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@mrrclb48z

平面図形「【高校入試数学 想定外?! 正答率0.4% 】...～山形県公立入試数学～」をsympyとFreeCADでやってみたい。ユークリッド原論も。

Last updated at Posted at 2025-01-09

・長文です。以下、中学数学の範囲外が含まれています。
・問題文は2次元ですが、３次元FreeCADのマクロで、XY平面上に作図しました。
・AI先生に画像の丸投げ? 私の説明不足でした。あきらめました。

オリジナル

Youtube

MAスカッと塾 様 (0:00〜4:50)　赤の面積を求めよ。
https://youtu.be/oIi9AdjQVEo

PDF

５山形県 ＜R３年(2021年)春 全問PDF
???以下直接だと、待ち時間あり。このサイトにアクセスできません
https://homepage1.canvas.ne.jp/ynaka/R3PDF/05yamagata.pdf#page=8
＜　数学苦手な中学生，応援します 様内
http://homepage1.canvas.ne.jp/ynaka/zenmon.html

sympyのweb上での実行方法

SymPy Live Shellで。FreeCADのマクロは、以下で実行できません。
https://qiita.com/mrrclb48z/items/00dd08b0317069be9342#web%E4%B8%8A%E3%81%AE%E5%AE%9F%E8%A1%8C%E6%96%B9%E6%B3%95sympy-live-shell%E3%81%A7
　

sympyで(オリジナル 様の方法を参考に)

??? 無難に、/2をRaional(1,2)です。実数も変数も、ルート内も。分数、無理数のsympyの威力。
・ver0.1
　途中、怪しい。trを使っていない。

# ver0.1
from sympy import *    
var('r,siromarukuromaru',nonnegative=True) 
AB,DE=8,6
r=AB*Rational(1,2)
OA=OD=OC=OE=OB=r
degOBC=degOCB=degOED=degODE=siromarukuromaru
trOOBC =Triangle(sas=(r,180-(degOBC+degOCB),r)) 
trOOED =Triangle(sas=(r,180-(degOED+degODE),r)) 
print("#",trOOBC==trOOED)
CB=DE                                              # 怪しい。trを使っていない。
BG=OD                                              # 平行四辺形
h =sqrt(OB**2-(CB*Rational(1,2))**2)               #;print(h)
CG=CB-BG
trCFG =Triangle(asa=(siromarukuromaru,CG,siromarukuromaru)) 
trCOB =Triangle(asa=(siromarukuromaru,CB,siromarukuromaru)) 
print("#",are_similar(trCFG,trCOB))
sojihi=CG/CB                                       # ;print(sojihi)
print("#",Rational(1,2)*CB*h*sojihi**2)
# True
# True
# sqrt(7)/3

sympyで(いつもの方法で)

・ver0.2 CAD風
　??? ＞ここで紹介した解法は、あくまでも一例ということでご覧ください。

# ver0.2 CAD風
from sympy import *    
AB,DE=8,6
r    =AB*Rational(1,2)
O,A,B=map(Point,[(0,0),(-r,0),(r,0)])
D,E  =Circle(O,r).intersection(Line(A,B).parallel_line(Point(0,sqrt(r**2-(DE*Rational(1,2))**2)))) 
C    =Circle(O,r).intersection(Line(O,D).parallel_line(B))[1]   
F    =Line(O,C)  .intersection(Line(D,E))[0]               
G    =Line(B,C)  .intersection(Line(D,E))[0]               
print("#",Triangle(C,F,G).area)
# sqrt(7)/3

・ver0.3 最後にsubsで代入
　もっとsympy風。AB,DEの値を最後にsubsで代入。途中ver0.2と同じ。
　??? ver0.2があってこそ。

# ver0.3 最後にsubsで代入
from sympy import *    
var('AB,DE',nonnegative=True) 
r    =AB*Rational(1,2)
O,A,B=map(Point,[(0,0),(-r,0),(r,0)])
D,E  =Circle(O,r).intersection(Line(A,B).parallel_line(Point(0,sqrt(r**2-(DE*Rational(1,2))**2)))) 
C    =Circle(O,r).intersection(Line(O,D).parallel_line(B))[1]   
F    =Line(O,C)  .intersection(Line(D,E))[0]               
G    =Line(B,C)  .intersection(Line(D,E))[0]               
print("#",Triangle(C,F,G).area)
print("#",Triangle(C,F,G).area.subs({AB:8,DE:6}))
# sqrt(AB**2 - DE**2)*(AB**2 - 4*AB*DE + 4*DE**2)/(16*DE)
# sqrt(7)/3

FreeCADのマクロで作図

・問題文は2次元ですが、３次元FreeCADのマクロで、XY平面に作図しました。
・計算部分は、Ver.0.4 の コピー貼り付けです。
　面積計算にHを使っていないので、途中作図用にHの計算をしています。

# 以下でます。　
# この機能は非推奨です。この機能を直接使用しないでください。
#   「make_linear_dimension」または「make_linear_dimension_obj」のいずれかを使用してください。
import FreeCAD
import Part
import DraftTools
import Draft
import Mesh
############################################################################
# ver0.2
# ??? ＞ここで紹介した解法は、あくまでも一例ということでご覧ください。
# ??? 無難に、実数も変数も、/2よりRaionalです.ルート内も。sympyの威力。
from sympy import *    
AB,DE=8,6
r    =AB*Rational(1,2)
O,A,B=map(Point,[(0,0),(-r,0),(r,0)])
D,E  =Circle(O,r).intersection(Line(A,B).parallel_line(Point(0,sqrt(r**2-(DE*Rational(1,2))**2)))) 
C    =Circle(O,r).intersection(Line(O,D).parallel_line(B))[1]   
F    =Line(O,C)  .intersection(Line(D,E))[0]               
G    =Line(B,C)  .intersection(Line(D,E))[0]               
print("#",Triangle(C,F,G).area)
# sqrt(7)/3
############################################################################
H  =Line(B,C)  .intersection(Line(O,E))[0]               
############################################################################
# 3D作図 z=0 XY平面に作図しました。
# 2024-10-08 fontsize 追加しました。従来と互換性がありません。 
# 2024-10-20 HR 
############################################################################
def myDimension(fontsize,myExtOvershoot,start_point, end_point,HVP):
    x1, y1 = start_point.args
    x2, y2 = end_point.args
    myFlipText = True
    if HVP=="PL":
       myP1  =Point(float(x1),float(y1))
       myP2  =Point(float(x2),float(y2))
       myFlipText = False
       myExtOvershoot1=abs(myExtOvershoot)
    elif HVP=="PR":
       myP1  =Point(float(x1),float(y1))
       myP2  =Point(float(x2),float(y2))
       myFlipText = False
       myExtOvershoot1=-abs(myExtOvershoot)
    elif HVP=="VL":
       if x1<x2 and y1<y2:
          myP1  =Point(float(x1),float(y1))
          myP2  =Point(float(x1),float(y2))
          myExtOvershoot1= abs(myExtOvershoot)
          myFlipText = False
       elif x1<x2 and y1>y2:
          myP1  =Point(float(x1),float(y1))
          myP2  =Point(float(x1),float(y2))
          myExtOvershoot1=-abs(myExtOvershoot)
       elif x1>x2 and y1<y2:
          myP1  =Point(float(x2),float(y1))
          myP2  =Point(float(x2),float(y2))
          myExtOvershoot1= abs(myExtOvershoot)
          myFlipText = False
       else:
          myP1  =Point(float(x2),float(y1))
          myP2  =Point(float(x2),float(y2))
          myExtOvershoot1=-abs(myExtOvershoot)
    elif HVP=="VR":
       if x1<x2 and y1<y2:
          myP1  =Point(float(x2),float(y1))
          myP2  =Point(float(x2),float(y2))
          myExtOvershoot1=-abs(myExtOvershoot)
          myFlipText = False
       elif x1<x2 and y1>y2:
          myP1  =Point(float(x2),float(y1))
          myP2  =Point(float(x2),float(y2))
          myExtOvershoot1= abs(myExtOvershoot)
       elif x1>x2 and y1<y2:
          myP1  =Point(float(x1),float(y1))
          myP2  =Point(float(x1),float(y2))
          myExtOvershoot1=-abs(myExtOvershoot)
       else:
          myP1  =Point(float(x1),float(y1))
          myP2  =Point(float(x1),float(y2))
          myExtOvershoot1= abs(myExtOvershoot)
    elif HVP=="HL":
       if x1 < x2 and y1<y2:
          myP1  =Point(float(x1),float(y2))
          myP2  =Point(float(x2),float(y2))
          myExtOvershoot1= abs(myExtOvershoot)
          myFlipText = False
       elif x1 < x2 and y1>y2:
          myP1  =Point(float(x1),float(y1))
          myP2  =Point(float(x2),float(y1))
          myExtOvershoot1= abs(myExtOvershoot)
          myFlipText = False
       elif x1 > x2 and y1<y2:
          myP1  =Point(float(x1),float(y1))
          myP2  =Point(float(x2),float(y1))
          myExtOvershoot1= abs(myExtOvershoot)
       else:
          myP1  =Point(float(x1),float(y2))
          myP2  =Point(float(x2),float(y2))
          myExtOvershoot1= abs(myExtOvershoot)
    elif HVP=="HR":
       #if x1<x2 and y1<y2: # 2024-10-20 HR
       if x1<x2 and y1<=y2:
          myP1  =Point(float(x1),float(y1))
          myP2  =Point(float(x2),float(y1))
          myExtOvershoot1=-abs(myExtOvershoot)
          myFlipText = False
       elif x1<x2 and y1>y2:
          myP1  =Point(float(x1),float(y2))
          myP2  =Point(float(x2),float(y2))
          myExtOvershoot1=-abs(myExtOvershoot)
          myFlipText = False
       elif x1>x2 and y1<y2:
          myP1  =Point(float(x1),float(y2))
          myP2  =Point(float(x2),float(y2))
          myExtOvershoot1=-abs(myExtOvershoot)
       else:
          myP1  =Point(float(x1),float(y1))
          myP2  =Point(float(x2),float(y1))
          myExtOvershoot1=-abs(myExtOvershoot)
    else:  
      print("")
    myM   =myP1.midpoint(myP2)
    myT   =myM+myExtOvershoot1*((myP1-myM).unit).rotate( -pi/2 )
    dimension = Draft.makeDimension(
        FreeCAD.Vector(myP1.x, myP1.y, 0),           # 点1の座標
        FreeCAD.Vector(myP2.x, myP2.y, 0),           # 点2の座標
        FreeCAD.Vector(float(myT.x),float(myT.y),0)  # 矢印の位置を中央に設定
    )
    # Ext Overshootを設定
    dimension.ViewObject.ExtOvershoot = -float(myExtOvershoot)
    
    dimension.ViewObject.FlipText = myFlipText

    # 矢印のスタイルを設定
    dimension.ViewObject.ArrowType    = "Arrow"  # 矢印のタイプを "Arrow" に設定
    dimension.ViewObject.ArrowSize    = fontsize/5
    dimension.ViewObject.TextSpacing  = 0
    dimension.ViewObject.LineColor    = (0.0, 1.0, 0.0)  # 緑色
    dimension.ViewObject.FontSize     = fontsize  # フォントサイズを指定
def myXYZ2Txt_2D(A):
    return ""
def myXYZ2Txt_XY_2D(A):
    return '(' + str(A.x) + ',' + str(A.y) +  ')'
def myTxtXYZ_2D(fontsize,A,myWedgei):
    P5x=float(A.x)
    P5y=float(A.y)
    P5z=0.0
    p5 = FreeCAD.Vector(P5x, P5y, P5z)
    myText = Draft.makeText(myWedgei, p5)
    myText.Label = myWedgei
    FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveObject.FontSize = str(fontsize,)+' mm'
    return
def myTxtXYZ_S_2D(fontsize,*xy_tx):
    for i in range(1,int(len(xy_tx)/2)+1):
        myTxtXYZ_2D(fontsize,xy_tx[2*i-2],xy_tx[2*i-1]+myXYZ2Txt_2D(xy_tx[2*i-2]) )
    return
def myTxtXYZ_XY_S_2D(fontsize,*xy_tx):
    for i in range(1,int(len(xy_tx)/2)+1):
        myTxtXYZ_2D(fontsize,xy_tx[2*i-2],xy_tx[2*i-1]+myXYZ2Txt_XY_2D(xy_tx[2*i-2]) )
    return

def myTxtXYZ_MoveY_2D(fontsize,MoveY,A,myWedgei):
    P5x=float(A.x)
    P5y=float(A.y)+MoveY
    P5z=0.0
    p5 = FreeCAD.Vector(P5x, P5y, P5z)
    myText = Draft.makeText(myWedgei, p5)
    myText.Label = myWedgei
    FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveObject.FontSize = str(fontsize,)+' mm'
    return
def myTxtXYZ_XY_S_MoveY_2D(fontsize,MoveY,*xy_tx):
    for i in range(1,int(len(xy_tx)/2)+1):
        myTxtXYZ_MoveY_2D(fontsize,MoveY,xy_tx[2*i-2],xy_tx[2*i-1]+myXYZ2Txt_XY_2D(xy_tx[2*i-2]) )
    return
############################################################################
# 3D作図 z=0 XY平面に作図しました。
############################################################################
# 円の作図　FrecCADのdocより
# https://wiki.freecad.org/Macro_Circle
def Freecad3D_circle(x=0.0,y=0.0,z=0.0,radius=0.0,diameter=0.0,circumference=0.0,area=0.0,startangle=0.0,endangle=0.0,arc=0.0,anglecenter=0.0,cord=0.0,arrow=0.0,center=0,placemObject=""):
    from math import sqrt, pi
    if placemObject == "":
        pl = FreeCAD.Placement()
        pl.Rotation = FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveView.getCameraOrientation()   
        pl.Base = FreeCAD.Vector(x,y,z)
    else:
        pl = FreeCAD.Placement()
        pl = placemObject                                  # placement imposted
    if diameter != 0:                                      # with diameter
        radius = diameter / 2.0
    elif circumference != 0:                               # with circumference
        radius = (circumference / pi) / 2.0
    elif area != 0:                                        # with area
        radius =  sqrt((area / pi))
    elif (cord != 0) and (arrow != 0):                     # with cord and arrow
        radius = ((arrow**2) + (cord**2) / 4.0) / (arrow*2) 
    elif (arc != 0) and (anglecenter != 0):                # with arc and anglecenter central in degrees
        radius = ((360/anglecenter)*arc) / pi/2.0
        if endangle != 0:
            startangle  = endangle - anglecenter
        endangle   = anglecenter + startangle
        startangle  = endangle - anglecenter
    if radius != 0:
        try:
            Draft.makeCircle(radius,placement=pl,face=False,startangle=startangle,endangle=endangle,support=None)
            if center != 0:
                x=pl.Base.x
                y=pl.Base.y
                z=pl.Base.z
                Draft.makePoint(x,y,z)
        except Exception:
            App.Console.PrintError("Unexpected keyword argument" + "\n")
        App.ActiveDocument.recompute()
    else:
        App.Console.PrintMessage("Unexpected keyword argument" + "\n")
        App.Console.PrintMessage("circle(x,y,z,radius,diameter,circumference,area,startangle,endangle,[arc,anglecenter],[cord,arrow],center,placemObject)" + "\n")
        App.Console.PrintMessage("circle(radius=10.0,placemObject=App.Placement(App.Vector(11,20,30), App.Rotation(30,40,0), App.Vector(0,0,0)))" + "\n")
    return
def myCircle_2D(myCi):
    x=myCi.center.x
    y=myCi.center.y
    r=myCi.radius
    Freecad3D_circle(
           x=float(x),y=float(y),z=0.0,
           radius=float(abs(r)),
           center=1,
           placemObject=App.Placement(App.Vector(float(x),float(y),0),
           App.Rotation(0,0,0),App.Vector(0,0,0)))
    return
def myLine_2D(A,B):
    Ax,Ay,Az=float(A.x),float(A.y),0.0
    Bx,By,Bz=float(B.x),float(B.y),0.0
    pl = FreeCAD.Placement()
    pl.Rotation.Q = (0.4247081540122249, 0.17592004639554645, 0.33985110062924484, 0.8204732460821097)
    pl.Base = FreeCAD.Vector(-3.9166066876399563, -2.1670824762243774, 1.7495260956243028)
    points = [FreeCAD.Vector(Ax,Ay,Az), FreeCAD.Vector(Bx,By,Bz)]
    line = Draft.make_wire(points, placement=pl, closed=False, face=True, support=None)
    Draft.autogroup(line)
    return
def myLine_S_2D(*args):
    for i in range(1,len(args)):
        myLine_2D(args[i-1],args[i])
    return
def myLine_C_2D(*args):
    for i in range(1,len(args)):
        myLine_2D(args[i-1],args[i])
    myLine_2D(args[i],args[0])
    return
def myLine_H_2D(*args):
    for i in range(1,len(args)):
        myLine_2D(args[0],args[i])
    return
def myCircle_Ogigata_2D(myCi,myStAngle,myEndAngle):
    x=myCi.center.x
    y=myCi.center.y
    r=myCi.radius
    Freecad3D_circle(
           x=float(x),y=float(y),z=0.0,
           radius=float(abs(r)),
           startangle=myStAngle,
           endangle=myEndAngle,
           center=1,
           placemObject=App.Placement(App.Vector(float(x),float(y),0),
           App.Rotation(0,0,0),App.Vector(0,0,0)))
 #  myLine_S_2D(Point(x,y),Point(x+r*cos(rad(myStAngle)), y+r*sin(rad(myStAngle))))
 #  myLine_S_2D(Point(x,y),Point(x+r*cos(rad(myEndAngle)), y+r*sin(rad(myEndAngle))))
    return
##################################################################################
myCircle_Ogigata_2D(Circle(O,r),0,180)
myLine_S_2D (A,O,B)  
myLine_S_2D (O,D,F,G,E)     #  myLine_S_2D (O,D,E) 
myLine_S_2D (O,F,C,G,H,B) # ine_S_2D (O,C,B)   
myLine_S_2D (O,H,E)  
myFontsize =0.4
myOvershoot=myFontsize*6
myTxtXYZ_XY_S_2D              (myFontsize,O,"O",A,"A",B,"B",C,"C",D,"D")
myTxtXYZ_XY_S_2D              (myFontsize,E,"E",F,"F",H,"H")
#myTxtXYZ_XY_S_2D              (myFontsize,E,"E",F,"F",G,"G")
#myTxtXYZ_XY_S_2D              (myFontsize,E,"E",F,"F")
myTxtXYZ_XY_S_MoveY_2D(myFontsize,myFontsize,G,"G")
# myTxtXYZ_XY_S_MoveY_2D(myFontsize,-myMoveY,A,"A")
myDimension(myFontsize,myOvershoot,A,B,"HR")
myDimension(myFontsize,myOvershoot,D,E,"PL")
####################################################################################
doc = App.activeDocument()
#App.ActiveDocument.addObject("App::Origin", "Origin")
#App.ActiveDocumen!t.getObject('Origin').Visibility = True
App.ActiveDocument.recompute()
Gui.activeDocument().activeView().viewAxonometric()
Gui.SendMsgToActiveView("ViewFit")

isometric方向。斜め方向から。
(省略)

上空からです。
角度寸法、はCAD操作です。
未。三角形のハッチング。

111.png

??? (追加) AI先生へ画像の丸投げをあきらめました。残念。

(反省)PDFを? PDFから?丸投げすべきでした。
・(Youtubeスクショ画像省略)

(だめでした)ChatGPT先生へ

・申し訳ありません。私の説明不足でした。私の丸投げで平行のコメントをしていません。

(回答抜粋)
??? C = Point(0, radius) # 半円上の頂点C
??? このコードを実行すると、三角形 △CFG の面積が 9 と出力されます。

あきらめました。

Gemini先生へ

copilot先生へ

いつもの? sympyの実行環境と 参考のおすすめです。

(テンプレート)

いつもと違うおすすめです。

sympyのDoc

・ver0.1

・ver0.2 (いつもの方法で)

intersection(o)
https://docs.sympy.org/latest/modules/geometry/ellipses.html#sympy.geometry.ellipse.Circle.intersection

・FreeCAD
(テンプレートを参照)

AI先生へ(深入りはやめました。何もそこまでしなくても)

平行四辺形の対角が同じなのを、sympyで証明して下さい。

(ステキ過ぎて省略)
コードを実行すると、is_equal が 0 になれば、対角線が等しいことが証明されます。
ユークリッド言論にありますか
ユークリッド『原論』**には直接的には登場しません。...
ユークリッド『原論』第1巻（Book I）の命題34では、...
このように、『原論』には直接的な記述はないものの、関連する命題を組み合わせれば証明が可能です。

平行線の同位角、錯角が同じ。ユークリッド言論にありますか。

命題 27～29（Book I）...
ユークリッドの第5公準（平行線公準）...

wikipedia

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