myExtOvershoot)
          myFlipText = False
       elif x1<x2 and y1>y2:
          myP1  =Point(float(x1),float(y1))
          myP2  =Point(float(x1),float(y2))
          myExtOvershoot1=-abs(myExtOvershoot)
       elif x1>x2 and y1<y2:
          myP1  =Point(float(x2),float(y1))
          myP2  =Point(float(x2),float(y2))
          myExtOvershoot1= abs(myExtOvershoot)
          myFlipText = False
       else:
          myP1  =Point(float(x2),float(y1))
          myP2  =Point(float(x2),float(y2))
          myExtOvershoot1=-abs(myExtOvershoot)
    elif HVP=="VR":
       if x1<x2 and y1<y2:
          myP1  =Point(float(x2),float(y1))
          myP2  =Point(float(x2),float(y2))
          myExtOvershoot1=-abs(myExtOvershoot)
          myFlipText = False
       elif x1<x2 and y1>y2:
          myP1  =Point(float(x2),float(y1))
          myP2  =Point(float(x2),float(y2))
          myExtOvershoot1= abs(myExtOvershoot)
       elif x1>x2 and y1<y2:
          myP1  =Point(float(x1),float(y1))
          myP2  =Point(float(x1),float(y2))
          myExtOvershoot1=-abs(myExtOvershoot)
       else:
          myP1  =Point(float(x1),float(y1))
          myP2  =Point(float(x1),float(y2))
          myExtOvershoot1= abs(myExtOvershoot)
    elif HVP=="HL":
       if x1 < x2 and y1<y2:
          myP1  =Point(float(x1),float(y2))
          myP2  =Point(float(x2),float(y2))
          myExtOvershoot1= abs(myExtOvershoot)
          myFlipText = False
       elif x1 < x2 and y1>y2:
          myP1  =Point(float(x1),float(y1))
          myP2  =Point(float(x2),float(y1))
          myExtOvershoot1= abs(myExtOvershoot)
          myFlipText = False
       elif x1 > x2 and y1<y2:
          myP1  =Point(float(x1),float(y1))
          myP2  =Point(float(x2),float(y1))
          myExtOvershoot1= abs(myExtOvershoot)
       else:
          myP1  =Point(float(x1),float(y2))
          myP2  =Point(float(x2),float(y2))
          myExtOvershoot1= abs(myExtOvershoot)
    elif HVP=="HR":
       #if x1<x2 and y1<y2: # 2024-10-20 HR
       if x1<x2 and y1<=y2:
          myP1  =Point(float(x1),float(y1))
          myP2  =Point(float(x2),float(y1))
          myExtOvershoot1=-abs(myExtOvershoot)
          myFlipText = False
       elif x1<x2 and y1>y2:
          myP1  =Point(float(x1),float(y2))
          myP2  =Point(float(x2),float(y2))
          myExtOvershoot1=-abs(myExtOvershoot)
          myFlipText = False
       elif x1>x2 and y1<y2:
          myP1  =Point(float(x1),float(y2))
          myP2  =Point(float(x2),float(y2))
          myExtOvershoot1=-abs(myExtOvershoot)
       else:
          myP1  =Point(float(x1),float(y1))
          myP2  =Point(float(x2),float(y1))
          myExtOvershoot1=-abs(myExtOvershoot)
    else:  
      print("")
    myM   =myP1.midpoint(myP2)
    myT   =myM+myExtOvershoot1*((myP1-myM).unit).rotate( -pi/2 )
    dimension = Draft.makeDimension(
        FreeCAD.Vector(myP1.x, myP1.y, 0),           # 点1の座標
        FreeCAD.Vector(myP2.x, myP2.y, 0),           # 点2の座標
        FreeCAD.Vector(float(myT.x),float(myT.y),0)  # 矢印の位置を中央に設定
    )
    # Ext Overshootを設定
    dimension.ViewObject.ExtOvershoot = -float(myExtOvershoot)
    
    dimension.ViewObject.FlipText = myFlipText

    # 矢印のスタイルを設定
    dimension.ViewObject.ArrowType    = "Arrow"  # 矢印のタイプを "Arrow" に設定
    dimension.ViewObject.ArrowSize    = fontsize/5
    dimension.ViewObject.TextSpacing  = 0
    dimension.ViewObject.LineColor    = (0.0, 1.0, 0.0)  # 緑色
    dimension.ViewObject.FontSize     = fontsize  # フォントサイズを指定
def myXYZ2Txt_2D(A):
    return ""
def myXYZ2Txt_XY_2D(A):
    return '(' + str(A.x) + ',' + str(A.y) +  ')'
def myTxtXYZ_2D(fontsize,A,myWedgei):
    P5x=float(A.x)
    P5y=float(A.y)
    P5z=0.0
    p5 = FreeCAD.Vector(P5x, P5y, P5z)
    myText = Draft.makeText(myWedgei, p5)
    myText.Label = myWedgei
    FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveObject.FontSize = str(fontsize,)+' mm'
    return
def myTxtXYZ_S_2D(fontsize,*xy_tx):
    for i in range(1,int(len(xy_tx)/2)+1):
        myTxtXYZ_2D(fontsize,xy_tx[2*i-2],xy_tx[2*i-1]+myXYZ2Txt_2D(xy_tx[2*i-2]) )
    return
def myTxtXYZ_XY_S_2D(fontsize,*xy_tx):
    for i in range(1,int(len(xy_tx)/2)+1):
        myTxtXYZ_2D(fontsize,xy_tx[2*i-2],xy_tx[2*i-1]+myXYZ2Txt_XY_2D(xy_tx[2*i-2]) )
    return

def myTxtXYZ_MoveY_2D(fontsize,MoveY,A,myWedgei):
    P5x=float(A.x)
    P5y=float(A.y)+MoveY
    P5z=0.0
    p5 = FreeCAD.Vector(P5x, P5y, P5z)
    myText = Draft.makeText(myWedgei, p5)
    myText.Label = myWedgei
    FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveObject.FontSize = str(fontsize,)+' mm'
    return
def myTxtXYZ_XY_S_MoveY_2D(fontsize,MoveY,*xy_tx):
    for i in range(1,int(len(xy_tx)/2)+1):
        myTxtXYZ_MoveY_2D(fontsize,MoveY,xy_tx[2*i-2],xy_tx[2*i-1]+myXYZ2Txt_XY_2D(xy_tx[2*i-2]) )
    return
############################################################################
# 3D作図 z=0 XY平面に作図しました。
############################################################################
# 円の作図　FrecCADのdocより
# https://wiki.freecad.org/Macro_Circle
def Freecad3D_circle(x=0.0,y=0.0,z=0.0,radius=0.0,diameter=0.0,circumference=0.0,area=0.0,startangle=0.0,endangle=0.0,arc=0.0,anglecenter=0.0,cord=0.0,arrow=0.0,center=0,placemObject=""):
    from math import sqrt, pi
    if placemObject == "":
        pl = FreeCAD.Placement()
        pl.Rotation = FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveView.getCameraOrientation()   
        pl.Base = FreeCAD.Vector(x,y,z)
    else:
        pl = FreeCAD.Placement()
        pl = placemObject                                  # placement imposted
    if diameter != 0:                                      # with diameter
        radius = diameter / 2.0
    elif circumference != 0:                               # with circumference
        radius = (circumference / pi) / 2.0
    elif area != 0:                                        # with area
        radius =  sqrt((area / pi))
    elif (cord != 0) and (arrow != 0):                     # with cord and arrow
        radius = ((arrow**2) + (cord**2) / 4.0) / (arrow*2) 
    elif (arc != 0) and (anglecenter != 0):                # with arc and anglecenter central in degrees
        radius = ((360/anglecenter)*arc) / pi/2.0
        if endangle != 0:
            startangle  = endangle - anglecenter
        endangle   = anglecenter + startangle
        startangle  = endangle - anglecenter
    if radius != 0:
        try:
            Draft.makeCircle(radius,placement=pl,face=False,startangle=startangle,endangle=endangle,support=None)
            if center != 0:
                x=pl.Base.x
                y=pl.Base.y
                z=pl.Base.z
                Draft.makePoint(x,y,z)
        except Exception:
            App.Console.PrintError("Unexpected keyword argument" + "\n")
        App.ActiveDocument.recompute()
    else:
        App.Console.PrintMessage("Unexpected keyword argument" + "\n")
        App.Console.PrintMessage("circle(x,y,z,radius,diameter,circumference,area,startangle,endangle,[arc,anglecenter],[cord,arrow],center,placemObject)" + "\n")
        App.Console.PrintMessage("circle(radius=10.0,placemObject=App.Placement(App.Vector(11,20,30), App.Rotation(30,40,0), App.Vector(0,0,0)))" + "\n")
    return
def myCircle_2D(myCi):
    x=myCi.center.x
    y=myCi.center.y
    r=myCi.radius
    Freecad3D_circle(
           x=float(x),y=float(y),z=0.0,
           radius=float(abs(r)),
           center=1,
           placemObject=App.Placement(App.Vector(float(x),float(y),0),
           App.Rotation(0,0,0),App.Vector(0,0,0)))
    return
def myLine_2D(A,B):
    Ax,Ay,Az=float(A.x),float(A.y),0.0
    Bx,By,Bz=float(B.x),float(B.y),0.0
    pl = FreeCAD.Placement()
    pl.Rotation.Q = (0.4247081540122249, 0.17592004639554645, 0.33985110062924484, 0.8204732460821097)
    pl.Base = FreeCAD.Vector(-3.9166066876399563, -2.1670824762243774, 1.7495260956243028)
    points = [FreeCAD.Vector(Ax,Ay,Az), FreeCAD.Vector(Bx,By,Bz)]
    line = Draft.make_wire(points, placement=pl, closed=False, face=True, support=None)
    Draft.autogroup(line)
    return
def myLine_S_2D(*args):
    for i in range(1,len(args)):
        myLine_2D(args[i-1],args[i])
    return
def myLine_C_2D(*args):
    for i in range(1,len(args)):
        myLine_2D(args[i-1],args[i])
    myLine_2D(args[i],args[0])
    return
def myLine_H_2D(*args):
    for i in range(1,len(args)):
        myLine_2D(args[0],args[i])
    return
##################################################################################
myCircle_2D   (Circle(O,r))
myLine_C_2D (A,B,C,E,D)  
myLine_S_2D (A,F,C)  
myLine_S_2D (D,F,B)
myLine_S_2D (D,C)
myLine_S_2D (E,G,F)
myFontsize =0.4
myOvershoot=myFontsize*6
myTxtXYZ_XY_S_2D      (myFontsize,O,"O",A,"A",B,"B",C,"C",D,"D")
myTxtXYZ_XY_S_2D      (myFontsize,E,"E",F,"F",G,"G")
myDimension(myFontsize,myOvershoot,A,D,"PL")
myDimension(myFontsize,myOvershoot,D,E,"PL")
myDimension(myFontsize,myOvershoot,C,B,"PL")
myDimension(myFontsize,myOvershoot,E,G,"PL")
####################################################################################
doc = App.activeDocument()
#App.ActiveDocument.addObject("App::Origin", "Origin")
#App.ActiveDocumen!t.getObject('Origin').Visibility = True
App.ActiveDocument.recompute()
Gui.activeDocument().activeView().viewAxonometric()
Gui.SendMsgToActiveView("ViewFit")

isometric方向。斜め方向から。
111.png

上空からです。
角度寸法、赤色はCAD操作です。
忘。半円にする。山形県の問題を参照。
未。EGの長さを√で表示する。 　以下は小数表示です。
未。赤色の線を太くする。
未。直角マークを表示するコード。

222.png

??? (追加) AI先生へ画像の丸投げをあきらめました。残念。

・(スクショ画像省略)

(だめでした)ChatGPT先生へ

(回答抜粋)
??? >EG=4.8028

あきらめました。

(だめでした)Gemini先生へ

(回答抜粋)
補足:
図が不鮮明なため、正確な解を求めるには、図の情報をより詳細に確認する必要があります。

あきらめました。

いつもの? sympyの実行環境と 参考のおすすめです。

(テンプレート)

いつもと違うおすすめです。

sympyのDoc

・ver0.1
class sympy.geometry.polygon.Triangle(*args, **kwargs)
https://docs.sympy.org/latest/modules/geometry/polygons.html#sympy.geometry.polygon.Triangle

numer,denom 分子,分母 ???検索不明

・ver0.2
https://docs.sympy.org/latest/modules/solvers/solvers.html

・ver0.3
(省略)

・ver0.4 (いつもの方法で)

intersection(o)
https://docs.sympy.org/latest/modules/geometry/ellipses.html#sympy.geometry.ellipse.Circle.intersection

・ver0.4 FreeCAD
(テンプレートを参照)

wikipedia

メネラウスの定理

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